연속분포: 균등·지수·정규

연속확률변수는 구간 안의 모든 실수값을 가질 수 있습니다. 그래서 특정 값 하나의 확률이 아니라 구간이 차지하는 면적으로 확률을 계산합니다.

균등분포는 구간의 모든 위치가 같은 밀도를 갖고, 지수분포는 다음 사건까지의 시간을, 정규분포는 많은 작은 요인이 더해진 측정값을 설명합니다.

확률밀도함수 f(x)의 높이는 확률 자체가 아닙니다. a와 b 사이의 확률은 그 구간 아래 면적 ∫ₐᵇf(x)dx입니다.

연속분포에서는 한 점의 폭이 0이므로 P(X=x)=0입니다. 따라서 P(a<X<b), P(a≤X≤b)처럼 경계 포함 여부가 확률을 바꾸지 않습니다.

X~Uniform(a,b)는 a와 b 사이에서 밀도가 일정한 분포입니다. 같은 길이의 구간은 같은 확률을 갖습니다.

무작위 시각, 반올림 오차, 구간 안에서 무작위로 선택한 위치처럼 특정 부분이 더 유력할 이유가 없을 때 사용합니다.

5분에서 12분 사이에 도착할 확률은 관심 구간 길이 7분을 전체 길이 20분으로 나눈 7/20=0.35입니다.

기대 대기시간은 (0+20)/2=10분이고 표준편차는 √(20²/12)≈5.77분입니다.

X~Exponential(λ)는 포아송 과정에서 다음 사건이 발생할 때까지의 대기시간을 설명합니다. λ는 단위 시간당 평균 발생률입니다.

발생률이 높을수록 짧은 대기시간이 흔하고 분포는 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖습니다.

시간 단위를 시간으로 두면 λ=4, t=0.5이므로 P(X>0.5)=e⁻²≈0.1353입니다. 평균 대기시간은 1/4시간, 즉 15분입니다.

지수분포는 이미 얼마나 기다렸는지가 앞으로 더 기다릴 시간의 분포를 바꾸지 않는 무기억성을 가집니다.

정규분포 N(μ,σ²)는 μ를 중심으로 좌우대칭인 종 모양 분포입니다. μ는 위치, σ는 퍼짐을 결정합니다.

독립적인 작은 영향들이 더해진 측정오차, 신체 치수, 반복 측정의 평균 등에서 자주 나타나지만 모든 연속자료가 정규분포인 것은 아닙니다.

정규분포에서는 평균에서 표준편차 1개 이내에 약 68%, 2개 이내에 약 95%, 3개 이내에 약 99.7%가 들어옵니다.

μ=100, σ=15인 점수라면 약 95%가 70~130 사이에 있습니다. 이 규칙은 빠른 직관을 주지만 정확한 꼬리확률은 표준정규분포표나 소프트웨어로 계산합니다.

자료의 히스토그램 모양만 보고 분포를 고르기보다 값이 만들어지는 과정, 지지집합, 매개변수 의미를 함께 확인해야 합니다.

대기시간이 지수분포를 따르려면 사건이 독립적이고 발생률이 일정한 포아송 과정이 필요합니다. 시간대별 발생률 변화나 군집 발생이 있으면 맞지 않습니다.

정규분포는 음수도 허용하므로 수명·소득처럼 0 아래가 불가능하고 오른쪽 꼬리가 긴 자료에는 로그정규·감마·와이블분포가 더 자연스러울 수 있습니다.

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  연속분포의 확률은 밀도곡선 아래 구간 면적으로 계산합니다.
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  균등분포는 제한된 구간에서 밀도가 일정하며 확률은 길이의 비율입니다.
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  지수분포는 일정한 발생률에서 다음 사건까지의 대기시간을 설명합니다.
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  정규분포는 평균을 중심으로 대칭이며 표준편차가 퍼짐을 정합니다.
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  분포 선택에는 자료 모양뿐 아니라 값의 범위와 생성 과정이 필요합니다.