이분산성·자기상관

소득이 높을수록 소비의 평균이 증가하지만 고소득층의 소비 편차가 훨씬 클 수 있습니다. 월별 매출 잔차는 이번 달이 높으면 다음 달도 높은 식으로 이어질 수 있습니다.

OLS 계수는 일정 조건에서 여전히 평균관계를 추정하지만 독립·등분산을 가정한 표준오차가 틀려 신뢰구간과 p값이 과도하게 좁아질 수 있습니다.

등분산성은 Var(ε|X)=σ²가 일정하다는 뜻입니다. 이분산성에서는 평균 회귀선 주변의 폭이 X에 따라 넓어지거나 좁아집니다.

1차 자기상관은 εₜ가 εₜ₋₁과 관련되는 구조입니다. 양의 자기상관이면 같은 부호 잔차가 연속되고, 음의 자기상관이면 양수와 음수가 번갈아 나타납니다.

외생성과 평균식이 맞으면 이분산이나 자기상관만으로 OLS 계수가 자동 편향되지는 않습니다. 그러나 OLS는 더 이상 효율적이지 않고 일반 SE 공식이 틀립니다. 누락된 동학이 X와 연관되면 계수 편향도 생길 수 있습니다.

이분산은 잔차 대 적합값·X 그림과 집단별 상자그림으로 봅니다. 자기상관은 시간순 잔차도와 잔차 ACF를 확인합니다.

Breusch–Pagan과 White 검정은 잔차분산이 설명변수와 관련되는지 봅니다. Durbin–Watson은 주로 1차 자기상관, Breusch–Godfrey는 여러 시차의 자기상관을 검정합니다.

평균식이 맞고 추론만 고치려면 이분산 강건 SE 또는 HAC/Newey–West SE를 사용합니다. 분산이나 시계열 구조 자체를 모델링하면 WLS·GLS·ARIMA 오류모형 등을 검토합니다.

시간·개인·집단 구조를 확인하고 회귀를 적합한 뒤 잔차를 원래 순서로 복원합니다. 그래프로 구조를 보고 검정을 보조적으로 사용한 다음 문제의 원인과 목표에 맞는 SE 또는 모형을 선택합니다.

60개월 자료에서 매출을 광고비와 추세로 회귀했더니 광고비 계수는 1.8이었습니다. 잔차 ACF(1)=.58, BG p<.001로 양의 자기상관이 확인됐습니다.

강건 SE는 주어진 평균식의 추론을 보정할 뿐 비선형성·누락변수·내생성을 해결하지 않습니다. 시계열에서 추세를 제거하지 않으면 높은 R²와 유의성이 가짜 회귀에서 생길 수 있습니다.

잔차 분산비와 ρ를 바꿔보세요. 값이 커질수록 독립·등분산 OLS SE를 그대로 쓰기 어려워집니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  이분산은 조건에 따라 잔차분산이 달라지는 구조다.
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  자기상관은 시점·공간·군집의 오차가 연결된 구조다.
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  계수보다 일반 OLS 표준오차와 검정이 먼저 왜곡될 수 있다.
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  잔차그림·시간도·ACF를 먼저 보고 검정은 보조로 쓴다.
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  HC는 이분산, HAC는 이분산과 시계열 상관에 강건한 SE다.
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  강건 SE는 누락변수·비선형성·내생성을 해결하지 않는다.