공적분과 오차수정모형

두 시계열이 함께 증가한다고 해서 반드시 서로 관련이 있는 것은 아닙니다. 하지만 각각 불안정하게 움직이는 변수라도 둘 사이에 장기적으로 유지되는 관계가 있을 수 있습니다. 주택 가격과 임대료처럼, 단기적으로는 한쪽이 먼저 오르고 다른 쪽이 뒤늦게 따라가더라도 둘의 차이는 벗어났다가 다시 줄어들 수 있습니다. 이 장에서는 이런 장기 관계인 공적분(Cointegration)과, 그 관계에서 벗어난 정도가 단기 변화와 어떻게 연결되는지 분석하는 오차수정모형(Error Correction Model, ECM)을 알아봅니다.

03장에서 살펴본 것처럼 비정상 시계열에는 장기적인 추세가 있을 수 있습니다. 이런 변수들을 그대로 회귀분석하면 실제 관계가 없는데도 높은 설명력이나 유의한 결과가 나타나는 허위회귀(Spurious Regression)가 발생할 수 있습니다. 서로 독립적으로 움직이는 두 변수라도 시간이 흐르면서 모두 증가한다면, 단순 회귀분석에서 강한 관계가 나타날 수 있습니다. 공적분 분석은 이러한 문제를 다루면서 변수들 사이에 의미 있는 장기 관계가 있는지 확인하는 방법입니다.

그림 1의 왼쪽처럼 공통된 장기 관계가 없는 경우에는 두 변수가 모두 증가하더라도 둘 사이의 차이가 계속 커지거나 불규칙하게 움직일 수 있습니다. 함께 증가한다는 사실만으로 공적분을 판단할 수 없습니다. 반면 오른쪽처럼 공적분 관계가 있는 경우에는 단기적으로 차이가 발생하더라도 특정한 선형결합이 장기적으로 안정적인 특성을 보입니다. 실제로 Engle–Granger 검정을 적용하면 왼쪽은 p = 0.79로 공적분이 확인되지 않고, 오른쪽은 p < .001로 공적분이 확인됩니다.

공적분을 이해하려면 먼저 정상성과 차분의 개념을 알아야 합니다. 어떤 시계열이 수준에서는 비정상이지만 한 번 차분하면 정상적이 되는 경우, 그 시계열은 흔히 I(1)이라고 표기합니다. 두 변수 X_t와 Y_t가 각각 I(1)이고, 두 변수의 특정한 선형결합이 다음과 같다고 생각해 봅시다.

그림 2에서 X_t와 Y_t는 각각 ADF 검정에서 단위근이 기각되지 않지만(X_t: p = 0.88), Z_t = Y_t − 0.8X_t는 p < .001로 정상입니다. 핵심은 개별 변수의 수준이 계속 움직이더라도, 두 변수를 적절하게 결합하면 그 관계가 장기적으로 안정적일 수 있다는 점입니다.

어떤 지역의 주택 가격 지수와 임대료 지수가 장기적으로 일정한 관계를 가진다고 가정해 보겠습니다. 관계에서 벗어난 정도는 Z_t = Y_t − 0.8X_t(임대료 − 0.8 × 주택 가격)로 계산했습니다.

설명용 가상 데이터입니다. 그림 3처럼 두 지수는 함께 증가하는 경향을 보입니다. 주택 가격이 4기에 단기적으로 하락하거나 임대료가 3기에 더 빠르게 상승하더라도, 임대료와 0.8 × 주택 가격의 차이는 0에서 −3 사이의 일정 범위에서 움직입니다. 다만 표에 있는 몇 개의 관측값만으로 공적분이 있다고 결론 내릴 수는 없습니다. 실제로는 충분한 시계열 자료와 적절한 통계적 검정이 필요합니다.

대표적인 방법은 Engle–Granger 검정과 Johansen 검정입니다.

Engle–Granger 검정

그림 4처럼 먼저 변수들이 적절한 차수의 비정상 시계열인지 확인하고, 변수 사이의 장기 관계를 회귀식으로 추정합니다. 이어서 추정한 장기 관계의 잔차를 구하고, 잔차가 정상적인 특성을 갖는지 공적분 검정으로 확인합니다. 주의할 점은 잔차에 일반적인 ADF 검정을 그대로 적용하고 통상적인 임계값만 사용하는 것이 항상 올바른 것은 아니라는 것입니다. Engle–Granger 검정에서는 추정된 회귀식의 특성을 반영한 임계값이나 검정 절차를 사용해야 합니다.

Johansen 검정

변수가 세 개 이상이거나 장기 관계가 여러 개일 수 있다면 Johansen 검정을 고려할 수 있습니다. 이 검정은 공적분 관계의 개수, 즉 공적분 계수(rank)를 추론하는 데 사용됩니다.

