표준화(z점수)·정규분포 확률

시험의 평균과 표준편차가 다르면 같은 90점도 전혀 다른 위치를 뜻합니다. z점수는 원점수가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는지 나타냅니다.

정규분포를 z점수로 바꾸면 평균과 표준편차가 다른 모든 정규분포를 하나의 표준정규분포표로 계산할 수 있습니다.

관측값 x에서 평균 μ를 빼고 표준편차 σ로 나누면 z점수가 됩니다. 평균과 같으면 z=0, 평균보다 높으면 양수, 낮으면 음수입니다.

z=1.5는 원래 단위와 관계없이 평균보다 표준편차 1.5개 위라는 뜻입니다.

영어 원점수가 5점 더 높기 때문이 아니라, 영어 점수가 자기 분포의 평균에서 더 멀리 위에 있기 때문에 상대적 위치가 더 높습니다.

표준화는 단위를 없애 비교를 가능하게 하지만, 서로 다른 시험이 같은 능력을 측정하는지까지 보장하지는 않습니다.

X~N(μ,σ²)를 Z=(X−μ)/σ로 변환하면 Z~N(0,1)이 됩니다. 표준화는 곡선의 위치와 폭만 바꾸며 각 관측값의 순서와 누적확률은 보존합니다.

반대로 z를 원래 단위로 되돌릴 때는 x=μ+zσ를 사용합니다.

표준정규 누적분포함수 Φ(z)는 Z가 z 이하일 확률 P(Z≤z)입니다. 표나 소프트웨어는 보통 왼쪽 꼬리의 누적확률을 반환합니다.

예를 들어 Φ(1.00)≈0.8413이므로 평균보다 표준편차 1개 아래에 있는 관측값이 전체의 약 84.13%입니다.

먼저 z=(130−100)/15=2입니다. 표준정규분포에서 Φ(2)≈0.9772이므로 오른쪽 꼬리는 1−0.9772=0.0228입니다.

따라서 130점 이상은 약 2.28%입니다. 130점이라는 원점수를 먼저 평균과 표준편차 기준의 위치로 바꾼 뒤 확률을 읽었습니다.

85점은 z=−1, 115점은 z=1입니다. 따라서 Φ(1)−Φ(−1)=0.8413−0.1587=0.6826입니다.

평균에서 표준편차 1개 이내에 약 68%가 있다는 경험법칙과 일치합니다.

확률에서 점수를 찾는 역문제도 가능합니다. 상위 10%의 경계는 왼쪽 누적확률 0.90에 해당하는 z≈1.282입니다.

N(100,15²)에서 경계점은 x=100+1.282×15≈119.2점입니다.

z점수 자체는 정규분포가 아닌 자료에도 계산할 수 있지만, z를 표준정규 확률이나 백분위로 바꾸려면 분포가 정규라는 근거가 필요합니다.

z=2라고 항상 상위 2.3%인 것은 아닙니다. 심하게 비대칭이거나 꼬리가 두꺼운 분포에서는 같은 z의 실제 백분위가 다릅니다.

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  z점수는 관측값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는지 나타냅니다.
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  정규변수를 표준화하면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포가 됩니다.
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  Φ(z)는 z 이하의 왼쪽 누적확률이며 오른쪽 확률은 1−Φ(z)입니다.
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  구간확률은 두 경계의 누적확률 차이로 계산합니다.
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  z점수를 정규확률로 해석하려면 자료의 정규성 가정이 필요합니다.