인터랙티브·

대푯값: 평균·중앙값·최빈값

분포의 중심을 합·순서·빈도라는 서로 다른 관점으로 요약하기

들어가며

직원 다섯 명의 월급이 250·270·280·300·3,000만 원이면 “평균적인 월급”은 얼마일까요?

산술평균은 820만 원이지만 다섯 명 중 네 명보다 훨씬 큽니다. 중앙값은 280만 원이고 최빈값은 없습니다. 같은 자료라도 중심을 정의하는 방식에 따라 답이 달라집니다.

대푯값은 숫자 목록을 하나로 압축합니다. 압축 과정에서 분포의 비대칭·여러 봉우리·극단값을 숨길 수 있으므로 산포와 그래프를 함께 봐야 합니다.

핵심 질문

전체 합의 균형점, 순서의 가운데, 가장 자주 나타난 값 중 어떤 중심이 질문에 맞는가?

평균

합의 균형

모든 값의 크기를 반영하지만 극단값에 민감합니다.

중앙값

순서의 중심

정렬된 자료의 가운데를 사용해 극단값에 강건합니다.

최빈값

가장 잦은 값

수치와 범주 자료에서 가장 자주 나타난 값을 찾습니다.

산술평균은 균형점이다

모든 값을 더해 개수로 나눕니다. 각 값이 1만큼 바뀌면 평균은 1/n만큼 바뀌며 모든 관측값의 크기를 반영합니다. 총매출·총비용처럼 합계와 직접 연결되는 문제에 적합합니다.

평균에서 각 값까지의 부호 있는 편차를 더하면 0입니다. 또한 제곱편차합을 가장 작게 만드는 한 점이 평균이므로 최소제곱법과 연결됩니다.

\bar{x}=(1/n)\sum _{i}x_{i}, \sum _{i}(x_{i}-\bar{x})=0

평균은 자료의 무게가 양쪽에서 균형을 이루는 위치입니다.

평균을 직접 계산하기

자료 2,4,4,5,10의 합은 25이고 n=5이므로 평균은 5입니다. 각 편차 −3,−1,−1,0,5의 합은 0입니다.

10을 100으로 바꾸면 평균은 23이 됩니다. 관측 하나가 90만큼 증가하면서 평균은 90/5=18만큼 이동합니다. 평균이 극단값에 민감한 이유를 정확히 보여줍니다.

자료	합	평균
2,4,4,5,10	25	5
2,4,4,5,100	115	23

중앙값은 순서의 중심이다

값을 정렬해 홀수 n이면 가운데 값, 짝수 n이면 가운데 두 값의 평균을 사용합니다. 2,4,4,5,100의 중앙값은 4이며 100이 1,000으로 변해도 그대로입니다.

중앙값은 관측값의 절반이 그 이하, 절반이 그 이상인 50번째 백분위수입니다. 절대편차합을 최소화해 MAE 기반 예측의 중심과 연결됩니다.

\operatorname{median}=Q_{2}=P_{50}

크기의 차이보다 순위를 사용하므로 극단값의 실제 크기에 덜 민감합니다.

최빈값과 여러 봉우리

최빈값은 가장 자주 나타나는 값 또는 범주입니다. 혈액형·선호브랜드 같은 명목척도에서도 정의할 수 있는 유일한 대푯값입니다.

최빈값이 두 개 이상인 다봉분포도 있고 모든 값의 빈도가 같으면 뚜렷한 최빈값이 없습니다. 연속자료는 정확히 같은 값이 드물어 구간폭이나 밀도추정에 따라 봉우리가 달라질 수 있습니다.

세 대푯값을 선택하는 기준

하나가 언제나 우월하지 않습니다. “전형적인 개인”을 말할지, “전체 자원 규모”를 말할지에 따라 같은 분포에서도 선택이 달라집니다.

지표	사용 정보	적합한 상황	주의점
평균	모든 값의 크기	대칭·합계·대수 계산	극단값 민감
중앙값	정렬 순서	비대칭·소득·대기시간	합계를 복원 못함
최빈값	빈도	범주형·가장 흔한 선택	불안정·복수 가능

분포 모양과 평균·중앙값

오른쪽 꼬리가 긴 소득·집값에서는 큰 값이 평균을 오른쪽으로 끌어 보통 평균>중앙값입니다. 왼쪽 꼬리가 길면 반대 경향이 있습니다.

이 관계는 단봉분포의 경험적 단서이지 왜도의 정의나 보장된 규칙은 아닙니다. 여러 봉우리와 이상치가 있으면 평균·중앙값의 순서만으로 모양을 판단하지 않습니다.

