확률분포

주사위를 한 번 던질 때는 1부터 6까지의 결과가 나타날 확률을 생각할 수 있습니다. 반면 하루에 걸려 오는 고객 문의 수는 0건, 1건, 2건처럼 셀 수 있고, 신체 측정값처럼 연속적으로 달라지는 값도 있습니다. 자료에 따라 가능한 값과 확률의 모습이 다릅니다.

이처럼 확률변수가 가질 수 있는 값과 그 값들에 확률이 어떻게 배분되는지를 나타낸 것이 확률분포(probability distribution)입니다. 어떤 분포를 사용하는지에 따라 자료를 이해하고 통계적 추론을 수행하는 방법도 달라집니다.

이번 글에서는 분포를 나누는 기본 기준부터 이항분포·포아송분포·정규분포를 살펴보고, 가설검정에서 등장하는 t분포와 카이제곱분포가 왜 필요한지도 설명하겠습니다.

확률변수(random variable)는 무작위 결과를 숫자로 나타낸 변수입니다. 동전을 열 번 던져 앞면이 나온 횟수, 한 시간 동안 접수된 문의 수, 무작위로 뽑은 학생의 키 등을 예로 들 수 있습니다.

확률분포는 이런 값들이 얼마나 자주 나타날 수 있는지를 설명합니다. 분포를 알면 특정 범위 안에 값이 들어갈 확률을 구하거나, 이례적으로 큰 값이 나타났는지를 판단할 수 있습니다.

연속확률변수에서는 정확히 한 점을 가질 확률이 0입니다. 예를 들어 키가 정확히 170.000…cm일 확률보다 169cm 이상 171cm 이하일 확률처럼 구간을 묻는 것이 자연스럽습니다. 밀도곡선의 높이를 그 값 자체의 확률로 해석해서는 안 됩니다.

이항분포(binomial distribution)는 각 시행의 결과가 성공·실패 두 가지이고, 독립적인 시행에서 성공확률이 일정할 때, 정해진 횟수 가운데 성공 횟수를 설명합니다. 예를 들어 동일한 조건에서 독립적으로 실시한 10번의 구매 제안 중 몇 번 구매가 이루어지는지 생각할 수 있습니다.

구매 확률이 매번 0.3이고 10번의 제안 결과가 서로 독립이라고 가정하면, 구매 횟수 X는 이항분포 B(10, 0.3)을 따릅니다. 평균은 n × p = 3회이고, 분산은 n × p × (1 − p) = 2.1입니다.

정확히 3번 구매할 확률은 약 26.7%입니다. 다만 실제 고객 간 구매 성향이 다르거나 제안이 서로 영향을 주면, 매번 같은 확률이고 시행이 독립이라는 이항분포의 기본 가정이 맞지 않을 수 있습니다.

포아송분포(Poisson distribution)는 일정 구간에서 발생하는 사건의 횟수를 모델링할 때 자주 사용합니다. 한 시간 동안 들어오는 전화, 하루 동안 발생한 오류, 일정 도로 구간의 사고 건수 등이 예입니다.

한 시간에 문의가 평균 4건 발생하고 발생률이 일정하며 서로 독립적으로 사건이 일어나는 포아송 과정의 조건을 가정하면, 한 시간 문의 수 X는 포아송분포 Pois(4)를 따릅니다. 이 분포에서는 평균과 분산이 모두 λ = 4입니다.

같은 기간인데 평균보다 분산이 훨씬 크거나 특정 시간대에 사건이 집중된다면 기본 포아송모형이 적합하지 않을 수 있습니다. 이때는 음이항모형이나 시간대별 발생률을 고려한 모형 등을 검토합니다.

정규분포(normal distribution)는 평균 μ를 중심으로 좌우가 대칭인 연속확률분포입니다. 평균 주변에 값이 상대적으로 많이 있고 멀어질수록 밀도가 감소합니다. 정규분포의 모양은 평균과 표준편차 σ로 결정됩니다.

