순서형 로지스틱 회귀

고객 만족도를 1점부터 5점까지 받으면 범주에는 분명한 순서가 있습니다. 그러나 1점과 2점의 심리적 간격이 4점과 5점의 간격과 같다고 보장할 수는 없습니다.

순서형 로지스틱 회귀는 이런 순서는 활용하면서 범주 사이의 동일한 거리는 가정하지 않습니다. 여러 범주를 각 절단점 아래와 위로 나누어 누적오즈를 모델링합니다.

만족도, 질환 중증도, 신용등급, 교육수준처럼 범주 순서는 분명하지만 정확한 수치 간격을 정의하기 어려운 결과에 사용합니다. 숫자 1~5로 코딩되어 있어도 측정척도의 성격이 자동으로 연속형이 되는 것은 아닙니다.

범주의 순서가 없다면 다항 로지스틱, 범주가 둘뿐이면 이항 로지스틱을 사용합니다. 결과가 사실상 연속척도이고 등간격 가정이 타당하다면 선형모형이 더 직접적일 수 있습니다.

1~5점을 선형회귀에 넣으면 각 한 점 차이가 같은 크기라고 가정하고 범위를 벗어난 예측도 가능해집니다. 반대로 다항 로지스틱은 각 범주를 별개로 취급해 순서정보를 쓰지 않고 범주마다 더 많은 계수를 추정합니다.

순서형 로짓은 K개 결과범주를 K−1개의 누적 비교로 바꿉니다. 하나의 공통 기울기를 사용하면 다항 로짓보다 간결하고, 자료가 적을 때 더 효율적일 수 있습니다.

결과가 1~5라면 P(Y≤1), P(Y≤2), P(Y≤3), P(Y≤4)의 네 누적확률을 생각합니다. 각 확률을 logit[P(Y≤j)]=θⱼ−βX로 모델링하며 j는 절단점입니다.

이 표기에서 θⱼ는 범주 경계의 위치이고 β는 X의 기울기입니다. 누적확률은 절단점이 올라갈수록 커져야 하므로 θ₁<θ₂<θ₃<θ₄의 순서를 갖습니다. 소프트웨어에 따라 부호와 누적 방향이 다르므로 출력식의 정의를 먼저 확인합니다.

절단점 θⱼ는 설명변수가 기준값일 때 잠재적인 만족 수준이 각 범주 경계를 넘는 위치를 정합니다. 절단점끼리의 차이가 곧 관측척도의 동일 간격을 뜻하지는 않습니다.

회귀계수 β는 X가 변할 때 결과분포가 낮은 범주에서 높은 범주 쪽으로 얼마나 이동하는지 나타냅니다. 보통 절단점 자체보다 β의 오즈비와 대표 조건의 범주별 예측확률을 해석합니다.

여기서 사용한 logit[P(Y≤j)]=θⱼ−βX 표기에서는 exp(β)가 X 1단위 증가 시 모든 절단점에서 “j보다 높은 범주”에 속할 오즈의 배수입니다. β=.50이면 exp(.50)=1.65이므로 높은 범주 오즈가 1.65배입니다.

오즈비는 확률비나 특정 범주 확률의 변화량이 아닙니다. 같은 OR이라도 시작 분포와 절단점에 따라 5점 확률의 변화는 달라집니다. 따라서 OR과 함께 대표적인 X값에서 각 범주의 예측확률을 제시합니다.

모형에서 Fⱼ=P(Y≤j)를 계산한 뒤 P(Y=1)=F₁, P(Y=2)=F₂−F₁, …, P(Y=5)=1−F₄로 각 범주 확률을 얻습니다. 모든 범주 확률은 0~1이고 합은 1이어야 합니다.

X가 증가하면 특정 한 범주의 확률이 항상 같은 방향으로 움직이지는 않습니다. 양의 β에서는 가장 낮은 범주 확률이 줄고 가장 높은 범주 확률이 늘지만, 가운데 범주는 한동안 늘었다가 줄 수 있습니다.

비례오즈 또는 평행선 가정은 β가 j에 따라 달라지지 않는다는 뜻입니다. 서비스 품질의 효과가 “1 대 2~5”, “1~2 대 3~5”, “1~4 대 5” 비교에서 같은 로그오즈 변화라고 보는 것입니다.

이 가정 덕분에 결과범주가 다섯 개여도 변수 하나당 계수 하나만 추정합니다. 그러나 낮은 만족에서 벗어나는 효과와 최고 만족에 도달하는 효과가 크게 다르면 공통계수가 중요한 차이를 가릴 수 있습니다.

절단점별 이항 로짓의 계수를 비교하거나 평행선 가정 검정을 사용할 수 있습니다. 큰 표본에서는 작은 위반도 유의할 수 있고 작은 표본에서는 중요한 위반을 놓칠 수 있으므로 그래프와 예측확률 차이를 함께 봅니다.

연속변수의 logit 선형성, 희소 범주, 완전·준완전 분리, 영향점도 확인합니다. 반복측정이나 군집자료에서는 독립성 가정이 깨지므로 혼합 순서형 로짓이나 군집 강건 추론을 고려합니다.

먼저 결과범주의 순서와 기준 방향을 명확히 정하고, 각 범주의 빈도와 설명변수 분포를 확인합니다. 범주를 합칠 때는 표본 수만이 아니라 실질적 의미와 측정 타당성을 고려합니다.

적합 후에는 계수·OR·신뢰구간, 절단점, 범주별 예측확률, 비례오즈 진단을 차례로 봅니다. 예측 목적이면 미사용 자료에서 로그손실·순서 민감 지표·확률 보정을 평가합니다.

고객 1,200명의 만족도 1~5를 결과로 하고 서비스 품질점수, 응답시간, 고객유형을 설명변수로 순서형 로짓을 적합했습니다. logit[P(Y≤j)]=θⱼ−βX 표기를 사용했습니다.

비례오즈 가정은 계수의 동일성을 뜻하지, 각 범주 확률이 같은 퍼센트포인트만큼 변한다는 뜻이 아닙니다. 또한 숫자코딩의 방향을 뒤집거나 소프트웨어의 누적 방향이 다르면 계수 부호도 바뀝니다.

순서형 결과를 임의로 두 범주로 합치면 정보와 검정력이 줄고 절단 기준에 따라 결론이 달라질 수 있습니다. 반대로 범주가 지나치게 희소하면 안정적인 추정이 어려우므로 측정 의미를 해치지 않는 범위에서 사전 계획된 결합을 검토합니다.

β와 X를 바꿔 절단점 하나에서 상위범주 확률이 어떻게 변하는지 확인해 보세요. 실제 순서형 모형에서는 모든 절단점의 누적확률을 계산한 뒤 그 차이로 각 범주 확률을 얻습니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  순서형 로짓은 범주의 순서를 활용하지만 범주 간 등간격은 가정하지 않는다.
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  누적로짓은 K개 범주를 K−1개의 절단점 아래·위 비교로 표현한다.
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  절단점은 범주 경계이고 회귀계수는 설명변수에 따른 결과분포 이동이다.
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  오즈비 해석은 누적방향과 부호 규약을 먼저 명시해야 한다.
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  비례오즈는 모든 절단점에서 같은 기울기를 쓰는 핵심 가정이다.
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  오즈비·범주별 예측확률·가정 진단·설계의 한계를 함께 보고한다.