가중평균과 묶인 자료

과목별 학점·거래량·표본설계처럼 관측의 빈도나 대표성이 다르면 가중평균을 사용합니다. 값 80과 90의 단순평균은 85지만 각각 1학점과 3학점이면 (80×1+90×3)/4=87.5입니다.

가중치는 단순 중요도, 빈도, 포함확률의 역수 등 의미가 다릅니다. 음수 가중치나 합이 0인 가중치는 일반적인 평균 해석을 깨므로 출처를 확인합니다.

\bar{x}_w=\sum _{i}w_{i}x_{i}/\sum _{i}w_{i}

복제 빈도 가중치와 조사 표본가중치는 계산은 같아도 추론 의미가 다릅니다.

성장률에는 기하평균

수익률이 +50%와 −50%이면 산술평균은 0%지만 100은 150을 거쳐 75가 됩니다. 두 기간의 평균 성장배수는 √(1.5×0.5)=0.866이므로 기간당 약 −13.4%입니다.

시간에 따라 곱으로 누적되는 성장률에는 기하평균이 맞습니다. 0 이하의 성장배수에는 직접 사용할 수 없고 단순한 수준자료의 중심으로 대체하면 안 됩니다.

GM=[\prod _{i}(1+r_{i})]^(1/n)-1

연속 기간 복리성장을 보존하는 평균 수익률입니다.

절사평균과 강건한 중심

절사평균은 양쪽 극단의 일정 비율을 제거한 뒤 평균을 계산해 평균의 효율성과 중앙값의 강건성을 절충합니다. 윈저화 평균은 극단값을 경계값으로 대체합니다.

극단값을 제거하기 전에 오류인지 실제 희귀사례인지 확인합니다. 사후에 원하는 결과가 나오도록 제거비율을 고르면 편향되므로 규칙을 사전에 정하고 원자료 결과도 함께 보고합니다.

보고할 때 빠뜨리지 말 것

평균만 “대표값”이라고 쓰지 말고 n, SD 또는 IQR, 최솟값·최댓값과 분포 그래프를 제시합니다. 비대칭자료는 중앙값[IQR], 대칭자료는 평균±SD가 흔한 조합입니다.

결측 처리, 가중치, 반올림 단위와 0의 의미를 명시합니다. 집단별 크기가 다르면 집단평균의 단순평균과 전체 개인평균이 다를 수 있습니다.

직접 해보기

다섯 번째 값이 극단적으로 커질 때 평균과 중앙값이 어떻게 달라지는지 확인하세요.

대푯값: 평균·중앙값·최빈값 인터랙티브 랩

중심과 산포를 조절하며 분포의 위치·폭·꼬리와 요약값이 어떻게 달라지는지 확인하세요.

조작할 때 그래프의 위치·모양·오류 구조를 먼저 보세요.

마지막 값10앞 네 값의 공통 이동0

계산 결과

평균 5.0 · 중앙값 4.0

마지막 값의 크기는 평균에 1/5만큼 반영되지만 순서상 가운데가 바뀌지 않는 동안 중앙값은 거의 움직이지 않습니다.

확인할 것

한 조절값만 먼저 움직인 뒤 그래프의 어떤 부분이 변하고 무엇은 그대로인지 설명해보세요.

핵심 정리와 더 깊이 알아보기

•
평균은 합계와 제곱오차의 균형점, 중앙값은 순서와 절대오차의 중심, 최빈값은 가장 흔한 값입니다.
•
극단값과 비대칭은 평균을 크게 움직이지만 중앙값은 실제 크기보다 순위에 의존합니다.
•
명목자료에는 최빈값, 복리성장에는 기하평균, 빈도·설계가중에는 가중평균을 사용합니다.
•
대푯값 선택은 자료형보다 “전형적 개인·전체 합·가장 흔한 범주” 중 질문이 무엇인지에 달려 있습니다.
•
대푯값은 산포·그래프·표본 수·가중치·결측 규칙과 함께 보고합니다.

주제	핵심 내용
M-estimator	평균과 중앙값 사이의 손실함수를 사용해 이상치에 강건하면서 정보를 효율적으로 활용합니다.
중앙값의 breakdown point	표본의 거의 절반이 오염돼도 무한히 끌려가지 않아 평균보다 강건합니다.
Simpson의 역설	집단별 중심과 전체 중심의 관계가 집단 구성비 때문에 반대로 나타날 수 있습니다.
다음 학습	산포는 같은 중심을 가진 자료가 얼마나 다르게 흩어져 있는지 범위·분산·표준편차로 측정합니다.

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