중심극한정리

온라인 쇼핑몰의 고객별 결제금액을 생각해 보겠습니다. 많은 고객은 비교적 적은 금액을 결제하지만 일부 고객은 큰 금액을 결제하므로 결제금액의 분포가 오른쪽으로 치우칠 수 있습니다. 그렇다면 고객 100명을 뽑아 계산한 평균 결제금액도 같은 모양으로 분포할까요?

반드시 그렇지는 않습니다. 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)는 일정한 조건에서 독립적으로 추출한 관측값의 표본평균이, 표본 크기가 커질수록 정규분포에 가까운 표본분포를 갖게 된다는 원리입니다. 원자료 자체가 정규분포로 변한다는 뜻은 아닙니다.

이번 글에서는 표본분포와 중심극한정리의 관계부터 표본 크기, 표준오차, 정규근사가 가능한 조건, 실제 통계분석에서의 쓰임까지 살펴보겠습니다.

같은 모집단에서 크기가 같은 표본을 반복해서 뽑고, 매번 평균을 구한다고 가정해 봅시다. 표본평균은 표본마다 다르지만 여러 평균값을 모아 놓으면 하나의 분포가 만들어집니다. 이것이 표본평균의 표본분포입니다.

모집단의 평균이 μ, 분산이 유한한 σ²이고 관측값이 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 경우, 표본 크기 n이 커질수록 표준화한 표본평균의 분포가 표준정규분포에 가까워집니다.

결제금액의 원자료 분포에서 관측값 하나는 고객 한 명의 결제금액입니다. 반면 표본평균의 분포에서 관측값 하나는 고객 여러 명으로 구성된 표본 한 개의 평균 결제금액입니다. 원자료의 모양과 표본평균의 분포 모양이 다른 이유입니다.

특정 고객의 결제금액이 극단적으로 크더라도 여러 고객의 평균에서는 그 영향이 나뉘어 반영됩니다. 다만 아주 큰 값이 드물게 나타나는 심하게 치우친 분포에서는 정규근사에 더 큰 표본이 필요할 수 있습니다.

오른쪽으로 치우친 동일한 모집단에서 표본 크기 1명, 5명, 30명, 100명으로 각각 표본을 반복 추출한다고 가정해 보겠습니다. 표본 크기가 1이면 표본평균은 개인의 관측값과 같아서 분포가 원자료와 같습니다. 표본 크기가 커지면 평균들의 분포는 일반적으로 더 대칭적인 종 모양에 가까워집니다.

여기서 중요한 것은 두 가지 변화가 함께 일어난다는 점입니다. 첫째, 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워집니다. 둘째, 표본평균의 표준오차가 줄어들어 모집단 평균 근처에 더 모입니다. 이 둘은 서로 관련되어 있지만 같은 현상은 아닙니다.

독립적이고 동일한 분포에서 추출하고 모집단의 표준편차가 σ일 때, 표본평균의 표준오차는 σ / √n입니다. 예를 들어 결제금액의 모집단 평균이 30,000원, 표준편차가 20,000원이라고 가정해 보겠습니다.

표본 크기를 네 배로 늘리면 표준오차는 절반이 됩니다. 이는 표본평균의 정밀도가 높아지는 변화이지, 모집단의 개별 결제금액이 덜 흩어진다는 뜻은 아닙니다.

고객 결제금액이 오른쪽으로 치우친 온라인 쇼핑몰을 가정하겠습니다. 모집단 평균은 30,000원, 표준편차는 20,000원이라고 알려져 있다고 하겠습니다. 고객 100명을 독립적으로 뽑아 평균을 계산하면 표본평균의 표준오차는 2,000원입니다.

표본평균의 분포에 정규근사를 적용할 수 있다면, 많은 표본평균이 모집단 평균 30,000원 근처에 놓일 것으로 예상할 수 있습니다. 정규근사에서 약 95%의 표본평균은 30,000 ± 1.96 × 2,000, 즉 26,080원에서 33,920원 사이에 있습니다.

여기서 26,080~33,920원은 반복추출에서 표본평균이 나타날 것으로 기대되는 범위를 설명한 것입니다. 실제로 조사한 표본평균을 이용해 모평균의 신뢰구간을 만드는 과정과는 구분해야 합니다. 신뢰구간은 09장에서 자세히 다룹니다.

중심극한정리를 설명할 때 “30명 이상이면 정규분포가 된다”는 말을 자주 듣습니다. 그러나 n = 30은 보편적인 보장 기준이 아닙니다. 모집단이 매우 비대칭적이거나 극단값이 자주 나타나면 훨씬 큰 표본이 필요할 수 있습니다.

모집단 평균에 관한 주장을 검정할 때 관측된 표본평균이 얼마나 이례적인지 판단해야 합니다. 모집단 평균을 μ₀라고 가정하면 표본평균에서 μ₀를 뺀 뒤 표준오차로 나누어 표준화할 수 있습니다. 일정한 조건에서 표본이 충분히 크다면 그 통계량에 정규근사를 적용할 수 있습니다.

예를 들어 “평균 결제금액이 30,000원인가?”라는 질문에서는 귀무가설 아래 표본평균이 30,000원에서 얼마나 떨어져 있는지 살펴봅니다. 실제 검정에서는 모집단 표준편차를 알고 있는지, 모르는지와 검정 가정 등을 함께 고려해야 합니다.

큰 수의 법칙은 표본평균이 어느 값에 가까워지는지를 설명합니다. 중심극한정리는 표본평균의 분포가 어떤 형태로 나타나는지를 더 구체적으로 설명합니다. 두 정리는 서로 대체하는 개념이 아닙니다.

표본평균의 표본분포가 정규분포에 가까워진다는 사실을 알면, 표본 하나에서 계산한 평균이 어느 정도의 불확실성을 갖는지도 수치로 표현할 수 있습니다. 이것이 다음 챕터에서 다룰 점추정과 신뢰구간으로 연결됩니다.

실제 분석에서는 정규근사 여부만 확인하는 데 그치지 않고, 표본이 어떻게 추출되었는지, 표준오차를 어떻게 계산했는지, 어떤 가정을 적용했는지 함께 검토해야 합니다.

• 중심극한정리: 표본 크기가 커지면 표본평균의 분포가 정규분포에 가까워집니다.
• 원자료와 구분: 원자료의 분포가 정규분포로 바뀌는 것은 아닙니다.
• 표준오차: 독립추출에서 표본평균의 표준오차는 σ/√n으로 줄어듭니다.
• 적용 조건: 필요한 표본 크기는 비대칭성·극단값·독립성에 따라 달라집니다.
• 큰 수의 법칙과 차이: 큰 수의 법칙은 평균이 모평균에 수렴함을, 중심극한정리는 그 흔들림의 모양을 말합니다.

모집단의 값들이 한쪽으로 치우쳐 있더라도 독립적으로 뽑은 표본의 크기가 커지면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워질 수 있습니다. 이는 표본평균이 모집단 평균 근처에서 얼마나 달라지는지를 설명하고, 표준오차를 통해 그 변동을 수치로 나타낼 수 있게 합니다.

다만 모든 표본에서 정규근사가 잘 작동하는 것은 아닙니다. 표본의 크기뿐 아니라 원자료의 비대칭성, 극단값, 관측값의 독립성, 표본추출 방법을 살펴야 합니다. 이러한 조건을 이해해야 신뢰구간과 가설검정도 올바르게 사용할 수 있습니다.

다음은 09 통계적 추정입니다. 표본평균과 표준오차로 모수의 범위를 제시하는 신뢰구간을 만들어 봅니다.