다상태 모형
여러 상태 사이의 이동과 전환확률 분석하기
사건 하나로 끝나지 않고, 상태가 계속 바뀌는 경우가 있습니다. 환자는 건강한 상태에서 질병이 발생한 뒤 회복하거나 사망할 수 있고, 고객은 무료 이용자에서 유료 이용자로 전환한 뒤 구독을 해지할 수도 있습니다. 이처럼 여러 상태 사이에서 발생하는 이동과 각 상태에 머무는 시간을 분석하는 방법이 다상태 모형(Multi-State Model)입니다. 일반적인 생존분석이 특정 사건이 처음 발생하기까지 걸리는 시간에 초점을 맞춘다면, 다상태 모형은 사건 이후의 변화까지 함께 살펴볼 수 있습니다. 이 장에서는 상태와 전환의 표현, 전환위험과 상태점유확률, 결과 해석을 알아봅니다.
다상태 모형은 언제 사용할까?
다상태 모형은 대상이 시간에 따라 서로 다른 상태를 경험할 수 있는 연구에 적합합니다. 의학 · 보건학(건강 → 질병 → 회복 또는 사망), 고객 분석(무료 이용 → 유료 구독 → 구독 해지), 교육학(재학 → 휴학 → 복학 → 졸업 또는 중퇴), 인사 · 조직(입사 → 승진 → 퇴사), 제품 신뢰성(정상 작동 → 고장 → 수리 → 재고장) 등이 그 예입니다.
유료 구독 전환율만 분석하면 무료 이용자가 유료 이용자가 되는 과정은 알 수 있습니다. 하지만 유료 전환 이후 얼마나 오래 유지되는지, 해지한 사용자가 다시 가입하는지까지 파악하려면 그림 1처럼 상태 간 이동을 함께 분석하는 것이 유용합니다.
상태와 전환은 어떻게 표현할까?
다상태 모형에서는 먼저 분석 대상의 상태를 정의하고, 상태 사이에 어떤 이동이 가능한지 정합니다.
그림 2의 구조에서는 건강 상태에서 질병 상태로 이동하고, 질병 상태에서 회복하거나 사망하는 전환을 분석할 수 있습니다. 실제 모형에서는 연구 목적에 따라 상태와 가능한 전환을 정의합니다. 다상태 모형의 핵심은 단순히 상태를 여러 개 나열하는 것이 아니라, 어떤 상태에서 어떤 상태로 이동할 수 있는지, 그리고 그 이동이 언제 일어나는지를 함께 분석한다는 데 있습니다.
핵심 개념 ① 전환위험(Transition Hazard)
전환위험은 현재 특정 상태에 있는 대상이 짧은 시간 안에 다른 상태로 이동할 순간적인 위험을 나타냅니다.
r: 현재 상태 · s: 이동하려는 상태
위 식은 시간에 따른 전환위험을 설명하기 위한 기본적인 형태이며, 보다 일반적인 모형에서는 전체 과거 이력이나 추가 조건을 고려할 수 있습니다.
| 전환 | 분석하는 내용 |
|---|---|
| 건강 → 질병 | 질병 발생 위험 |
| 질병 → 회복 | 회복으로 전환되는 위험 |
| 질병 → 사망 | 질병 상태에서 사망으로 전환되는 위험 |
| 회복 → 질병 | 재발 위험 |
그림 3처럼 전환을 구분하면 어떤 요인이 질병 발생과 관련되는지, 회복과 관련되는지, 재발과 관련되는지를 각각 분석할 수 있습니다.
핵심 개념 ② 상태점유확률(State Occupancy Probability)
전환위험이 특정 상태에서 다른 상태로 이동하는 순간적인 위험을 나타낸다면, 상태점유확률은 특정 시점에 대상이 각 상태에 있을 확률을 나타냅니다.
그림 4는 치료를 시작한 환자들이 시간이 지나며 각 상태에 있을 확률입니다. 가상 예시에서 1년이 지난 시점의 확률은 회복 60%, 질병 상태 30%, 사망 10%입니다. 상태가 서로 배타적이고 모든 대상의 상태가 정의되어 있다면 상태점유확률의 합은 100%입니다. 이 정보는 단순히 질병 발생 여부를 아는 것보다 더 풍부한 설명을 제공합니다. 시간이 흐른 뒤 대상들이 어떤 상태에 분포하는지 파악할 수 있기 때문입니다.
다상태 모형의 대표적인 유형
일단 특정 상태에 들어가면 다른 상태로 이동하지 않는 구조입니다. 사망은 대표적인 흡수 상태로, 건강 → 질병 → 사망 구조에서 사망에 도달하면 더 이상 이동하지 않습니다.
