다차원척도법 (MDS)

소비자에게 여러 브랜드를 평가하게 했다고 가정해 보겠습니다. 소비자는 A 브랜드와 B 브랜드가 비슷하다고 느끼고, C 브랜드는 두 브랜드와 다르다고 느낄 수 있습니다. 이런 응답을 바탕으로 브랜드 간 관계를 한눈에 파악하려면 어떻게 해야 할까요? 다차원척도법(Multidimensional Scaling, MDS)은 대상 간 유사성이나 비유사성을 바탕으로 각 대상을 저차원 공간에 배치하는 분석 방법입니다. 결과를 2차원 지도로 나타내면 어떤 대상끼리 가깝고, 어떤 대상끼리 멀리 떨어져 있는지 시각적으로 살펴볼 수 있습니다. 이 장에서는 MDS의 입력 자료, 작동 원리, 두 가지 유형, 결과 해석과 적합도를 알아봅니다.

MDS의 핵심은 대상 사이의 관계를 거리로 표현하는 것입니다. 예를 들어 소비자가 여러 자동차 브랜드를 평가했다고 가정해 보겠습니다.

그림 1처럼 브랜드 간 유사성 정보를 바탕으로 위치를 정하면, 가까운 브랜드끼리는 상대적으로 비슷하게 인식되는 것으로 해석할 수 있습니다. MDS는 원래 자료에 있는 대상 간 유사성 또는 비유사성을 최대한 잘 반영하도록 각 대상의 좌표를 찾습니다.

• 가까이 배치된 대상: 서로 비슷하거나 차이가 작다고 평가된 대상
• 멀리 배치된 대상: 서로 다르거나 차이가 크다고 평가된 대상

다만 지도상의 위치 자체가 브랜드의 품질이나 선호도를 직접 의미하는 것은 아닙니다. 어떤 특성이 위치를 설명하는지는 별도로 확인해야 합니다.

MDS는 크게 두 종류의 자료를 활용할 수 있습니다.

예를 들어 응답자에게 “브랜드 A와 브랜드 B는 얼마나 비슷하다고 생각하십니까?” 또는 “두 브랜드가 얼마나 다르다고 느끼십니까?”라고 질문할 수 있습니다. 유사성 점수는 높을수록 비슷하고, 비유사성 점수는 높을수록 다르도록 정의할 수 있습니다. 자료를 어떻게 수집하고 코딩했는지에 따라 해석 방향이 달라지므로 분석 전에 점수의 의미를 확인해야 합니다. MDS는 이미 계산된 거리 행렬이나 비유사성 행렬을 입력으로 사용할 수도 있습니다. 반드시 원자료에 있는 개별 변수들을 직접 입력해야 하는 것은 아닙니다.

세 브랜드 A, B, C 사이의 비유사성 점수가 A–B 2, A–C 8, B–C 7이라고 가정해 보겠습니다. 점수가 높을수록 서로 다르다는 의미입니다.

그림 2처럼 비유사성 자료는 대상끼리의 점수를 정리한 행렬입니다. A–B와 B–A는 같은 값이므로 대칭이고, 자기 자신과의 비유사성은 0입니다. 이 자료를 바탕으로 2차원 공간에 배치하면, A와 B는 상대적으로 가깝고 C는 두 브랜드에서 멀리 떨어지는 형태가 됩니다.

그림 3은 고전적 MDS로 실제 계산한 배치입니다. 세 점 사이의 지도상 거리가 입력한 2, 8, 7과 정확히 같습니다. 2 + 7 ≥ 8처럼 세 거리가 삼각형을 이룰 수 있는 값이라서 2차원에 오차 없이 놓일 수 있었습니다. 대상이 많아지면 모든 거리를 정확히 맞추기는 어렵기 때문에, 분석 알고리즘은 원래 자료의 비유사성과 지도상 거리 사이의 차이가 작아지도록 좌표를 조정합니다. 실제 위치와 방향은 알고리즘에 따라 달라질 수 있으며, 그림을 돌리거나 뒤집어도 거리는 같으므로 같은 결과입니다. 원래 자료의 모든 수치를 그대로 좌표로 옮기는 것이 아니라, 대상 사이의 상대적인 관계를 저차원 공간에서 최대한 보존한다는 점이 중요합니다.

MDS를 이해할 때는 고전적 MDS와 비계량적 MDS를 구분하는 것이 좋습니다.

고전적 MDS

고전적 MDS는 대상 간 거리를 이용해 좌표를 계산합니다. 유클리드 거리 구조를 가정할 수 있는 자료에서 특히 유용합니다. 예를 들어 여러 도시 사이의 거리를 2차원 지도에 근사해 배치하거나, 거리 행렬을 저차원 좌표로 변환할 때 사용할 수 있습니다.

그림 4의 왼쪽은 8개 도시 사이의 직선거리(km)만 담은 표이고, 위도와 경도 같은 좌표는 하나도 없습니다. 이 거리표를 고전적 MDS에 넣으면 오른쪽처럼 서울 · 인천은 북서쪽, 부산은 남동쪽, 광주는 남서쪽, 강릉은 북동쪽에 놓여 실제 지도 모양이 살아납니다. 방향만 실제 지도에 맞게 돌려 놓았을 뿐, 배치는 거리만으로 계산한 것입니다.

