시계열 회귀

한 쇼핑몰의 주간 광고비와 매출을 3년 동안 그렸더니 두 시계열이 모두 꾸준히 증가했다고 해봅시다. 일반 회귀를 적합하면 높은 R²와 매우 작은 p값이 나올 수 있지만, 두 변수가 같은 성장 추세를 가졌다는 이유만으로도 강한 관계가 만들어질 수 있습니다.

시계열 회귀는 관측 순서를 보존하고 추세·계절성·시차효과·자기상관을 모형에 포함합니다. 현재 광고가 이번 주 매출뿐 아니라 다음 주에도 영향을 줄 수 있고, 지난주의 예상 밖 매출 충격이 이번 주 오차에 남을 수도 있기 때문입니다.

시계열 회귀는 한 개체를 여러 시점에서 관측한 자료에서 결과 Y_t와 설명변수 X_t의 관계를 추정합니다. 단면 회귀와 달리 현재값이 과거값에 의존할 수 있으며 오차도 시간순으로 연결됩니다.

목적은 설명·정책효과 추정·예측으로 나뉩니다. 예측이 목적이면 미래에 사용할 수 있는 X가 실제로 존재하는지가 중요하고, 효과 추정이 목적이면 X의 외생성과 개입 시점, 공통 추세를 더 엄격히 검토해야 합니다.

가장 단순한 동적 회귀는 시간 추세, 계절 더미, 현재와 과거의 설명변수를 포함합니다. β₀는 기준시점과 기준계절의 절편, δ는 기간당 추세, β_k는 X가 k시점 뒤의 Y에 연결되는 지연효과입니다.

시간 t를 그대로 넣은 선형 추세는 변화율이 일정하다고 가정합니다. 성장률이 변하거나 구조적 단절이 있으면 구간별 추세·스플라인·변화점 또는 차분을 고려합니다.

두 시계열이 각각 단위근을 가지거나 강한 추세를 보이면 실제 관계가 없어도 회귀선은 공통 시간 방향을 따라가며 높은 설명력과 유의한 계수를 만들 수 있습니다. 잔차에는 긴 같은 부호 구간과 강한 자기상관이 남는 경우가 많습니다.

먼저 수준 그래프와 ACF를 보고 ADF·KPSS 등으로 정상성을 점검합니다. 추세정상이라면 추세를 명시적으로 포함하고, 차분정상이라면 변화량 회귀를 검토합니다. 장기 균형관계가 있다면 무조건 차분하기보다 공적분과 오차수정모형을 사용합니다.

광고·정책·금리·날씨의 영향은 즉시 나타나기도 하고 여러 기간에 걸쳐 지연되기도 합니다. X_t부터 X_{t-K}까지 넣으면 각 β_k가 k기간 뒤 효과를 나타내고 그 합은 K기간에 걸친 누적효과입니다.

시차를 너무 적게 두면 남은 효과가 오차에 들어가고, 너무 많이 두면 강한 시차 간 상관으로 계수가 불안정해집니다. 업무 지식, 정보기준, 시간외 검증과 잔차진단을 함께 사용해 최대 시차를 정합니다.

Y_{t-1}을 포함하면 지난 결과 수준을 통제한 조건에서 X_t의 단기효과를 추정합니다. ρ가 양수이면 한 번 생긴 변화가 다음 기간에도 일부 남아 파급효과가 누적됩니다.

|ρ|<1인 단순 ARDL(1,0)에서 β는 즉시효과이고 β/(1−ρ)는 X가 한 단위 지속적으로 높아졌을 때의 장기 승수입니다. 지연 종속변수는 내생성과 작은 표본 편향을 만들 수 있어 설계와 추정법을 확인해야 합니다.

회귀식이 시간 구조를 충분히 설명하지 못하면 u_t와 u_{t-1}이 상관됩니다. OLS 계수는 강한 외생성 아래 여전히 불편할 수 있지만 일반 OLS 표준오차는 잘못되어 p값과 신뢰구간이 지나치게 낙관적일 수 있습니다.

잔차 시계열·ACF·Ljung–Box·Durbin–Watson을 함께 확인합니다. 계수식이 적절하고 추론만 보정하면 될 때 Newey–West(HAC) 표준오차를 사용할 수 있습니다. 예측과 동학 자체가 목적이면 ARIMA 오차·GLS·동적회귀로 오차구조를 직접 모델링합니다.

먼저 관측 빈도·시간대·누락 구간·예측 시점을 확정합니다. 모든 시계열을 동일한 시점에 맞춘 뒤 수준·변화율·계절 그래프를 확인하고, 설명 목적에 맞는 추세·시차·개입변수를 사전에 정합니다.

156주의 매출 증가율을 결과로, 광고비 증가율의 현재값과 1·2주 시차, 월 계절 더미를 설명변수로 두었다고 가정합니다. 잔차에는 AR(1) 구조를 적용하고 마지막 26주는 시간외 평가로 남깁니다.

추정 결과 현재 효과 0.18, 1주 시차 0.10, 2주 시차 0.04라면 광고비 증가율이 1%p 높을 때 같은 주 매출 증가율이 0.18%p, 2주까지 누적 0.32%p 높다고 해석합니다. 다만 관찰자료에서 광고예산이 예상매출에 반응했다면 역인과가 남을 수 있습니다.

시계열 회귀의 핵심은 단순한 잔차 정규성보다 시간 구조의 올바른 명세입니다. X가 오차와 상관되지 않는지, 계수와 계절성이 분석기간 동안 안정적인지, 공통 충격과 구조변화를 빠뜨리지 않았는지 확인합니다.

전체 기간의 평균·표준편차로 전처리하거나 미래 발표값을 과거 시점에 배치하면 누수가 생깁니다. 예측 시점에 실제로 사용할 수 있었던 자료의 빈티지와 발표지연을 재현해야 합니다.

현재 X의 계수와 한 기간 전 X의 계수를 움직여 단기 반응이 여러 시점에 나뉘는 모습을 확인합니다. 계수의 합은 두 기간에 걸친 누적효과입니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  시계열 회귀는 시간 순서와 추세·계절성·시차·자기상관을 명시적으로 다룬다.
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  공통 추세를 가진 비정상 시계열은 실제 관계가 없어도 가짜 회귀를 만들 수 있다.
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  분산시차계수의 합은 여러 기간에 걸친 누적효과를 나타낸다.
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  지연 종속변수가 있으면 즉시효과와 장기효과를 구분한다.
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  HAC는 추론을 보정하고 AR 오차·동적회귀는 시간 구조를 직접 모델링한다.
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  평가와 전처리는 시간 순서를 보존하고 예측 시점에 실제 사용 가능한 정보만 사용한다.