기댓값·분산

기댓값은 가능한 값들의 단순 평균이 아니라 각 값에 그 값이 나타날 확률을 가중치로 준 평균입니다.

분산은 값들이 기댓값에서 얼마나 멀리 흩어져 있는지를 제곱거리로 측정합니다. 같은 기댓값을 가진 선택지라도 분산이 다르면 위험은 전혀 다를 수 있습니다.

이산확률변수 X가 x₁, x₂, … 값을 가질 때 E(X)=Σx·P(X=x)입니다.

같은 시행을 매우 많이 반복해 얻은 관측값의 평균은 조건이 맞으면 기댓값에 가까워집니다. 하지만 한 번의 결과가 기댓값과 같다는 뜻은 아닙니다.

E(X)=3×0.5+(−1)×0.5=1입니다. 장기 평균 점수는 시행당 1점입니다.

실제 한 번의 결과는 3점 또는 −1점뿐입니다. 1점은 장기 평균을 나타내는 중심이지 반드시 관측 가능한 값은 아닙니다.

상수 a, b에 대해 E(aX+b)=aE(X)+b입니다. 또한 두 변수의 독립 여부와 관계없이 E(X+Y)=E(X)+E(Y)입니다.

예를 들어 한 상품의 예상 이익이 2천 원이면 100개 판매의 총 예상 이익은 20만 원입니다. 개별 이익들이 독립이 아니어도 기대 합계 자체는 더할 수 있습니다.

편차 X−μ를 그대로 평균내면 양수와 음수가 상쇄되어 0이 됩니다. 그래서 편차를 제곱한 뒤 평균냅니다.

모분산은 Var(X)=E[(X−μ)²]이며 μ=E(X)입니다. 계산할 때는 Var(X)=E(X²)−[E(X)]²도 자주 씁니다.

Var(X)=4이고 표준편차 SD(X)=√4=2입니다.

분산의 단위는 원래 단위의 제곱이므로 해석이 불편할 수 있습니다. 표준편차는 원래 단위로 돌아와 전형적인 흔들림의 크기를 표현합니다.

기댓값이 위치를 요약한다면 분산과 표준편차는 불확실성의 크기를 요약합니다.

두 투자안의 기대수익이 같아도 표준편차가 큰 투자안은 결과의 변동 폭이 큽니다. 다만 분산 하나만으로 꼬리위험이나 비대칭성을 모두 설명할 수는 없습니다.

모든 값에 b를 더하면 중심만 이동하므로 분산은 변하지 않습니다. 모든 값에 a를 곱하면 편차도 a배가 되어 분산은 a²배가 됩니다.

섭씨 온도를 화씨로 바꾸거나 원화를 천 원 단위로 바꿀 때 이 규칙을 이용할 수 있습니다.

두 변수의 합에 대한 분산은 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)입니다.

X와 Y가 독립이면 공분산이 0이므로 분산을 단순히 더할 수 있습니다. 그러나 함께 오르내리는 변수라면 공분산 항을 빼먹어서는 안 됩니다.

기대수익이 높다는 이유만으로 최선의 선택이라고 단정할 수 없습니다. 손실을 감당할 수 있는지, 결과 분포가 비대칭인지, 극단값이 얼마나 가능한지도 함께 봐야 합니다.

보험은 평균적으로 보험료가 기대손실보다 높을 수 있어도 큰 손실의 변동성을 줄이는 가치가 있습니다. 기댓값과 분산은 서로 다른 질문에 답합니다.

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  기댓값은 가능한 값에 확률을 가중한 장기 평균입니다.
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  분산은 기댓값으로부터의 제곱편차 평균이고, 표준편차는 그 제곱근입니다.
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  E(aX+b)=aE(X)+b, Var(aX+b)=a²Var(X)입니다.
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  합의 기댓값은 항상 더할 수 있지만 합의 분산에는 공분산이 필요합니다.
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  좋은 의사결정에는 중심뿐 아니라 변동성과 분포의 모양도 필요합니다.