단순무작위추출

단순무작위추출은 모집단에서 표본을 선정할 때 특정 대상이 임의로 더 유리하거나 불리해지지 않도록 무작위 원칙을 적용하는 방법입니다. 표본조사의 가장 기본적인 추출 방법이며, 다른 표본추출 방법과 추정 방식을 이해하는 출발점이 됩니다. 이 장에서는 단순무작위추출의 원리와 복원 · 비복원추출의 차이, 표본평균과 모집단 총계의 추정, 표준오차와 신뢰구간을 알아봅니다.

단순무작위추출(Simple Random Sampling, SRS)은 크기가 n인 가능한 모든 표본이 동일한 확률로 선택되도록 추출하는 방법입니다. 예를 들어 대학생 100명 중 10명을 조사한다면, 학생들에게 번호를 부여한 뒤 난수로 10명을 선정해 단순무작위추출을 구현할 수 있습니다. 여기서 중요한 것은 단순히 무작위로 몇 명을 뽑는다는 의미가 아니라, 정해진 표본 크기에서 가능한 모든 표본이 같은 확률로 선택되도록 한다는 점입니다.

그림 1처럼 5명 중 2명을 뽑을 때 가능한 표본은 총 ₅C₂ = 10개이며, 비복원 단순무작위추출에서는 각 표본이 선택될 확률이 1/10입니다. 이때 각 사람은 10개 표본 중 4개에 들어가므로 한 사람이 뽑힐 확률은 4/10 = n/N입니다. 실제 조사에서는 모든 가능한 표본을 하나씩 나열할 필요 없이, 난수 생성이나 검증된 표본추출 프로그램을 이용해 표본을 선정할 수 있습니다.

단순무작위추출은 추출한 대상을 다시 모집단에 포함하는지에 따라 두 가지로 구분됩니다. 예를 들어 학생 100명 중 10명을 조사할 때, 한 명을 뽑은 뒤 다시 명단에 넣으면 복원추출입니다. 뽑힌 학생을 명단에서 제외한 뒤 다음 학생을 선정하면 비복원추출입니다.

일반적인 설문조사에서는 동일한 사람이 중복으로 선정되지 않도록 하는 비복원추출을 주로 사용합니다.

표본조사의 목적 중 하나는 일부 대상에게서 얻은 자료로 모집단 전체의 특성을 추정하는 것입니다. 예를 들어 한 대학의 재학생 5,000명 전체에게 만족도를 조사하기 어렵다면, 그중 200명을 추출해 평균 만족도를 계산할 수 있습니다.

모집단 전체의 관측값은 알 수 없으므로 실제로는 표본평균을 계산합니다. 적절한 단순무작위추출에서는 표본평균이 모집단 평균의 불편추정량이 됩니다.

그림 3은 재학생 5,000명에서 200명을 3,000번 뽑아 계산한 표본평균의 분포입니다. 각 표본평균은 69점이 되기도 하고 72점이 되기도 하지만, 그 평균(70.09)은 모집단 평균(70.1)과 거의 같습니다. 불편추정량이라는 것은 하나의 표본에서 계산한 값이 반드시 모집단 평균과 같다는 뜻이 아닙니다. 동일한 추출 절차를 반복했을 때 얻는 표본평균들의 기댓값이 모집단 평균과 일치한다는 의미입니다.

평균뿐 아니라 모집단 전체의 합계도 추정할 수 있습니다. 예를 들어 표본에 포함된 가구의 월평균 지출을 조사했다면, 그 평균을 이용해 전체 가구의 총지출을 추정할 수 있습니다.

그림 4처럼 모집단 10,000가구 중 200가구를 조사해 월평균 지출이 250만 원으로 나왔다면, 총 월지출의 추정값은 10,000 × 2,500,000원 = 250억 원입니다. 이는 실제 총지출을 확인한 값이 아니라 표본자료를 이용한 추정값이라는 점에 유의해야 합니다.

같은 모집단에서 같은 크기의 표본을 여러 번 추출하더라도, 선정되는 대상이 달라지므로 표본평균도 달라질 수 있습니다. 이러한 표본에 따른 변동을 정량적으로 나타내는 지표가 표본평균의 분산과 표준오차입니다. 표준오차의 일반적인 개념은 표본과 표본분포에서 다뤘으므로, 여기서는 비복원추출에서 달라지는 부분을 봅니다.