비계량적 MDS

비계량적 MDS는 비유사성 점수의 정확한 차이보다 어느 대상이 더 비슷하고 어느 대상이 더 다른지에 대한 순서를 중요하게 봅니다. 예를 들어 소비자가 브랜드 간 차이를 1점, 3점, 7점으로 평가했더라도 점수 간격이 실제 심리적 차이를 정확히 반영한다고 보기 어려울 수 있습니다. 이럴 때는 순위 관계를 보존하는 접근이 적절할 수 있습니다.

MDS 결과를 얻었다면 먼저 대상 간 거리와 전체적인 배치를 살펴봅니다. 그림 1의 자동차 브랜드 인식 지도에서는 A와 B가 가깝고 C는 상대적으로 멀리 있습니다. 실제 분석에서는 축의 방향이나 원점 자체에 고정된 의미가 없으므로, 축 이름을 임의로 ‘고급스러움’이나 ‘경제성’이라고 붙여서는 안 됩니다. 해석할 때는 다음 순서가 도움이 됩니다.

1. 가까운 대상 찾기: 어떤 브랜드나 제품이 서로 유사하게 인식되는가?
2. 멀리 떨어진 대상 찾기: 어떤 대상이 다른 대상과 구별되는가?
3. 군집처럼 보이는 패턴 확인: 여러 대상이 자연스럽게 가까이 모이는가?
4. 외부 정보와 비교: 가격, 품질, 디자인 등 추가 자료가 위치 패턴을 설명하는가?

MDS의 차원은 보통 단순한 좌표축입니다. 축에 실질적인 의미를 부여하려면 각 대상의 특성이나 추가적인 평가 자료와 연결해 해석해야 합니다.

MDS는 원래의 비유사성 관계를 저차원 공간에 얼마나 잘 표현했는지 확인해야 합니다. 비계량적 MDS에서는 대표적으로 Stress 값을 사용합니다. Stress는 입력된 비유사성의 관계와 배치된 점들 사이의 거리 관계가 얼마나 어긋나는지를 요약합니다.

• Stress가 작을수록 입력된 관계를 공간에 더 잘 표현한 것으로 볼 수 있습니다.
• Stress가 크다면 2차원으로 표현하기에 자료 구조가 복잡하거나, 배치 결과가 원래 관계를 충분히 반영하지 못할 수 있습니다.

단, Stress의 크기는 계산 방식, 자료 특성, 대상 수 등에 영향을 받습니다. 모든 자료에 적용되는 단 하나의 절대적인 기준으로 판단하기보다는 차원 수를 바꿔 가며 적합도를 비교하는 것이 좋습니다.

그림 5는 모의 대상 12개를 1차원부터 4차원까지 배치한 결과입니다. 1차원의 Stress는 0.53로 크지만 2차원에서 0.010로 크게 줄고, 3차원(0.007)과 4차원(0.006)에서는 거의 줄지 않습니다. 이 자료는 2차원으로 충분하다는 뜻입니다. 이처럼 2차원 결과의 Stress가 높고 3차원에서 크게 낮아진다면 차원을 늘리는 방안을 검토할 수 있습니다. 하지만 차원이 늘어날수록 결과를 시각적으로 이해하기 어려워지므로 해석 편의성도 함께 고려해야 합니다.

그림 6은 2차원 배치에서 대상 쌍 66개마다 원래 비유사성(가로)과 지도상 거리(세로)를 찍은 Shepard 그림입니다. 점들이 오른쪽 위로 꾸준히 올라가므로, 원래 더 달랐던 쌍일수록 지도에서도 더 멀리 놓였다는 뜻입니다. 점이 크게 흩어지거나 순서가 뒤바뀐 쌍이 많다면 지도를 그대로 믿기 어렵습니다.

둘 다 자료를 저차원으로 표현할 수 있지만, 출발점이 다릅니다.

그림 7처럼 PCA는 관측 대상 × 변수 표에서 출발하고, MDS는 대상 × 대상 거리표에서 출발합니다. 여러 소비자 평가 문항을 요약하고 싶다면 PCA(05장)가 적절할 수 있고, 소비자가 평가한 브랜드 간 유사성을 지도 형태로 표현하고 싶다면 MDS가 더 직접적인 선택입니다. PCA는 변수들의 분산 구조를 요약하는 데, MDS는 대상 간 거리 관계를 보존하는 데 초점을 둡니다.

• 다차원척도법(MDS)은 대상 간 유사성이나 비유사성을 저차원 공간에 표현하는 방법입니다.
• 가까운 대상은 상대적으로 유사하고, 멀리 떨어진 대상은 상대적으로 다르다고 해석할 수 있습니다.
• 고전적 MDS는 거리의 수치 구조를 활용하고, 비계량적 MDS는 주로 비유사성의 순서를 보존합니다.
• Stress 등 적합도 지표를 통해 원래 관계가 얼마나 잘 표현되었는지 확인해야 합니다.
• 축의 의미는 자동으로 결정되지 않으며, 추가적인 자료와 함께 해석해야 합니다.

다음은 10 t-SNE와 UMAP입니다. 고차원 자료에 숨어 있는 복잡한 패턴을 2차원 또는 3차원으로 시각화하는 방법으로, MDS와 어떻게 다른지, 그리고 데이터의 군집을 시각적으로 살펴볼 때 어떤 점을 주의해야 하는지 비교합니다.