ARIMA · SARIMA

시계열 데이터에는 시간이 흐르면서 값이 꾸준히 증가하거나 감소하는 추세가 있을 수 있고, 매년 비슷한 시기에 반복되는 계절 패턴이 나타나기도 합니다. 이런 데이터에 단순히 과거 값과 오차를 연결하는 ARMA 모형을 적용하면 패턴을 충분히 설명하지 못할 수 있습니다. ARIMA와 SARIMA는 차분을 통해 추세와 비정상성을 다루고, 계절성이 있는 경우 반복 주기까지 반영해 미래를 예측하는 모형입니다. 매달 매출이 증가하면서 매년 12월에 큰 폭으로 상승하는 소매점이라면, ARIMA는 일반적인 시간적 변화를 다루고 SARIMA는 여기에 연간 계절 패턴까지 반영할 수 있습니다. 이 장에서는 두 모형의 구조와 표기, 차분과 계절 차분, 분석 순서와 예측 결과의 해석을 알아봅니다.

ARIMA는 자기회귀(AR), 차분(Integrated), 이동평균(MA)을 결합한 시계열 예측 모형입니다. 앞 장의 ARMA는 정상 시계열을 전제로 하지만, 실제 데이터에는 장기적인 증가 추세나 감소 추세가 있어 평균이 일정하지 않은 경우가 많습니다. ARIMA는 이러한 추세를 차분으로 처리한 뒤, 변환된 데이터에 ARMA 구조를 적용합니다.

그림 1처럼 p는 과거 관측값을 몇 시점까지 활용할지(p = 2이면 두 시점 전까지), d는 비정상적인 추세를 줄이기 위해 몇 번 차분할지(d = 1이면 한 번), q는 과거 예측 오차를 몇 시점까지 반영할지 결정합니다. 여기서 MA는 단순히 과거 관측값의 평균을 계산한다는 뜻이 아닙니다.

차분은 연속된 시점의 값 사이의 차이를 계산하는 방법으로, 데이터의 수준 자체보다 얼마나 변했는지를 분석하도록 바꾸는 것입니다(03장).

그림 2처럼 매출 자체는 계속 증가하지만, 차분한 값은 매월 10으로 일정합니다. 이렇게 차분하면 증가 추세가 줄어들어 시계열의 변화를 더 쉽게 모델링할 수 있습니다.

다만 차분을 많이 적용할수록 좋은 것은 아닙니다. 그림 3처럼 이미 정상적인 데이터에 차분을 한 번 더 하면 표준편차가 약 √2배로 커지는 등 필요 없는 변동이 생기고, 모형의 해석과 예측 성능이 나빠질 수 있습니다. 필요한 만큼만 차분하는 것이 중요합니다.

일반 차분은 바로 이전 시점과 비교하지만, 계절 차분은 같은 계절 주기에 해당하는 과거 시점과 비교합니다.

매년 여름에 아이스크림 매출이 증가한다면, 6월 매출을 직전 달인 5월과 비교하는 것만으로는 계절성을 충분히 제거하지 못할 수 있습니다. 지난해 6월과 비교하면 반복되는 연간 패턴을 파악하는 데 도움이 됩니다.

그림 4처럼 1차 차분은 추세를 없애지만 계절 굴곡은 남기고, 계절 차분은 계절 굴곡을 없앱니다. 일반 차분과 계절 차분은 서로 다른 역할을 하므로 함께 적용할 수도 있습니다. 일반 차분 d는 장기적인 추세를, 계절 차분 D는 반복되는 계절 패턴을 다룹니다.

SARIMA는 ARIMA에 계절성 구조를 추가한 모형으로, 계절 주기가 반복되는 월별 매출, 분기별 실적, 주별 수요 등을 분석할 때 활용할 수 있습니다. 앞의 세 항은 일반적인 시계열 구조를, 뒤의 세 항은 계절성 구조를 나타냅니다.

