자료의 요약과 분포

학생 여덟 명이 일주일 동안 정규 수업 외에 공부한 시간을 기록했다고 가정해 보겠습니다. 대부분은 2~5시간을 공부했지만, 한 학생은 14시간을 공부했습니다. 이때 평균 공부시간만 보면 학생들이 대체로 얼마나 공부했는지 충분히 알 수 있을까요?

자료를 요약할 때는 중심이 어디에 있는지뿐 아니라 값들이 얼마나 흩어져 있고 어떤 모양으로 분포하는지도 살펴봐야 합니다. 이 글에서는 같은 숫자 자료를 끝까지 사용해 평균과 중앙값, 분산과 표준편차, 사분위수와 이상치의 의미를 연결해 설명하겠습니다.

관측값을 모두 나열하는 것은 원자료를 보여주는 데 유용하지만, 데이터의 특징을 빠르게 이해하기는 어렵습니다. 기술통계는 자료를 몇 개의 수치와 표, 그래프로 요약해 중요한 특징을 드러내는 방법입니다.

예를 들어 두 반의 평균 점수가 모두 70점이더라도, 한 반은 모두 65~75점에 모여 있고 다른 반은 30~100점에 넓게 퍼져 있을 수 있습니다. 평균이 같다고 해서 두 반의 성적 분포까지 같은 것은 아닙니다.

평균(mean)은 관측값의 합계를 개수로 나눈 값입니다. 중앙값(median)은 값을 크기순으로 정렬했을 때 가운데 위치한 값이고, 최빈값(mode)은 가장 자주 나타난 값입니다.

이 예제에서 학생들의 일반적인 공부시간을 설명하려면 중앙값 4시간이 평균 5시간보다 더 직관적일 수 있습니다. 그러나 평균이 잘못된 수치는 아닙니다. 평균은 모든 관측값을 반영하기 때문에 전체 공부시간의 합계와 관련된 질문에는 오히려 유용합니다.

범위(range)는 최댓값에서 최솟값을 뺀 값입니다. 이 자료에서는 14−2=12시간입니다. 계산은 쉽지만 양 끝의 두 값만 반영하므로 분포 전체의 흩어진 정도를 나타내기에는 한계가 있습니다.

분산(variance)은 각 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지 계산한 뒤 그 차이를 제곱해 요약합니다. 차이를 제곱하기 때문에 평균보다 큰 값과 작은 값이 서로 상쇄되지 않습니다. 표준편차(standard deviation)는 분산의 제곱근으로, 원래 측정한 값과 같은 단위를 갖습니다.

여기서는 여덟 명을 더 큰 학생 집단에서 뽑은 표본으로 간주해 분산을 구할 때 n이 아닌 n−1로 나누었습니다. 반대로 이 여덟 명 자체가 관심 있는 모집단 전체라면 모집단 분산은 102÷8=12.75시간²이고, 모집단 표준편차는 약 3.57시간입니다.

사분위수(quartile)는 정렬된 자료를 네 부분으로 나누는 기준입니다. 제2사분위수(Q2)는 중앙값이며, 제1사분위수(Q1)와 제3사분위수(Q3)는 각각 아래쪽과 위쪽 자료의 중심을 나타냅니다. 사분위범위(IQR)는 Q3−Q1로 계산합니다.

공부시간을 정렬하면 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 14입니다. 이 페이지에서는 자료의 아래쪽 절반과 위쪽 절반 각각의 중앙값을 구하는 방식으로 사분위수를 계산합니다. 따라서 Q1은 3시간, Q2는 4시간, Q3은 5시간이고 IQR은 2시간입니다.

사분위수는 소프트웨어가 사용하는 계산 방식에 따라 값이 조금 달라질 수 있습니다. 특히 표본이 작을 때는 같은 데이터를 사용해도 일부 프로그램의 결과가 다를 수 있으므로 분석에서 사용한 정의를 확인해야 합니다.

상자그림에서는 상자의 양 끝이 Q1과 Q3이고, 상자 안의 선이 중앙값입니다. 흔히 수염은 Q1−1.5×IQR과 Q3+1.5×IQR 범위 안에 있는 실제 관측값 중 가장 작고 큰 값까지 그립니다. 이 기준을 벗어나는 값은 점으로 따로 표시합니다.

