층화표본추출

단순무작위추출은 모집단 전체에서 표본을 무작위로 선정하는 방법입니다. 하지만 모집단에 서로 다른 특성을 가진 집단이 섞여 있다면, 전체에서 무작위로 뽑는 것보다 집단을 나눈 뒤 각 집단에서 표본을 추출하는 편이 더 효율적일 수 있습니다. 이러한 방법을 층화표본추출(Stratified Sampling)이라고 합니다. 이 장에서는 층을 나누는 이유와 층별 가중 추정, 표본배분 방법, 표준오차, 그리고 집락표본추출과의 차이를 알아봅니다.

층화표본추출은 모집단을 특정 기준에 따라 여러 개의 층(Strata)으로 나눈 뒤, 각 층에서 표본을 추출하는 방법입니다. 예를 들어 한 대학의 학생 만족도를 조사하는데 학년별로 만족도에 차이가 있을 것으로 예상된다면, 학생을 1학년 · 2학년 · 3학년 · 4학년으로 나눈 다음 각 학년에서 표본을 추출할 수 있습니다.

그림 1처럼 전체 학생을 학년별로 구분한 뒤 각 학년에서 표본을 추출하면 모든 학년이 조사에 포함되도록 설계할 수 있습니다. 층을 나누는 기준은 학년뿐 아니라 성별, 지역, 연령, 소득 수준, 기업 규모 등 조사 목적에 따라 달라질 수 있습니다. 각 층은 서로 겹치지 않아야 하고(한 대상이 동시에 여러 층에 속하지 않음), 모집단 전체를 포괄해야 합니다(목표 모집단의 모든 대상이 어느 한 층에 포함됨). 이 조건을 충족해야 모집단 전체를 대상으로 한 추정이 가능합니다.

층화표본추출의 주요 목적은 모집단의 중요한 하위집단을 빠짐없이 포함하고, 경우에 따라 추정의 정밀도를 높이는 것입니다. 예를 들어 전국 소비자의 만족도를 조사하는데 수도권 거주자가 전체 모집단의 70%를 차지한다고 가정해 보겠습니다. 단순무작위추출에서는 표본에 포함되는 수도권 거주자의 비율이 매번 달라질 수 있습니다.

그림 2처럼 100명을 단순무작위추출하면 수도권 비율이 조사마다 60%대에서 70%대 후반까지 흔들립니다. 지역별로 층을 나누고 수도권에서 70명, 비수도권에서 30명을 추출하면, 지역별 표본 수를 조사설계 단계에서 관리할 수 있습니다.

특히 같은 층 안에서는 조사하려는 특성이 서로 비슷하고, 층 사이에서는 차이가 클 때 층화표본추출이 정밀도 향상에 도움이 되는 경우가 많습니다. 예를 들어 연령대별 소비지출이 연령대 안에서 상대적으로 비슷하고 연령대 사이에서 차이가 크다면, 연령대를 층화 기준으로 활용하는 것이 효과적일 수 있습니다.

그림 3에서 같은 200명을 뽑더라도 연령대로 층화하면 평균 추정의 표준오차가 약 3.8에서 1.7로 줄어듭니다. 다만 층을 나누기만 하면 언제나 정확도가 높아지는 것은 아닙니다. 어떤 기준으로 층을 나누는지, 각 층에서 얼마나 표본을 추출하는지에 따라 결과가 달라집니다.

층화표본추출의 계산을 이해하려면 다음 기호를 알아야 합니다.

그림 4처럼 전체 학생 4,000명 중 1학년이 1,200명이라면 W₁ = 1,200 / 4,000 = 0.30, 즉 전체 모집단에서 1학년이 차지하는 비율은 30%입니다.

층화표본추출에서는 각 층의 표본평균을 계산한 다음, 각 층이 모집단에서 차지하는 비율을 반영해 전체 평균을 추정합니다.

단순히 각 층의 표본평균을 더한 뒤 층의 개수로 나누는 것이 아니라, 각 층의 모집단 크기를 반영해 평균을 계산한다는 점이 중요합니다. 어떤 서비스의 고객 만족도를 조사한다고 가정해 보겠습니다.

그림 5처럼 전체 고객의 평균 만족도 추정치는 0.70 × 80 + 0.30 × 70 = 56 + 21 = 77점입니다. 반면 두 지역의 평균을 단순히 더해 2로 나누면 75점이 됩니다. 두 지역의 모집단 크기가 다르므로, 각 지역의 모집단 비율을 반영하지 않은 75점은 전체 고객의 평균을 적절하게 추정하지 못합니다.

층별 평균을 이용하면 모집단 전체의 총계도 추정할 수 있습니다. 각 층의 총계는 층의 모집단 크기와 해당 층의 표본평균을 곱해 추정합니다.

그림 6처럼 앞선 고객 만족도 예시에서 만족도 점수의 합계는 7,000 × 80 + 3,000 × 70 = 560,000 + 210,000 = 770,000으로 추정됩니다. 이는 각 고객의 만족도 점수를 합한 모집단 총계의 추정값이며, 이 총계를 전체 고객 수 10,000으로 나누면 평균 77점이 됩니다.

