조건부확률·베이즈 정리

질병이 드물면 건강한 사람이 훨씬 많아 작은 위양성률도 많은 양성 결과를 만듭니다. 검사 민감도가 95%라는 정보만으로 양성자의 질병확률을 알 수 없습니다.

조건부확률은 조건을 만족한 집단 안에서 비율을 다시 계산하고, 베이즈 정리는 원인에서 결과로 알려진 확률을 결과에서 원인으로 뒤집습니다.

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)입니다. 전체가 아니라 B 안에서 A가 차지하는 비율을 계산합니다.

정의를 바꾸어 쓰면 P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)입니다. 확률나무는 첫 가지 확률과 다음 조건부확률을 곱해 경로의 교집합을 구합니다.

A와 B가 독립이면 P(A|B)=P(A)이고 P(A∩B)=P(A)P(B)입니다. 표본에서 비율이 조금 다른 것과 모집단 독립 여부는 구분합니다.

B₁,…,Bₖ가 전체를 겹치지 않게 나누면 P(A)=ΣP(A|Bᵢ)P(Bᵢ)입니다. 양성 결과는 질병양성과 건강위양성 경로의 합입니다.

P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)입니다. 분자는 관심 원인과 증거가 함께 일어날 확률, 분모는 증거가 일어나는 모든 경로의 확률입니다.

사후오즈=사전오즈×가능도비입니다. 양성 가능도비 LR+=민감도/(1−특이도)는 양성 결과가 질병 오즈를 몇 배 높이는지 나타냅니다.

확률만 다루기 어렵다면 가상 1,000명 또는 10,000명을 놓고 질병·건강 인원과 검사결과를 순서대로 계산합니다.

민감도 95%, 특이도 90%인 검사를 1,000명에게 적용합니다. 질병 10명 중 9.5명이 양성이고 건강 990명 중 99명이 위양성입니다.

P(증거|원인)을 P(원인|증거)로 바꾸어 읽는 검사의 오류가 가장 흔합니다. 또한 조건부확률의 차이는 연관성을 뜻할 뿐 원인효과를 자동으로 뜻하지 않습니다.

민감도를 95%로 두고 유병률과 특이도를 바꾸어 양성자 중 실제 질병 비율을 확인합니다.

요약은 아래 핵심 정리에서 확인합니다.

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  조건부확률은 조건 사건 안에서 표본공간을 다시 제한한다.
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  P(A|B)와 P(B|A)는 일반적으로 다르다.
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  독립이면 조건이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다.
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  전체확률법칙은 증거가 생기는 모든 경로를 합한다.
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  베이즈 정리는 사전확률과 가능도로 사후확률을 갱신한다.
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  검사 해석에는 민감도·특이도뿐 아니라 유병률이 필요하다.