그림 5는 세 변수 중 두 변수만 함께 움직이도록 만든 자료입니다. Johansen 검정은 "공적분 관계가 0개"라는 가설(r = 0)부터 차례로 검정합니다. 여기서는 검정통계량 93.6이 5% 임계값 29.8을 넘어 기각되고, 다음 가설 "1개 이하"(r ≤ 1)는 10.7 "공적분 관계가 0개"라는 가설(r = 0)은 검정통계량 93.6이 임계값을 크게 넘어 기각되고, "1개 이하"(r ≤ 1)는 기각되지 않으므로 공적분 관계를 1개로 판단합니다.lt; 15.5로 기각되지 않으므로 여기서 멈추고 공적분 관계를 1개로 판단합니다. 다만 결과는 시차 설정, 상수항과 추세항의 처리 등 모형 설정에 영향을 받습니다.

ECM(Error Correction Model, 오차수정모형)은 장기적인 관계에서 벗어난 정도와 단기 변화를 함께 모델링합니다. 공적분 관계가 있는 두 변수의 경우, 장기 관계에서 벗어난 정도를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

단순한 ECM의 형태는 다음과 같습니다.

λ가 음수라면, 오차수정항이 양수일 때 Y의 변화가 음의 방향으로 나타나는 경향을 시사합니다. 그림 6의 모의 자료에서는 λ = −0.37(p < .001)로 추정되어, 지난 시점에 Y가 장기 관계보다 높았다면 이번 시점에는 내려가는 방향으로 움직였습니다. 이것은 장기 관계로 되돌아가는 조정과 부합할 수 있지만, 실제로 안정적인 조정이 이루어지는지는 전체 모형과 다른 계수도 함께 살펴봐야 합니다.

장기 관계에서 벗어난 정도가 시간이 지나면서 얼마나 빠르게 줄어드는지를 조정 속도로 설명할 수 있습니다.

그림 7처럼 λ의 절댓값이 클수록 이탈이 빨리 줄어듭니다. 하지만 이를 모든 상황에서 정확히 "매 기간 30%가 회복된다"고 단정해서는 안 됩니다. 조정 속도의 해석은 모형의 구조와 변수의 정의, 다른 동학적 항의 포함 여부에 따라 달라집니다.

이 세 가지는 서로 관련되어 있지만 같은 모형은 아닙니다.

일반적으로 두 변수의 공적분 관계를 다루는 단순한 오차수정모형을 ECM이라고 부르고, 여러 변수의 장기 관계와 단기 변화를 함께 다루는 벡터 형태를 VECM이라고 부릅니다(09장 VECM). 비정상 변수들이 공적분되어 있다면, 모든 변수를 단순히 차분한 VAR만 사용하는 경우 장기 관계에 대한 정보를 놓칠 수 있습니다. 이때 VECM은 장기 균형 항과 단기 변화 항을 함께 반영합니다.

그림 8처럼 먼저 주택 가격과 임대료, 소득과 소비처럼 장기적인 관계가 있을 것으로 예상되는 변수를 정합니다. 그래프와 단위근 검정으로 각 변수의 적분 차수를 살펴보는데, 표준적인 공적분 접근에서는 변수들이 같은 적분 차수를 갖는지 확인하는 것이 중요합니다. 이어서 변수의 개수와 연구 목적에 따라 Engle–Granger 또는 Johansen 검정으로 공적분 관계를 검정하고, 공적분 관계가 뒷받침되면 ECM 또는 VECM을 적합합니다. 장기 관계의 방향과 조정항의 계수, 단기 변화의 관계를 해석하고 잔차의 자기상관 등 모형 진단을 수행합니다. 마지막으로 표본 기간에 따라 관계가 달라지는지 검토하고, 예측이 목적이라면 시간 순서를 유지한 검증으로 성능을 비교합니다.

• 공적분은 각각 비정상적인 시계열 변수들이 특정한 선형결합을 통해 정상적인 장기 관계를 형성하는 현상입니다.
• ECM은 장기 관계에서 벗어난 정도가 단기 변화와 어떻게 연결되는지 분석합니다.
• VECM은 여러 변수의 장기 균형과 단기 조정을 함께 모델링합니다.
• Engle–Granger와 Johansen 검정은 대표적인 공적분 검정 방법입니다.
• 공적분 관계가 확인되더라도 인과관계가 자동으로 입증되는 것은 아닙니다.

다음은 11 변동성 모형 — ARCH, GARCH입니다. 평균이나 추세뿐 아니라 시간에 따라 변하는 변동성 자체를 분석하는 방법을 살펴봅니다. 금융 수익률처럼 변동이 큰 시기와 작은 시기가 뭉쳐 나타나는 데이터에서 특히 유용합니다.