월별 매출에 SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1)₁₂를 적용한다면 일반 AR, 차분, MA 구조와 계절 AR, 계절 차분, 계절 MA 구조를 각각 한 차수씩 포함하고, 12개월 간격의 반복 패턴을 고려합니다. 이 표기는 하나의 후보 모형을 설명하는 예시이며, 실제로 이 모형이 가장 적합한지는 데이터와 잔차 진단, 예측 성능을 확인해야 판단할 수 있습니다.

그림 5는 추세와 12개월 계절성이 있는 모의 월별 자료 8년 중 7년으로 학습하고 마지막 1년을 예측한 결과입니다. 계절 구조가 없는 ARIMA(1, 1, 1)은 계절 굴곡을 따라가지 못해 RMSE가 65.9이지만, SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 1)₁₂는 4.1로 실제 값을 잘 따라갑니다.

선택할 때는 그래프만 보고 결정하지 않습니다. 계절 주기의 존재 여부, ACF와 PACF, 후보 모형의 정보 기준, 잔차의 특성, 실제 예측 성능을 함께 확인해야 합니다. 또한 계절성이 있다고 해서 반드시 SARIMA를 써야 하는 것은 아닙니다. 시계열 분해나 ETS 같은 다른 모형도 비교할 수 있습니다.

ARIMA · SARIMA 분석은 단순히 차수를 지정하고 실행하는 것으로 끝나지 않습니다. 데이터의 구조를 확인하고, 적절한 모형을 선택한 뒤, 예측이 얼마나 정확한지 검증해야 합니다.

그림 6처럼 먼저 시계열 그래프에서 추세, 계절성, 이상치, 구조적 변화와 관측 주기를 확인합니다. 필요하다면 로그 변환 등으로 변동 폭을 조정하고 일반 차분 d와 계절 차분 D를 검토한 뒤, ACF와 PACF를 참고해 AR · MA 차수 후보를 탐색합니다. 여러 후보 모형을 적합해 AIC 또는 BIC 같은 정보 기준을 비교하는데, 값이 낮은 모형이 후보로 유리할 수 있지만 그것만으로 예측 성능이 보장되지는 않습니다. 이어서 잔차에 뚜렷한 자기상관이나 설명되지 않은 패턴이 남아 있는지 확인하고, 마지막으로 과거 데이터로 학습한 모형의 예측값과 이후 시점의 실제값을 시간 순서를 유지한 채 비교합니다.

ARIMA · SARIMA의 결과에는 보통 미래 시점별 예측값과 예측구간이 포함됩니다.

그림 7처럼 다음 달 매출 예측값이 150이고 95% 예측구간이 130 ~ 170이라면, 모형은 중심 예측값으로 150을 제시하면서 미래의 실제값에 불확실성이 있음을 함께 보여줍니다. 예측구간은 모형의 가정과 추정된 불확실성을 바탕으로 계산됩니다. 실제 결과가 반드시 해당 구간 안에 들어온다는 보장은 없으며, 구조적 변화나 예상하지 못한 사건이 발생하면 예측이 빗나갈 수 있습니다.

• ARIMA는 차분으로 비정상성을 다룬 뒤 AR · MA 구조로 시계열을 모델링합니다.
• SARIMA는 여기에 계절 AR · 차분 · MA 구조를 추가합니다.
• p, d, q는 일반 구조를, P, D, Q, s는 계절 구조를 나타냅니다.
• 차분 차수와 계절 주기는 데이터의 특성을 보고 결정해야 합니다.
• 최종 모형은 적합도뿐 아니라 잔차 진단과 시간 순서를 지킨 예측 검증으로 평가해야 합니다.

다음은 08 외생변수를 포함한 예측 — ARIMAX, SARIMAX입니다. 과거 매출만 사용하는 것이 아니라 광고비, 가격, 기온처럼 예측 대상에 영향을 줄 수 있는 다른 변수까지 활용하는 방법을 살펴봅니다.