이산분포: 베르누이·이항·포아송

베르누이는 한 번의 성공·실패, 이항은 여러 번의 독립 시행에서 성공 횟수, 포아송은 일정 시간이나 공간에서 발생한 사건 수를 다룹니다.

세 분포는 모두 0, 1, 2처럼 셀 수 있는 값을 갖는 이산확률분포지만, 자료가 생성되는 방식과 가정이 다릅니다.

베르누이 확률변수 X는 성공이면 1, 실패이면 0을 갖고 성공확률은 p입니다.

예시는 광고 클릭 여부, 제품 불량 여부, 환자의 치료 반응 여부입니다. 하나의 시행만 설명한다는 점이 핵심입니다.

서로 독립이고 성공확률이 같은 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공 횟수 X는 이항분포 Bin(n,p)를 따릅니다.

정확히 x번 성공할 확률은 성공할 위치를 고르는 경우의 수와 각 배열의 확률을 곱해 계산합니다.

복원하지 않고 작은 모집단에서 표본을 뽑으면 시행이 독립도 아니고 성공확률도 일정하지 않을 수 있습니다. 이때는 초기하분포가 더 적절할 수 있습니다.

C(5,2)=10이고, 특정 두 명만 구매할 확률은 0.2²×0.8³입니다.

따라서 P(X=2)=10×0.2²×0.8³=0.2048, 약 20.48%입니다.

포아송분포는 일정한 시간·면적·거리 같은 노출 구간에서 사건이 몇 번 발생하는지 모델링합니다.

λ는 해당 구간의 평균 발생 건수입니다. 분포의 평균과 분산이 모두 λ라는 특징이 있습니다.

λ=3, x=0을 대입하면 P(X=0)=e⁻³×3⁰/0!=e⁻³≈0.0498입니다.

적어도 한 건이 올 확률은 여사건을 이용해 1−P(X=0)≈0.9502입니다.

시간당 평균이 3건이면 30분의 평균은 1.5건, 두 시간의 평균은 6건입니다. 발생률 r과 노출량 t를 구분하면 λ=rt입니다.

지역별 사고 건수를 비교할 때 인구나 운행거리 같은 노출량이 다르면 원시 건수만 비교해서는 안 됩니다.

과산포가 크면 음이항분포, 0이 지나치게 많으면 영과잉 모형을 고려할 수 있습니다. 분포 선택은 이름이 아니라 생성 과정과 진단으로 결정합니다.

n이 크고 p가 작으며 λ=np가 적당한 크기일 때 Bin(n,p)는 Pois(λ)로 근사할 수 있습니다.

많은 기회 중 드문 사건의 횟수라는 생성 구조가 포아송 모형과 닮기 때문입니다. 근사는 계산을 단순하게 하지만 정확도는 n과 p에 따라 달라집니다.

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  베르누이는 한 번의 성공·실패를 p 하나로 모델링합니다.
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  이항분포는 독립이고 성공확률이 같은 n번의 시행에서 성공 횟수를 다룹니다.
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  Bin(n,p)의 평균은 np, 분산은 np(1−p)입니다.
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  포아송분포는 노출 구간의 사건 수를 다루며 평균과 분산이 λ입니다.
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  분포를 고를 때 자료의 값뿐 아니라 시행 구조, 노출량, 독립성, 과산포를 확인합니다.