외생변수를 포함한 예측

과거 매출만으로 미래 매출을 예측하기 어려운 경우가 있습니다. 매출은 이전 달의 실적뿐 아니라 광고비, 판매 가격, 기온, 공휴일처럼 다른 요인의 영향을 받을 수 있기 때문입니다. ARIMAX와 SARIMAX는 과거 시계열의 패턴에 외생변수를 추가해 예측하는 모형입니다. 아이스크림 매출을 예측할 때 과거 매출의 추세와 계절성뿐 아니라 기온까지 반영하면, 여름철에 매출이 증가하는 패턴과 기온이 높을 때 매출이 증가하는 관계를 함께 고려할 수 있습니다. 이 장에서는 외생변수를 모형에 넣는 방법과, 예측 시점에 그 값을 알 수 있는지가 왜 중요한지 알아봅니다.

외생변수(Exogenous Variable)는 예측하려는 변수 이외에 예측에 활용하는 설명 변수로, 시계열 분석에서는 보통 X_t로 표기합니다.

그림 1처럼 월별 매출을 예측한다면 마케팅 투자를 나타내는 광고비, 가격 정책을 나타내는 판매 가격, 외부 환경을 나타내는 기온 등을 과거 매출의 시간적 패턴과 함께 사용할 수 있습니다. 외생변수는 분야에 따라 달라집니다.

단, 변수와 예측 대상 사이에 관계가 있다고 해서 반드시 유용한 예측 변수가 되는 것은 아닙니다. 실제로 예측 성능을 개선하는지 검증해야 합니다.

ARIMAX는 ARIMA에 외생변수를 추가한 모형입니다. 일반적인 ARIMA가 과거 관측값과 과거 오차를 활용한다면, ARIMAX는 여기에 외생변수의 정보까지 포함합니다.

그림 2처럼 기온이 높은 달이나 광고를 집행한 달에 매출도 높은 경향이 있다면, 이를 예측 변수로 추가할 수 있습니다. 하지만 주의할 점이 있습니다. 광고비 계수가 양수라고 해서 광고비를 늘리면 매출이 반드시 증가한다는 인과관계가 입증되는 것은 아닙니다. 광고비가 판매 수요가 높은 시기에 함께 증가했을 수도 있기 때문입니다.

SARIMAX는 계절성을 포함하는 SARIMA에 외생변수를 추가한 모형입니다. 아이스크림 매출이 매년 여름에 증가하는 계절 패턴이 있고, 기온이 높을수록 매출이 증가하는 경향도 있다면, SARIMAX는 반복되는 계절 패턴, 과거 매출의 시간적 관계, 기온과 같은 외생변수를 함께 활용할 수 있습니다.

여기서 '직접적인 계절 구조 없음'은 계절성을 별도 모형 항으로 지정하지 않는다는 뜻이며, 데이터에 계절 패턴이 전혀 없다는 의미는 아닙니다.

그림 3은 기온과 광고의 영향을 받는 모의 월별 매출(8년)에서 마지막 1년을 예측한 결과입니다. 외생변수가 없는 SARIMA의 RMSE는 7.7입니다. SARIMAX에 평가 기간의 실제 기온을 넣으면 3.3으로 크게 좋아 보이지만, 이는 예측 시점에는 알 수 없는 미래 값을 사용한 결과입니다. 현실처럼 기온을 예년 평균으로 예측해 넣으면 8.3으로 오히려 SARIMA보다 나빠집니다. 외생변수의 효과는 실제로 쓸 수 있는 정보 조건에서 평가해야 합니다.

외생변수를 사용할 때 가장 중요한 문제 중 하나는 예측 시점에 그 변수의 값을 알고 있는가입니다. 11월 말에 12월 매출을 예측한다고 가정해 보겠습니다.

그림 4처럼 미래의 외생변수를 모형에 넣었더라도 실제 예측 시점에 그 값을 알 수 없다면 그대로 활용할 수 없습니다. 이때는 공휴일 · 요일 · 예정된 행사처럼 미리 알려진 변수를 사용하거나, 미래 기온이나 환율 등을 별도로 예측한 뒤 입력하는 외생변수 자체 예측, 광고비를 여러 수준으로 가정해 결과를 비교하는 시나리오별 예측을 고려합니다. 외생변수의 미래값을 실제 관측값으로 넣어 성능을 평가하면 미래 정보를 미리 사용한 셈이 될 수 있으므로, 실제 운영 환경과 동일한 정보 조건으로 검증해야 합니다.

외생변수의 영향이 즉시 나타나지 않을 수도 있습니다. 광고를 집행한 직후 매출이 증가하기보다 며칠 또는 몇 주 후에 반응할 수 있습니다.

그림 5처럼 효과가 늦게 나타난다면 현재 광고비뿐 아니라 과거 광고비를 함께 고려할 수 있습니다.

이런 방식은 외생변수의 시차 효과를 반영하는 데 도움이 됩니다. 다만 시차를 너무 많이 추가하면 모형이 복잡해지고 추정이 불안정해질 수 있으므로, 업무 지식과 데이터에 근거해 후보를 정하고 검증하는 것이 좋습니다.

그림 6처럼 먼저 다음 달 매출인지, 다음 분기 전력 수요인지 등 예측 대상과 기간을 정합니다. 다음으로 예측 시점에 이용할 수 있고 예측 대상과 관련성이 있을 것으로 예상되는 외생변수를 고르고, 변수의 정의와 측정 시점을 확인합니다. 월별 매출과 일별 광고비를 함께 쓰려면 집계 기준을 정하는 등 시간 단위와 관측 시점을 맞춥니다. 그다음 계절성 필요 여부와 차분, AR · MA 차수를 검토해 ARIMAX 또는 SARIMAX를 적합하고, 외생변수를 포함한 모형과 포함하지 않은 모형을 비교합니다. 마지막으로 잔차에 패턴이 남아 있는지 살펴보고, MAE나 RMSE 같은 지표로 시간 순서를 유지한 검증을 거쳐 실제 예측 성능을 평가합니다.

외생변수를 추가하면 언제나 예측이 좋아지는 것은 아닙니다. 변수의 품질이 낮거나 미래값을 정확히 확보하기 어렵다면 오히려 예측이 불안정해질 수 있습니다.

• ARIMAX는 ARIMA에 외생변수를 추가한 예측 모형입니다.
• SARIMAX는 계절성과 외생변수를 함께 반영합니다.
• 광고비, 가격, 기온, 공휴일 등은 예측 대상에 따라 외생변수가 될 수 있습니다.
• 미래 외생변수의 값을 모른다면 해당 변수도 예측하거나 시나리오를 설정해야 합니다.
• 외생변수의 추가 여부는 계수의 유의성만으로 판단하지 말고, 실제 예측 성능과 데이터 이용 가능성을 함께 고려해야 합니다.

다음은 09 다변량 시계열 — VAR, VECM입니다. 지금까지는 하나의 주요 변수를 예측하면서 다른 변수를 설명 요인으로 활용했다면, 다음에는 여러 시계열 변수가 서로 영향을 주고받는 관계를 분석하는 방법을 살펴봅니다.