지수평활법

과거 매출 데이터를 이용해 다음 달 매출을 예측한다고 해보겠습니다. 가장 단순한 방법은 최근 매출을 그대로 다음 달의 예측값으로 사용하는 것입니다. 하지만 매출이 꾸준히 증가하거나 매년 특정 계절에 높아지는 패턴이 있다면, 이런 방식만으로는 변화를 충분히 반영하기 어렵습니다. 지수평활법(Exponential Smoothing)은 과거 관측값에 가중치를 부여해 미래를 예측하는 방법입니다. 일반적으로 최근 관측값에 더 큰 가중치를 주며, 모형을 확장하면 추세와 계절성까지 반영할 수 있습니다. 이 장에서는 단순 지수평활법부터 홀트 · 홀트-윈터스 방법, 그리고 이를 체계화한 ETS 모형까지 알아봅니다.

지수평활법의 핵심은 과거의 모든 데이터를 동일하게 취급하지 않는다는 것입니다. 최근의 관측값을 더 중요하게 반영하면서 과거 정보의 영향은 점차 작아지도록 계산합니다. 어떤 매장의 매출이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.

그림 1처럼 단순히 전체 평균(113)을 사용하면 최근 매출 상승이 충분히 반영되지 않습니다. 반면 지수평활법은 최근 매출의 변화에 더 빠르게 반응하도록 예측값을 갱신할 수 있습니다.

그림 2처럼 각 과거 관측값의 가중치는 α(1 − α)^k로, 과거로 갈수록 지수적으로 작아집니다. 지수평활법은 크게 수준만 반영하는 단순 지수평활법, 수준과 추세를 반영하는 추세를 포함한 지수평활법, 수준 · 추세 · 계절성을 반영할 수 있는 계절성을 포함한 지수평활법으로 나눌 수 있으며, 어떤 방법이 적절한지는 데이터에 어떤 패턴이 있는지에 따라 달라집니다.

단순 지수평활법(Simple Exponential Smoothing)은 뚜렷한 추세나 계절성이 없는 시계열에 적합한 기본 모형입니다. 예측값은 이전 시점의 수준과 실제 관측값을 결합해 계산합니다.

앞의 매출에서 α = 0.3, 초기 수준을 첫 관측값 100으로 두면 수준은 100 → 103 → 103.6 → 108.5 → 115.0으로 갱신되고, 6월 예측값은 115.0입니다. 실제 모형에서는 초기값을 추정하는 방법에 따라 결과가 달라질 수 있습니다.

그림 3처럼 α가 크면 최근 값의 영향이 커져 급격한 변화에 빠르게 반응하고, α가 작으면 과거의 평활값을 더 많이 반영해 변화가 부드럽게 나타납니다. 단, 최근 값에 민감하게 반응한다고 해서 예측 정확도가 항상 높아지는 것은 아닙니다. α = 0.9처럼 일시적인 이상치까지 크게 반영할 수 있기 때문입니다.

매출이 지속적으로 증가하는 데이터에 단순 지수평활법을 사용하면 추세를 충분히 반영하지 못할 수 있습니다. 이때 수준과 추세를 함께 추정하는 홀트 선형 추세법(Holt's Linear Trend Method)을 고려할 수 있습니다.

그림 4처럼 현재 매출 수준이 150이고 추세가 월평균 5만큼 증가하는 것으로 추정된다면, 단순화된 3개월 후 예측값은 150 + 3 × 5 = 165가 됩니다.

그림 5처럼 단순 지수평활법은 수평으로, 홀트 방법은 직선으로 예측합니다. 다만 실제 추세가 꺾이거나 성장률이 변하면 선형 추세를 계속 연장하는 예측은 부정확해질 수 있습니다. 추세가 장기간 지속되지 않을 것으로 예상된다면 점점 평평해지는 감쇠 추세(Damped Trend)를 사용하는 방법도 있습니다.

매출이 매년 여름에 증가하거나 연말에 급증한다면 계절성까지 반영하는 모형이 필요합니다. 다음 달의 매출을 예측할 때 현재 수준과 추세뿐 아니라 해당 월의 계절 효과도 고려해야 하기 때문입니다. 대표적인 방법은 홀트-윈터스(Holt–Winters) 방법으로, 계절 변동의 절대적인 크기가 대체로 일정할 때는 가법 계절 모형을, 상대적인 크기가 일정할 때는 승법 계절 모형을 씁니다(04장).

그림 6처럼 홀트-윈터스 방법은 추세와 함께 계절 굴곡까지 이어서 예측합니다. 월별 데이터에서 계절 주기는 일반적으로 12이며, 분기별 데이터에서는 4가 될 수 있습니다.

계절 주기를 설정할 때는 데이터의 실제 기록 간격과 반복 주기를 확인해야 합니다. 계절성이 명확하지 않은 데이터에 계절 모형을 무조건 적용할 필요는 없습니다.

ETS는 Error, Trend, Seasonality의 약자입니다. 지수평활법을 오차, 추세, 계절성의 구성에 따라 체계적으로 표현하는 모형 체계로, 단순히 지수평활 계산을 수행하는 것에서 더 나아가 데이터의 오차와 추세 및 계절성을 어떤 방식으로 표현할지 선택할 수 있습니다.

그림 7처럼 추세와 계절의 조합마다 하나의 지수평활 모형이 대응합니다. 예를 들어 ETS(A,Ad,A)는 가법 오차, 감쇠 가법 추세, 가법 계절성을 갖는 모형을 뜻합니다. 여기서 중요한 점은 ETS의 첫 번째 글자인 Error가 지수평활법의 가중치와는 다른 개념이라는 것입니다. 오차 구조는 실제 관측값과 모형이 예측한 값 사이의 오차를 어떻게 표현할지와 관련됩니다. 실제 분석에서는 여러 ETS 후보 모형을 적합한 뒤 AICc 같은 정보 기준과 예측 성능을 비교해 적절한 모형을 선택할 수 있습니다. 다만 정보 기준이 낮다는 이유만으로 미래 예측 성능이 반드시 가장 좋다고 단정할 수는 없습니다.

지수평활법과 ARIMA는 모두 시계열 예측에 활용되지만, 접근 방식에 차이가 있습니다.

두 방법 중 어느 하나가 항상 우수한 것은 아닙니다. 데이터의 패턴과 예측 기간에 따라 성능이 달라질 수 있으므로 동일한 학습 · 평가 구간에서 비교하는 것이 좋습니다. ARIMA는 06 · 07장에서 다룹니다.

• 지수평활법은 과거 관측값에 가중치를 부여해 미래를 예측합니다.
• 단순 지수평활법은 수준, 홀트 방법은 수준과 추세, 홀트-윈터스 방법은 계절성까지 반영할 수 있습니다.
• ETS는 오차 · 추세 · 계절성의 조합으로 지수평활 모형을 표현하는 체계입니다.
• 지수평활법과 ARIMA는 서로 다른 접근 방식이며, 실제 예측 성능을 비교해 선택하는 것이 좋습니다.
• 과거의 패턴이 미래에도 유지된다는 보장은 없으므로, 시간 순서를 지킨 평가 데이터로 예측 성능을 확인해야 합니다.

다음은 06 자기회귀 · 이동평균모형 — AR, MA, ARMA입니다. 현재 값이 과거 관측값과 어떤 관계를 갖는지, 그리고 과거의 예측 오차가 현재 값에 어떻게 반영되는지 살펴봅니다.