t·카이제곱·F 분포

t·카이제곱·F 분포는 서로 떨어진 공식이 아니라 정규표본에서 평균과 분산을 추정할 때 자연스럽게 나타나는 한 가족입니다.

어떤 통계량을 만드는지에 따라 분포가 달라집니다. 표준화한 평균은 t, 제곱한 표준정규변수의 합은 카이제곱, 두 카이제곱 비율은 F 분포를 만듭니다.

자유도 df는 제약조건을 지킨 뒤 독립적으로 움직일 수 있는 정보의 수입니다. 표본평균을 이미 사용했다면 n개 편차의 합이 0이어야 하므로 마지막 편차는 자유롭게 정할 수 없습니다.

그래서 표본분산은 n이 아니라 n−1로 나눕니다. 자유도가 커질수록 표본에서 추정한 불확실성이 줄고 세 분포의 모양도 안정됩니다.

모집단 표준편차 σ를 모르기 때문에 표본표준편차 s로 대신 표준화하면 통계량은 표준정규분포보다 꼬리가 두꺼운 t 분포를 따릅니다.

작은 표본에서는 s 자체도 크게 흔들리므로 극단적인 t값이 정규분포보다 더 자주 나타납니다.

자유도가 작으면 꼬리가 두껍고 같은 95% 신뢰수준에서도 임계값이 큽니다. 이는 작은 표본의 추가 불확실성을 더 넓은 신뢰구간으로 반영합니다.

df가 커지면 s가 σ를 안정적으로 추정하여 t 분포는 표준정규분포에 가까워집니다.

서로 독립인 표준정규변수 Z₁,…,Zₖ의 제곱합은 자유도 k인 카이제곱분포를 따릅니다.

값이 0보다 작을 수 없고 오른쪽 꼬리가 깁니다. 자유도가 커질수록 중심이 오른쪽으로 이동하고 상대적 비대칭은 줄어듭니다.

정규모집단에서 표본분산 s²을 모집단분산 σ²과 비교한 (n−1)s²/σ²은 자유도 n−1인 카이제곱분포를 따릅니다.

이 관계로 모집단분산의 신뢰구간과 가설검정을 만들 수 있습니다. 평균 추론과 달리 신뢰구간이 좌우대칭이 아닌 이유는 카이제곱분포가 비대칭이기 때문입니다.

독립인 두 카이제곱변수를 각각 자유도로 나눈 뒤 비율을 만들면 F 분포가 됩니다.

F값은 0 이상이고 오른쪽 꼬리가 깁니다. 분자 자유도 df₁과 분모 자유도 df₂ 두 개가 분포 모양을 결정합니다.

영가설에서 집단평균이 모두 같다면 집단 간 변동과 집단 내 변동은 같은 오차분산을 추정하므로 F는 대체로 1 주변입니다.

집단평균 차이가 커지면 집단 간 평균제곱이 커져 F가 1보다 훨씬 커지고 오른쪽 꼬리확률인 p값이 작아집니다.

자유도 1인 분자에 대해 t²은 F(1,df)와 같습니다. 즉 두 집단 평균을 비교하는 t 검정과 같은 문제의 ANOVA F 검정은 동일한 p값을 냅니다.

t 기반 추론은 독립성, 적절한 표본설계, 작은 표본에서의 정규성을 확인해야 합니다. 대응표본과 독립표본은 자유도와 표준오차 구조가 다릅니다.

고전적 분산비 F 검정과 표본분산의 χ² 검정은 비정규성에 민감합니다. 등분산성은 Levene·Brown–Forsythe 검정처럼 더 강건한 방법을 고려할 수 있습니다.

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  t 분포는 모집단 표준편차를 표본으로 추정한 평균 추론에 사용합니다.
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  카이제곱분포는 표준정규변수의 제곱합이며 분산과 범주형 검정에 나타납니다.
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  F 분포는 두 분산 추정량의 비율이며 ANOVA와 회귀 전체 검정에 사용합니다.
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  자유도는 독립적으로 남은 정보량이며 분포의 모양과 임계값을 결정합니다.
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  t²=F(1,df)처럼 세 분포는 정규표본 이론 안에서 서로 연결됩니다.