확률변수·확률분포

두 주사위 결과는 (1,1)부터 (6,6)까지 36쌍이지만 관심은 대개 ‘합이 7인가’ 또는 ‘합의 평균은 얼마인가’입니다.

확률변수는 각 기본 결과에 숫자를 대응시키는 함수입니다. 결과가 숫자가 되면 평균·분산·확률을 계산하고 통계모형의 입력으로 사용할 수 있습니다.

확률변수 X:Ω→ℝ는 표본공간의 각 결과를 실수에 매핑합니다. 같은 실험에서도 질문에 따라 서로 다른 확률변수를 정의할 수 있습니다.

이산 확률변수는 값들을 하나씩 셀 수 있고 연속 확률변수는 구간의 모든 실수값을 가질 수 있습니다. 측정 정밀도와 모형 목적에 따라 구분합니다.

PMF p(x)=P(X=x)는 음수가 아니고 가능한 모든 값의 확률 합이 1입니다. 막대 하나의 높이가 그 값의 확률입니다.

PDF f(x)는 한 점의 확률이 아니라 단위 구간당 확률의 밀도입니다. P(a≤X≤b)는 a와 b 사이 곡선 아래 면적이며 연속분포에서 P(X=x)=0입니다.

F(x)=P(X≤x)는 항상 0에서 1로 증가합니다. 구간확률은 F(b)−F(a) 형태로 계산하며 이산형에서는 경계 포함 여부를 확인합니다.

같은 평균을 가진 분포도 산포·비대칭·꼬리가 다를 수 있습니다. 분포 전체를 알면 평균뿐 아니라 극단값 위험과 분위수도 계산할 수 있습니다.

먼저 표본공간과 기본 결과 확률을 정하고 X의 대응규칙을 적용합니다. 같은 X값으로 가는 결과들의 확률을 합하면 PMF가 됩니다.

36개 순서쌍은 동등하게 가능하며 합 7을 만드는 결과는 6개, 합 2와 12를 만드는 결과는 각각 1개입니다.

두 주사위 합은 11가지지만 각 합이 같은 확률은 아닙니다. 연속형에서 PDF 높이를 점확률로 읽거나 관측 히스토그램을 모집단 분포와 동일시해서도 안 됩니다.

한 값의 확률과 분포 기울기를 바꾸며 전체 합이 1이 되도록 정규화된 PMF의 중심 이동을 관찰합니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  확률변수는 표본공간 결과를 숫자로 대응시키는 함수다.
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  이산형은 셀 수 있는 값, 연속형은 구간의 실수값을 가진다.
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  PMF는 이산형 각 값의 점확률을 준다.
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  PDF는 연속형의 밀도이며 구간 아래 면적이 확률이다.
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  CDF는 이산·연속 모두 X≤x의 누적확률이다.
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  분포는 가능한 값과 그 가능성 전체를 담는다.