평균 100점, 표준편차 15점인 정규분포를 가정하면 약 68%는 85~115점, 약 95%는 70~130점에 들어갑니다. 이것은 정규분포의 성질이며 모든 실제 시험 점수에 자동으로 적용되는 규칙은 아닙니다.

서로 다른 척도의 값을 비교할 때는 표준점수(z점수)도 사용할 수 있습니다. z = (관측값 − 평균) / 표준편차이며, 점수가 130점이라면 z = (130 − 100)/15 = 2입니다. 즉 평균보다 표준편차 두 개만큼 높은 위치입니다.

t분포(Student’s t distribution)는 정규분포와 마찬가지로 0을 중심으로 대칭이지만, 특히 자유도가 작을 때 꼬리가 더 두껍습니다. 표본에서 모표준편차를 알지 못해 표본표준편차로 대신 추정할 때 생기는 추가적인 불확실성을 반영합니다.

정규모집단에서 뽑은 표본의 평균을 검정할 때, t = (표본평균 − 가정한 모집단 평균) / (표본표준편차 / √n)은 귀무가설 아래 자유도 n − 1인 t분포를 따릅니다. 자유도가 커질수록 t분포는 표준정규분포에 가까워집니다.

카이제곱분포(chi-square distribution)는 서로 독립인 표준정규변수들의 제곱합으로 정의됩니다. 값은 0 이상이며 일반적으로 오른쪽으로 긴 꼬리를 가집니다. 자유도에 따라 모양이 달라집니다.

카이제곱분포는 대표적으로 교차표의 독립성 검정이나 정규모집단의 분산에 관한 추론에서 활용됩니다. 예를 들어 두 범주형 변수의 관측 빈도와 독립이라고 가정했을 때의 기대 빈도 사이의 차이를 카이제곱 검정통계량으로 요약할 수 있습니다.

분포는 모양이 비슷하다는 이유만으로 고르지 않습니다. 무엇을 측정했는지, 관측치가 어떻게 만들어졌는지, 어떤 확률을 계산하려는지가 우선입니다. 실제 자료가 특정 분포를 완벽하게 따르는 경우는 드물며, 분포 가정을 진단하고 필요하면 다른 모형을 검토해야 합니다.

분포를 이해하면 모집단에서 값이 어떻게 나타날 수 있는지를 생각할 수 있습니다. 그러나 실제 연구에서는 모집단 전체보다 일부 표본을 관측하는 경우가 많습니다. 표본을 새로 뽑을 때마다 평균이나 비율이 달라질 수 있다는 점이 다음 중요한 문제입니다.

다음 챕터인 표본추출과 표본분포에서는 원자료의 확률분포와 표본평균처럼 계산된 통계량의 분포를 구별합니다. 이는 이후 중심극한정리, 표준오차, 신뢰구간, 가설검정을 이해하는 기초가 됩니다.

• 이항분포: 정해진 시행 횟수에서의 성공 횟수를 설명합니다.
• 포아송분포: 일정 구간에서 일어나는 사건 수를 설명합니다.
• 정규분포: 연속형 값의 대칭적인 분포로, 여러 추론의 기준이 됩니다.
• t·카이제곱분포: 표본에서 계산한 검정통계량의 분포로 추론에 쓰입니다.
• 분포 선택: 값의 종류, 자료가 만들어진 방식, 가정을 함께 확인해 고릅니다.

이항분포는 정해진 횟수의 성공 횟수, 포아송분포는 일정 구간에서의 사건 수를 설명합니다. 정규분포는 연속형 값의 대칭적인 분포를 다루며, t분포와 카이제곱분포는 통계적 추론의 검정통계량을 이해할 때 특히 중요합니다.

실제 분석에서는 자료의 형태뿐 아니라 독립성, 발생률, 분포의 모양과 연구 질문을 확인해야 합니다. 확률분포를 알고 나면 관측값의 특성뿐 아니라, 표본을 반복 추출했을 때 분석 결과가 얼마나 달라질 수 있는지도 배울 수 있습니다.

다음은 07 표본추출과 표본분포입니다. 표본을 반복해서 뽑을 때 통계량이 어떻게 흔들리는지 살펴봅니다.