변수 변환·상호작용

광고비가 100만원에서 200만원으로 늘 때 매출이 크게 증가해도 1억원에서 1억100만원으로 늘 때 같은 증가가 반복되지는 않을 수 있습니다. 할인 효과도 온라인과 오프라인에서 다를 수 있습니다.

변수 변환은 곡선·비대칭·배수 관계를 다루고, 상호작용은 한 변수의 효과가 다른 변수 수준에 따라 달라지는 구조를 표현합니다.

로그, 제곱근, 역수, 표준화, 중심화처럼 원래 값을 새로운 척도로 바꿉니다. 목적은 p값을 작게 만드는 것이 아니라 함수형태·분산·해석을 연구 질문에 맞추는 것입니다.

어느 변수에 로그를 취했는지에 따라 계수 해석이 달라집니다. 작은 계수에서는 근사 해석이 가능하지만 큰 계수는 지수함수로 정확히 변환합니다.

Y=β₀+β₁X+β₂X²에서 X의 한계효과는 β₁+2β₂X입니다. 따라서 β₁만 단독으로 전체 효과라 해석할 수 없습니다.

Y=β₀+β₁X+β₂Z+β₃XZ에서 X의 효과는 β₁+β₃Z입니다. β₃가 상호작용이며 두 변수의 결합이 단순한 효과 합을 넘어서는 정도입니다.

채널 Z가 오프라인=0, 온라인=1이면 β₁은 오프라인의 광고 기울기이고 β₁+β₃는 온라인의 기울기입니다. β₂는 광고비 X=0에서 채널 간 절편 차이입니다.

Z가 연속형이면 낮음·평균·높음 또는 실질적으로 중요한 값에서 X의 단순기울기를 계산합니다. Johnson–Neyman 방법은 X효과가 유의한 Z 범위를 찾습니다.

산점도·부분잔차도와 도메인 이론으로 변환 또는 상호작용 후보를 정합니다. 항을 추가한 뒤 계수 하나가 아니라 예측곡선·단순기울기·검증성능을 확인합니다.

매출=40+1.5×광고비+12×온라인+2.0×광고비×온라인 모형을 적합했습니다. 광고비 단위는 100만원입니다.

많은 변환과 상호작용을 시험해 유의한 것만 남기면 다중검정과 과적합 문제가 생깁니다. 로그의 0·음수 처리, 재변환, 범위 밖 다항식 폭주도 주의합니다.

변환은 정규성 검정을 통과시키는 의식이 아니며, 상호작용이 유의하면 주효과를 삭제하는 것도 아닙니다. 중심화는 상관 구조와 해석 기준을 바꾸지만 실제 예측곡선은 바꾸지 않습니다.

β₁과 β₃를 바꾸어 Z=0과 Z=1에서 X의 기울기를 비교해보세요. 상호작용은 두 선의 절편이 아니라 기울기 차이를 바꿉니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  변환은 함수형태·분산·해석을 연구 질문에 맞게 바꾼다.
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  로그계수 해석은 어느 변수를 로그화했는지에 따라 다르다.
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  다항모형의 효과는 한 계수가 아니라 미분한 한계효과로 읽는다.
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  상호작용은 한 변수의 효과가 다른 변수에 따라 달라지는 구조다.
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  상호작용이 있으면 주효과는 다른 변수가 0일 때의 조건부 효과다.
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  계층 원칙·사전계획·그래프·검증을 함께 사용한다.