실제 조사에서는 모집단 분산을 알 수 없는 경우가 많으므로, 표본분산 s²을 사용해 표준오차를 추정합니다. 표준오차가 작을수록 표본추출에 따른 표본평균의 변동이 작다는 뜻입니다. 다만 표준오차가 작다는 것만으로 비표본오차나 편향까지 작다고 판단할 수는 없습니다.

유한모집단수정계수는 왜 필요할까?

모집단이 100명일 때 5명을 조사하는 경우와 80명을 조사하는 경우를 비교해 보겠습니다. 후자는 모집단의 상당 부분을 조사하므로 표본평균이 달라질 수 있는 범위가 상대적으로 작아집니다.

그림 5에서 5명을 조사할 때는 보정 전후 표준오차가 4.47과 4.36으로 거의 같지만, 80명을 조사할 때는 1.12가 0.50으로 절반 이하로 줄어듭니다. 비복원추출에서는 표본이 모집단에서 차지하는 비율이 커질수록 유한모집단수정계수가 분산을 줄여 줍니다.

반대로 그림 6처럼 모집단에 비해 표본이 매우 작으면 이 보정의 영향은 미미합니다. 추출 비율이 5%이면 표준오차는 0.97배로 거의 변하지 않습니다.

표본평균 하나만 제시하면 그 추정치가 얼마나 불확실한지 알기 어렵습니다. 이를 보완하기 위해 신뢰구간을 함께 제시할 수 있습니다. 표본평균의 표준오차를 이용한 근사적인 95% 신뢰구간은 다음과 같습니다.

그림 7처럼 모집단 평균에 대한 95% 근사 신뢰구간은 72 ± 3.92, 약 68.08 ~ 75.92점입니다. 다만 1.96을 사용하는 방식은 표본평균의 표집분포를 정규분포로 근사할 수 있을 때 적절합니다. 표본 크기가 작거나 분포가 특이한 경우에는 추가적인 가정 검토 또는 다른 구간 추정 방법이 필요할 수 있습니다.

또한 신뢰수준 95%는 계산된 구간에 모집단 평균이 들어갈 확률이 사후적으로 95%라는 뜻이 아닙니다. 그림 8처럼 동일한 추출 및 구간 계산 절차를 반복하면, 그렇게 만들어진 구간 중 약 95%가 참값을 포함한다는 의미입니다. 20개 중 1개(빨간 선)는 참값을 놓쳤습니다.

예를 들어 전국 소비자의 만족도를 조사할 때 단순무작위추출을 사용하면 지역별 표본 수가 우연히 크게 달라질 수 있습니다.

그림 9처럼 인구의 5%가 사는 지역은 전국 1,000명 표본에서 평균 50명이 뽑히지만, 조사마다 37명에서 64명까지 흔들립니다. 특정 지역의 결과를 별도로 비교하려는 목적이 있다면 해당 지역의 표본 수가 충분하도록 설계를 조정하는 편이 더 적절할 수 있습니다. 이처럼 단순무작위추출은 기본적이고 유용한 방법이지만, 모든 조사에서 가장 효율적인 방법인 것은 아닙니다.

• 단순무작위추출은 정해진 크기의 가능한 모든 표본이 동일한 확률로 선택되도록 하는 방법입니다.
• 복원추출은 추출한 대상을 다시 모집단에 포함하고, 비복원추출은 포함하지 않습니다.
• 표본평균은 모집단 평균을, 모집단 크기를 곱한 값은 모집단 총계를 추정하는 데 사용됩니다.
• 표준오차는 표본추출에 따른 추정치의 변동성을 나타냅니다.
• 신뢰구간은 추정치의 불확실성을 표현하며, 표본오차가 작더라도 포함오차나 무응답 편향이 해결되는 것은 아닙니다.

다음은 04 층화표본추출(Stratified Sampling)입니다. 모집단을 성별, 연령, 지역 등 서로 겹치지 않는 집단으로 나눈 뒤 각 집단에서 표본을 추출하는 방법을 살펴봅니다. 층화표본추출이 추정의 정밀도를 높이는 데 어떻게 도움이 되는지, 층별 표본을 어떻게 배분하는지도 알아보겠습니다.