일반화선형모형(GLM)

가입 여부 0/1이나 사고 건수 0·1·2…를 OLS로 회귀하면 음의 확률이나 음의 건수를 예측할 수 있고 평균에 따라 분산이 달라지는 구조도 놓칩니다.

일반화선형모형은 선형결합 η=Xβ를 유지하면서 결과에 맞는 확률분포와 링크함수로 평균을 허용 범위에 묶습니다.

GLM은 Y의 조건부분포, η=β₀+βX인 선형예측자, 그리고 평균 μ와 η를 연결하는 g(μ)=η로 구성됩니다.

결과가 연속인지, 0/1인지, 건수인지, 양의 연속값인지가 출발점입니다. GLM은 family마다 평균에 따른 분산함수 V(μ)를 함께 정의합니다.

η는 −∞부터 ∞까지 가능하지만 확률 μ는 0~1, 포아송 평균은 0보다 커야 합니다. 역링크는 어떤 η에서도 유효한 평균을 만듭니다.

β는 기본적으로 링크 척도에서 X 1단위 변화량입니다. log 링크에서는 e^β가 평균비, logit에서는 e^β가 오즈비입니다. 실제 의미는 예측확률·예측평균·한계효과로 바꿔 읽는 것이 안전합니다.

GLM은 관측자료가 가장 그럴듯해지는 β를 최대우도로 추정합니다. 반복가중최소제곱 IRLS는 현재 평균과 분산에 따라 가중치를 갱신하며 해를 찾습니다.

잔차 deviance는 포화모형 대비 적합 손실을, null deviance는 절편모형 대비 손실을 보여줍니다. AIC는 적합도와 모형복잡도를 함께 비교합니다.

포아송은 Var(Y|X)=E(Y|X)를 가정합니다. 관측분산이 더 크면 SE가 과소평가될 수 있어 quasi-Poisson, 음이항, 군집강건 SE를 고려합니다.

결과의 자료형과 노출단위를 확인하고 family·link를 정합니다. 모형 적합 후 계수를 결과척도로 변환하고 deviance·잔차·과산포·영향점을 확인합니다.

운전자 2,000명의 사고 여부는 이항-logit, 사고 건수는 포아송-log GLM으로 분석합니다. 같은 X라도 결과와 링크가 다르면 계수 해석도 달라집니다.

독립성, 선형예측자의 함수형태, 완전분리, 과산포, 영향점은 여전히 확인해야 합니다. 다른 링크의 계수 크기를 직접 비교해서도 안 됩니다.

η와 링크 혼합값을 바꿔보세요. identity는 제한이 없고 log는 양수, logit은 0~1 범위의 평균을 만듭니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  GLM은 분포 family·선형예측자·링크함수로 구성된다.
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  family는 결과 범위와 평균-분산 관계로 선택한다.
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  링크는 평균의 제한 범위를 실수인 η와 연결한다.
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  계수는 링크 척도이므로 오즈비·평균비·예측값으로 변환한다.
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  적합은 최대우도, 평가는 deviance·AIC·예측성능으로 한다.
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  과산포·구조적 0·독립성·함수형태를 진단한다.