생존함수와 위험함수

같은 사건시간도 두 가지 질문으로 바라볼 수 있습니다. 하나는 특정 시점까지 사건이 발생하지 않을 확률이고, 다른 하나는 그 시점까지 사건이 발생하지 않은 대상에게 사건이 발생할 순간적인 위험입니다. 첫 번째는 생존함수(Survival Function), 두 번째는 위험함수(Hazard Function)로 표현합니다. 이 장에서는 두 함수의 의미와 차이, 그리고 둘이 어떻게 연결되는지 알아봅니다. 두 함수의 차이를 이해하면 생존곡선이 무엇을 나타내는지, Cox 비례위험모형에서 위험비를 어떻게 해석하는지도 이해하기 쉬워집니다.

생존함수는 관찰 시작 후 특정 시간 t까지 관심 있는 사건이 발생하지 않을 확률을 나타냅니다.

치료를 시작한 환자의 생존함수가 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.

그림 1에서 12개월 시점의 값은 그 시점까지 관심 있는 사건이 발생하지 않을 확률이 약 70%라는 뜻입니다. 사건이 사망이라면 실제 생존확률로 해석할 수 있지만, 사건이 질병 재발이라면 재발 없이 지낼 확률을 의미합니다. 따라서 생존분석에서 말하는 '생존'은 반드시 생물학적인 생존만을 뜻하지 않습니다.

생존함수에는 몇 가지 특징이 있습니다. S(0)은 일반적으로 1입니다. 관찰 시작 시점에는 아직 사건이 발생하지 않았다고 보기 때문입니다. 시간이 지나면서 생존확률은 증가하지 않으며, 항상 0과 1 사이의 값을 가집니다. 생존함수는 사건이 발생하지 않은 상태가 얼마나 오래 유지되는지 보여줍니다.

그림 2처럼 실제 Kaplan–Meier 곡선은 사건이 관찰된 시점에서 계단식으로 내려가며, 중도절단은 일반적으로 곡선의 하락으로 직접 표시되지 않습니다. 계산 방법은 03장에서 다룹니다.

생존확률이 지금까지 사건 없이 지낸 확률을 나타낸다면, 위험함수는 현재까지 사건이 발생하지 않은 대상에게 아주 짧은 시간 안에 사건이 발생할 순간적인 위험의 정도를 나타냅니다. 연속시간에서 위험함수는 다음과 같이 정의됩니다.

식이 복잡해 보이지만 핵심은 간단합니다. 위험함수는 전체 대상 중 사건이 발생한 비율을 단순히 세는 것이 아니라, 현재 시점까지 사건이 발생하지 않은 대상의 조건부 위험을 다룹니다. 그림 3처럼 12개월까지 30명에게 사건이 생겼다면, 다음 순간의 위험은 처음 100명이 아니라 남은 70명을 기준으로 봅니다. 어떤 기기의 고장 위험이 사용 초기에는 낮다가 오래 사용할수록 높아진다면, 위험함수는 이러한 시간에 따른 변화를 표현할 수 있습니다.

위험률은 확률과 같을까?

같지 않습니다. 연속시간 위험함수의 값은 특정 순간에 대한 위험의 강도를 나타내므로, 그 자체를 확률이라고 해석하면 안 됩니다. 그림 4처럼 위험률은 1보다 클 수도 있으며, 단위 시간당 위험의 강도로 이해하는 것이 적절합니다. 다만 매우 짧은 시간 간격에서는 사건이 발생할 조건부 확률을 위험함수 값에 시간 간격을 곱한 값으로 근사할 수 있습니다.

두 함수는 같은 사건시간을 서로 다른 관점에서 설명합니다.

그림 5처럼 시간이 지날수록 고장 위험이 증가하는 제품이라도, 제품이 고장 없이 사용될 확률은 시간이 지나면서 감소합니다. 위험함수와 생존함수는 연결되어 있지만 같은 것을 측정하지는 않습니다.

연속시간 생존분석에서 생존함수와 위험함수는 누적위험함수를 통해 연결됩니다. 누적위험함수는 특정 시점까지 위험함수를 시간에 따라 누적한 값이며, 생존함수는 이를 이용해 다음과 같이 표현됩니다.

즉, 그림 6처럼 누적위험 H(t)가 커질수록 생존확률 S(t)는 작아집니다. 누적위험이 0.5이면 생존확률은 e^−0.5 ≈ 0.61, 1.0이면 약 0.37입니다. 이 관계는 위험이 시간에 따라 어떻게 누적되는지가 생존확률에 어떤 영향을 미치는지 설명합니다. 단, 위 식은 연속시간 생존분포를 기준으로 한 관계입니다.

위험함수는 모든 연구에서 같은 모양을 갖지 않습니다. 사건의 성격에 따라 다양한 패턴이 나타날 수 있습니다.

그림 7의 왼쪽처럼 위험이 증가하는 경우는 제품의 노후화로 시간이 지날수록 고장 위험이 높아지거나 특정 질병의 위험이 시간에 따라 증가하는 상황입니다. 가운데처럼 위험이 감소하는 경우는 초기 불량이 발생하기 쉬운 제품에서 초기에 고장이 집중된 후 위험이 낮아지는 상황입니다. 오른쪽처럼 위험이 일정한 경우는 단순한 지수분포 모형에서 가정하는 형태로, 시간에 관계없이 위험함수가 같습니다. 위험함수의 형태를 미리 단정하기보다는 실제 자료의 특성과 연구 목적을 살펴봐야 하며, 특히 위험이 시간에 따라 변하는지 여부는 이후 모형을 선택하고 가정을 점검할 때 중요합니다.

생존함수와 위험함수는 생존분석의 여러 방법에서 기본 개념으로 사용됩니다.

그림 8처럼 Kaplan–Meier 추정은 중도절단을 고려해 생존함수를 추정하고 집단별 생존곡선을 비교하며, Log-rank 검정은 집단별 생존곡선에 차이가 있는지 검정합니다. Cox 비례위험모형은 설명변수가 사건 발생의 순간적인 위험과 어떤 관련이 있는지 추정하고, 모수적 생존모형은 지수분포, Weibull 분포 등 특정 분포를 가정해 생존함수와 위험함수를 추정합니다. 특정 기간까지 사건 없이 지낼 가능성이 궁금하다면 생존함수가 중요하고, 어떤 요인이 사건 발생 위험과 관련되는지 알고 싶다면 위험함수를 바탕으로 한 모형이 유용합니다.

• 생존함수는 특정 시점까지 사건이 발생하지 않을 확률입니다.
• 위험함수는 해당 시점까지 사건이 발생하지 않은 대상의 순간적인 사건 위험을 나타냅니다.
• 위험함수의 값 자체는 일반적으로 확률과 같지 않습니다.
• 누적위험함수가 커질수록 생존함수는 작아집니다.
• 두 개념은 Kaplan–Meier 추정과 Cox 비례위험모형을 이해하기 위한 기초입니다.

다음은 03 Kaplan–Meier 추정입니다. 실제 중도절단 자료를 이용해 생존함수를 추정하는 대표적인 방법을 살펴봅니다.