위 예시의 위쪽 기준은 5+1.5×2=8시간입니다. 14시간은 이 기준을 넘으므로 상자그림에서 이상치 후보로 표시됩니다. 하지만 14시간을 공부하는 학생이 실제로 있을 수 있으므로, 이상치로 표시됐다는 이유만으로 값을 삭제하면 안 됩니다.

자료가 양쪽으로 비슷하게 퍼져 있으면 대칭적인 분포라고 하고, 한쪽으로 긴 꼬리가 나타나면 치우친 분포라고 합니다. 공부시간 예제는 오른쪽에 14시간이라는 큰 값이 있어 오른쪽으로 긴 꼬리를 보입니다.

특히 두 집단을 비교할 때 평균과 표준편차가 비슷하더라도 분포의 모양은 다를 수 있습니다. 따라서 수치 요약과 그래프를 함께 보고, 연구 질문과 자료의 특성에 맞춰 다음 분석을 결정해야 합니다.

먼저 자료 입력과 단위를 확인해야 합니다. 14시간이 실제로 기록된 주간 공부시간인지, 1.4시간을 잘못 입력한 것인지에 따라 처리 방법이 달라집니다. 실제 값이라면 제거하기보다 분포의 특성으로 보고 그 영향을 확인하는 편이 더 적절할 수 있습니다.

이 예시에서 14시간을 제외하면 나머지 일곱 명의 평균은 약 3.71시간이고 중앙값은 4시간입니다. 평균은 5시간에서 크게 달라지지만 중앙값은 그대로입니다. 이 비교는 극단적인 값이 지표에 얼마나 영향을 줄 수 있는지 보여주기 위한 것이며, 실제 연구에서 임의 삭제를 권장하는 것은 아닙니다.

결측값을 0으로 계산하지 않았나요?

공부시간을 응답하지 않은 학생의 빈칸을 0시간으로 바꾸면 평균이 달라집니다. 실제 0시간과 응답하지 않은 경우는 구별해야 하며, 지표마다 계산에 사용한 표본 수도 확인해야 합니다.

자료의 단위가 모두 같은가요?

한 학생은 분, 다른 학생은 시간으로 기록했다면 단위를 먼저 통일해야 합니다. 분산은 원래 단위를 제곱한 값을 사용하므로, 단위의 의미도 함께 살펴야 합니다.

평균만 보고 집단 전체를 대표한다고 생각하지 않았나요?

평균과 중앙값, 표준편차를 함께 제시하고 필요한 경우 히스토그램이나 상자그림을 추가해야 합니다. 작은 표본에서는 한두 관측값의 영향이 클 수 있으므로 개별 값을 함께 살펴보는 것도 도움이 됩니다.

평균과 표준편차, 사분위수는 이미 수집한 자료를 설명합니다. 하지만 우리가 조사한 학생 외에 더 큰 집단도 비슷할지는 별도의 문제입니다. 이 질문에 답하려면 다음 장의 확률, 확률분포, 표본분포를 이해해야 합니다.

• 중심: 평균·중앙값·최빈값은 중심을 서로 다른 방식으로 나타냅니다.
• 산포: 범위·분산·표준편차·사분위범위로 흩어진 정도를 요약합니다.
• 분포의 모양: 같은 평균이어도 모양이 다를 수 있으므로 그래프를 함께 봅니다.
• 상자그림: 사분위수와 1.5×IQR 기준으로 분포와 이상치 후보를 살펴봅니다.
• 이상치: 특이한 값이 곧 오류는 아니므로 원인과 영향을 확인한 뒤 판단합니다.

평균·중앙값·최빈값은 중심을 서로 다른 방식으로 보여줍니다. 범위·분산·표준편차·사분위범위는 관측값이 얼마나 흩어져 있는지 알려줍니다. 같은 평균을 가진 자료도 흩어진 정도나 분포의 모양이 다를 수 있으므로, 수치 요약만큼 그래프 확인도 중요합니다.

상자그림의 사분위수와 이상치 기준은 분포를 살펴볼 단서를 줍니다. 다만 통계적으로 특이한 값이 반드시 잘못된 기록은 아닙니다. 이상치의 원인과 영향, 결측값과 측정 단위 등을 확인한 뒤 분석 여부를 판단해야 합니다.

다음은 05 확률의 기초입니다. 불확실한 사건의 가능성을 수치로 나타내는 방법을 살펴봅니다.