시계열 분해

월별 매출이 증가했다고 해서 매출의 모든 변화가 성장 때문인 것은 아닙니다. 장기적으로 매출이 늘어나는 동시에 여름철이나 연말에 반복적으로 매출이 높아질 수도 있고, 여기에 행사나 날씨처럼 예측하기 어려운 요인도 영향을 줍니다. 시계열 분해(Time Series Decomposition)는 관측된 데이터를 추세, 계절성, 불규칙 변동 등의 구성 요소로 나누어 살펴보는 방법입니다. 전체 데이터의 변화가 어떤 패턴에서 비롯되었는지 이해하고, 예측 모형을 선택하거나 결과를 해석할 때 활용할 수 있습니다. 이 장에서는 분해의 방식과 추세 · 계절성 · 잔차를 추정하고 읽는 방법, 그리고 분해의 한계를 알아봅니다.

시계열 분해는 하나의 관측값에 여러 변화 요인이 함께 반영되어 있다는 관점에서 출발합니다. 아이스크림의 월별 매출이 증가했다면, 매장이 성장하거나 고객이 늘어 장기적으로 매출이 증가하는 추세, 날씨가 더워지는 여름마다 매출이 높아지는 계절성, 특정 달의 갑작스러운 폭염이나 일회성 행사 같은 불규칙 변동이 함께 섞여 있을 수 있습니다. 이러한 요소를 구분하면 단순히 매출이 올랐다는 사실을 넘어, 장기적인 성장과 계절적인 변화를 각각 이해할 수 있습니다.

그림 1처럼 시계열 분해에서는 일반적으로 네 가지 패널을 확인합니다.

01장에서 배운 순환 변동은 별도로 구분할 수도 있지만, 대표적인 분해 방법에서는 장기 추세에 포함되거나 잔차에 남을 수 있습니다. 따라서 모든 분해 결과가 순환 요소를 독립적으로 제공하는 것은 아닙니다.

시계열 분해는 구성 요소를 결합하는 방식에 따라 가법 모형과 승법 모형으로 나뉩니다(01장 3절).

그림 2처럼 평소 매출 수준이 100이든 200이든 여름철에 약 30만큼 매출이 추가되는 패턴이라면 가법 분해를, 매출이 100일 때나 200일 때나 여름철에 30% 증가한다면 승법 분해를 고려할 수 있습니다.

승법 모형은 일반적으로 양수인 데이터에 적용합니다. 데이터에 0이나 음수가 포함되어 있다면 적용 방식에 주의해야 합니다.

다음은 월별 매출을 단순화한 예시입니다.

그림 3처럼 이 표에서는 실제 매출이 추세와 계절 효과의 합으로 설명됩니다. 6월 매출 145는 추세 110과 계절 효과 35를 합한 값입니다. 설명을 위한 가상 데이터이며, 잔차가 0이 되도록 단순화했습니다. 실제 가법 분해에서는 1년(12개월) 계절 효과를 모두 더하면 0이 되도록 추정합니다.

실제 분해에서는 추세와 계절 효과를 직접 관측할 수 없기 때문에 통계적인 방법으로 추정합니다. 추세를 추정하는 방식이나 분석 구간에 따라 분해 결과가 달라질 수 있습니다.

추세는 단기적인 오르내림을 완화하고 장기적인 방향을 확인하기 위해 추정합니다. 대표적인 방법은 이동평균과 LOESS 기반의 평활화입니다.

이동평균(Moving Average)은 주변 시점의 값을 평균해 단기적인 변동을 완화하는 방법입니다. 3개월 이동평균을 사용하면 각 시점 주변의 3개월 값을 평균해 매출의 장기적인 흐름을 더 쉽게 볼 수 있습니다.

그림 4처럼 1월 매출이 100, 2월이 120, 3월이 110이라면 3개월 평균은 (100 + 120 + 110) / 3 = 110입니다. 평균을 사용하면 2월의 일시적인 상승이 완화되어 주변 기간의 전반적인 수준을 파악하기 쉬워집니다.

LOESS는 주변 관측값에 가중치를 주어 국소적인 곡선을 추정하는 평활화 방법입니다. 사업 초기에는 매출이 빠르게 증가하다가 시장이 성숙하면서 증가 속도가 둔화되는 경우처럼, 추세가 직선이 아니라 완만한 곡선 형태로 바뀌는 데이터에 활용할 수 있습니다.

그림 5처럼 3개월 이동평균은 계절 굴곡이 그대로 남고, 12개월 중심이동평균은 계절성을 지우지만 양 끝 6개월은 추세를 추정하지 못합니다. 이동평균은 직관적이지만 창의 크기에 따라 결과가 달라지고 양 끝 시점에서는 추세를 추정하기 어려울 수 있습니다. LOESS는 곡선형 추세를 끝까지 매끄럽게 추정합니다.

계절성은 일정한 주기를 두고 반복되는 패턴입니다. 월별 데이터라면 12개월, 분기별 데이터라면 4분기를 하나의 주기로 살펴보는 것이 일반적입니다. 계절성을 확인할 때는 각 연도 또는 계절별 데이터를 나란히 비교하는 계절 그래프, 월이나 분기별 평균, 추세를 제외한 뒤 추정한 계절 요소를 활용합니다.

그림 6 · 7처럼 매년 7 ~ 8월에 매출이 높고 1 ~ 2월에 낮다면 계절성이 존재할 가능성이 있습니다. 다만 단 한 해의 여름 매출이 높았다는 사실만으로 매년 반복되는 계절성이라고 단정할 수는 없습니다. 그림 6처럼 여러 주기에 걸쳐 비슷한 패턴이 나타나는지 확인해야 합니다.

잔차(Residual)는 실제 관측값에서 추정된 추세와 계절 효과를 제거하고 남은 부분입니다. 가법 모형에서는 R_t = Y_t − T_t − S_t로 계산합니다.

그림 8의 왼쪽처럼 잔차가 무작위적인 변동에 가깝다면 추세와 계절성이 데이터를 잘 설명한 것입니다. 오른쪽처럼 추세만 빼고 계절성을 빼지 않으면 잔차에 12개월 주기가 그대로 남습니다(12시차 자기상관 0.79). 잔차가 크다고 반드시 분석이 잘못된 것은 아니지만, 잔차가 무작위처럼 보인다고 해서 모든 문제가 해결된 것도 아닙니다. 잔차에 자기상관이 남아 있거나 변동 폭이 일정하지 않다면 추가적인 분석이 필요할 수 있습니다.

• 시계열 분해는 관측값을 추세, 계절성, 잔차 등의 구성 요소로 나누어 이해하는 방법입니다.
• 가법 분해는 계절 변동의 절대적인 크기가 일정할 때, 승법 분해는 상대적인 크기가 일정할 때 고려합니다.
• 이동평균과 LOESS는 추세를 추정하는 대표적인 방법입니다.
• 잔차에 패턴이 남아 있는지 확인하면 분해 결과가 데이터를 얼마나 잘 설명하는지 평가하는 데 도움이 됩니다.
• 분해는 데이터의 구조를 설명하는 방법이며, 미래 예측에는 추가적인 모형과 검증이 필요합니다.

다음은 05 지수평활법 — ETS입니다. 과거 관측값에 서로 다른 가중치를 부여해 미래를 예측하는 방법을 살펴보고, 수준 · 추세 · 계절성을 반영하는 지수평활 모형의 차이를 알아봅니다.