확률의 기본 개념

동전 한 번의 결과는 예측할 수 없지만 공정한 동전을 매우 많이 던지면 앞면 비율은 약 1/2에 가까워집니다. 확률은 개별 결과를 맞히는 도구가 아니라 가능한 결과와 장기 패턴을 수량화하는 언어입니다.

먼저 가능한 결과 전체를 정하고, 관심 있는 결과를 사건으로 묶은 뒤, 그 사건이 일어날 가능성을 0과 1 사이의 값으로 나타냅니다.

빈도주의 확률은 같은 조건의 반복에서 사건이 나타나는 장기 비율입니다. 베이즈 확률은 정보에 근거한 불확실성의 정도이며, 고전적 확률은 결과가 동등하게 가능하다는 대칭을 이용합니다.

표본공간 Ω는 실험에서 가능한 모든 기본 결과의 집합입니다. 사건 A는 그중 조건을 만족하는 결과를 모은 부분집합입니다.

확률은 음수가 아니고, 전체 표본공간의 확률은 1이며, 서로 겹치지 않는 사건들의 합집합 확률은 각 확률의 합입니다.

A가 일어나지 않는 사건을 Aᶜ라 하면 둘은 전체를 나누므로 P(Aᶜ)=1−P(A)입니다. ‘적어도 하나’ 문제는 ‘하나도 없음’을 먼저 계산하면 간단해집니다.

일반적으로 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)입니다. 겹치는 결과를 두 번 더했기 때문에 한 번 뺍니다.

일반 곱셈법칙은 P(A∩B)=P(A)P(B|A)입니다. 독립이면 P(B|A)=P(B)이므로 곱만 하면 됩니다.

무작정 공식을 고르지 말고 무엇이 한 시행인지, 결과가 동등하게 가능한지, 복원 여부와 사건의 겹침을 먼저 확인합니다.

하트 A는 13장, 왕 B는 4장이며 하트 왕 1장이 겹칩니다.

모든 결과가 항상 동등하게 가능한 것은 아니며, 과거에 앞면이 연속됐다는 사실이 독립 동전의 다음 확률을 바꾸지 않습니다. 확률 .7이 사건이 반드시 발생한다는 뜻도 아닙니다.

성공확률과 독립 시행 수를 바꾸어 1−(1−p)ⁿ이 어떻게 변하는지 확인합니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  확률은 불확실한 사건의 가능성을 0과 1 사이로 나타낸다.
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  표본공간은 가능한 결과 전체, 사건은 그 부분집합이다.
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  여사건은 P(Aᶜ)=1−P(A)로 계산한다.
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  겹치는 사건의 합집합에서는 교집합을 한 번 뺀다.
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  독립사건의 교집합 확률은 각 확률의 곱이다.
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  배반과 독립, 개별 결과와 장기빈도를 구분한다.