층을 나눈 다음에는 각 층에서 몇 명을 조사할지 결정해야 합니다. 이를 표본배분(Sample Allocation)이라고 합니다. 대표적인 방법은 비례배분, 균등배분, 네이만 배분입니다.

비례배분(Proportional Allocation)

각 층의 모집단 크기에 비례해 표본을 배분하는 방법입니다.

비례배분을 사용하면 각 층의 표본 비율이 모집단 비율과 일치합니다. 층별 조사 비용이 비슷하고 층별 변동성도 크게 다르지 않을 때 간단하고 실용적인 방법입니다.

균등배분(Equal Allocation)

모집단 크기와 관계없이 각 층에 같은 수의 표본을 배분하는 방법입니다. 예를 들어 4개 학년에서 각각 50명을 조사하면 전체 표본은 200명입니다. 균등배분은 모집단에서 비율이 낮은 층에도 충분한 표본을 확보할 수 있어 학년별 결과를 비교할 때 유용합니다. 하지만 비율이 작은 층을 상대적으로 많이 조사하므로, 전체 평균을 추정할 때는 층별 모집단 비율을 반영해야 합니다.

네이만 배분(Neyman Allocation)

층별 모집단 크기뿐 아니라 층 안의 변동성까지 고려해 표본을 배분하는 방법입니다. 층 안의 변동성이 클수록, 모집단 크기가 클수록 더 많은 표본을 배정합니다. 층별 조사 비용이 동일하다는 조건에서 배분 공식은 다음과 같습니다.

비용이 다를 때의 배분은 일반적인 조건 아래에서 전체 조사 비용을 고려하면서 추정의 분산을 줄이기 위한 방식입니다. 학년별 표준편차를 8 · 10 · 12 · 20점으로 가정하고 200명을 세 방법으로 나누면 그림 7과 같습니다.

그림 8처럼 같은 200명이라도 변동이 큰 4학년에 표본을 더 준 네이만 배분의 표준오차(0.817)가 가장 작고, 비례배분(0.872)이 가장 큽니다. 이 예시에서는 모집단이 작은 층일수록 변동이 커서 균등배분도 비례배분보다 정밀합니다.

네이만 배분을 실제로 적용하려면 층별 표준편차를 미리 알거나 과거 조사자료 등으로 추정할 수 있어야 합니다.

각 층에서 독립적으로 비복원 단순무작위추출을 한다고 가정할 때, 전체 평균 추정량의 분산은 다음과 같습니다.

층 안에서 조사 대상의 특성이 서로 비슷하면 s_h²가 작아지는 경향이 있습니다. 이 경우 다른 조건이 같다면 전체 추정량의 분산도 작아질 수 있습니다.

그림 9처럼 비례배분에서는 전체 변동 가운데 층 사이 차이가 차지하는 비율만큼 분산이 줄어듭니다. 그림 3의 연령대 예시는 층 사이 변동이 약 79%여서 분산이 단순무작위추출의 약 0.21배가 되었습니다. 다만 층별 표본 수가 너무 적으면 각 층의 분산을 안정적으로 추정하기 어려울 수 있습니다. 따라서 층을 세분화하는 것만이 항상 좋은 설계는 아닙니다.

층화표본추출과 집락표본추출은 모두 모집단을 여러 그룹으로 나눈다는 점에서 비슷해 보이지만, 실제 추출 방식과 목적이 다릅니다.

그림 10처럼 전국을 수도권 · 충청권 · 영남권 · 호남권으로 나눈 뒤 모든 권역에서 주민을 추출하면 층화표본추출입니다. 반면 전국의 여러 학교 중 일부 학교만 선정하고 선정된 학교의 학생들을 조사한다면 집락표본추출에 해당할 수 있습니다. 두 방법을 함께 사용할 수도 있습니다. 지역별로 층을 나눈 다음 각 지역에서 일부 학교를 추출하는 설계는 층화와 집락 추출을 결합한 방식입니다. 집락표본추출은 06장에서 자세히 다룹니다.

층화표본추출의 효과는 층화 기준, 층별 변동성, 표본배분 방식에 따라 달라집니다. 따라서 조사 목적과 이용 가능한 자료를 함께 고려해 설계해야 합니다.

• 층화표본추출은 모집단을 서로 겹치지 않는 층으로 나누고 모든 층에서 표본을 추출하는 방법입니다.
• 층별 표본평균을 모집단 비율로 가중하면 전체 모집단 평균을 추정할 수 있습니다.
• 비례배분은 모집단 크기에 따라, 균등배분은 층별 동일한 표본 수에 따라, 네이만 배분은 모집단 크기와 변동성을 고려해 표본을 배분합니다.
• 층화표본추출은 적절한 층화 기준을 사용할 때 추정의 정밀도를 높일 수 있지만, 항상 더 정확한 결과를 보장하지는 않습니다.
• 집락표본추출과 달리 층화표본추출에서는 일반적으로 모든 층이 표본에 포함됩니다.

다음은 05 계통표본추출(Systematic Sampling)입니다. 정렬된 목록에서 일정한 간격으로 표본을 선정하는 방법을 살펴봅니다. 표본 간격을 계산하는 방법, 무작위 시작점을 사용하는 이유, 목록에 일정한 패턴이 있을 때 발생할 수 있는 문제를 알아보겠습니다.