이전에 경험한 상태로 다시 돌아갈 수 있는 구조입니다. 질병 → 회복 → 재발처럼 반복해서 이동할 수 있으며, 이전 사건 경험이 다음 전환에 영향을 미치는지도 고려해야 합니다.
전환위험이 시간에 따라 달라지는 구조입니다. 치료 직후에는 회복 가능성이 높지만 시간이 지나면서 달라질 수 있고, 현재 상태에 도달하기까지 걸린 시간이나 과거 상태 이력에 따라 전환위험이 달라지는 구조도 고려할 수 있습니다.
다상태 모형의 결과는 어떻게 해석할까?
다상태 모형의 결과는 분석 목적에 따라 전환위험, 전환위험비, 상태점유확률, 전환확률 등으로 제시할 수 있습니다. 치료 프로그램 참여 여부에 따른 질병 상태에서 회복 상태로의 전환을 분석했다고 가정해 봅시다(가상 예시).
| 결과 | 추정치 | 해석 |
|---|---|---|
| 회복 전환위험비 | 1.40 | 프로그램 참여 집단의 회복 전환위험이 비교 집단보다 40% 높게 추정됨 |
| 1년 후 회복 상태 확률 | 60% | 해당 조건에서 1년 후 회복 상태에 있을 것으로 추정되는 확률 |
| 1년 후 질병 상태 확률 | 30% | 해당 조건에서 1년 후 질병 상태에 있을 것으로 추정되는 확률 |
여기서 전환위험비 1.40은 회복 전환의 순간적인 위험이 40% 높다는 뜻입니다. 회복할 확률 자체가 40% 높다거나, 회복까지 걸리는 시간이 40% 짧다는 뜻은 아닙니다. 그림 6처럼 그림 4의 전환위험에서 회복 전환위험만 1.4배로 올려도 1년 후 회복 확률은 60%에서 70%로 높아질 뿐입니다. 상태점유확률은 여러 전환이 시간에 따라 누적된 결과이므로, 전환위험 하나만으로 직접 결정되지 않습니다.
다상태 모형을 사용할 때 주의할 점
상태가 서로 명확하게 구분되어야 하며, 연구 질문과 연결되어야 합니다.
실제로 발생할 수 있는 전환만 모형에 포함해야 합니다.
최초 관찰 이후의 전체 시간과 현재 상태에 머문 시간은 다른 의미를 가질 수 있습니다.
이전 상태나 사건 경험이 이후 전환에 영향을 주는지 확인해야 합니다.
특정 전환이 거의 발생하지 않으면 해당 전환의 추정이 불안정할 수 있습니다.
전환위험이 현재 상태에만 의존하는지, 과거 이력이나 추가 변수에도 의존하는지 검토해야 합니다.
특히 상태점유확률을 추정할 때는 어떤 전환이 허용되는지, 전환위험이 시간에 따라 어떻게 변하는지 등 모형의 가정이 결과에 영향을 줍니다.
질병, 회복, 사망의 세 상태와 질병 → 회복, 질병 → 사망, 회복 → 질병의 세 전환으로 다상태 모형을 구성하였다. 치료 프로그램 참여자의 질병 → 회복 전환위험은 비교 집단보다 높았으며(전환위험비 1.40), 치료 시작 1년 후 회복 상태에 있을 확률은 60%, 질병 상태는 30%, 사망은 10%로 추정되었다.
어디서 어디로 옮겨 가는지와, 시간이 지난 뒤 어디에 있는지를 함께 봅니다.
- 다상태 모형은 여러 상태 사이의 이동과 전환 과정을 분석합니다.
- 전환위험은 특정 상태에서 다른 상태로 이동하는 순간적인 위험을 나타냅니다.
- 상태점유확률은 특정 시점에 각 상태에 있을 확률을 나타냅니다.
- 건강 상태 변화, 고객 구독 전환, 교육 경로, 제품 고장 및 수리 과정 등에 활용할 수 있습니다.
- 상태와 전환을 연구 질문에 맞게 정의하고, 과거 이력과 시간 구조를 고려해야 합니다.
다음은 마지막 주제인 12 치유모형과 확장 생존모형입니다. 장기간 사건이 발생하지 않는 집단이 존재하거나 기존 생존모형만으로는 자료의 특성을 충분히 설명하기 어려울 때 어떤 방법을 사용할 수 있는지 알아봅니다.
다상태 모형은 상태와 가능한 전환을 정의한 뒤, 전환마다의 순간적 위험과 시점별 상태점유확률을 추정합니다. 전환위험비는 확률의 비가 아니며, 상태점유확률은 여러 전환이 누적된 결과입니다.