정준상관분석 (CCA)

일반적인 상관분석은 두 변수 사이의 관계를 살펴봅니다. 예를 들어 브랜드 신뢰도가 높을수록 구매 의향도 높아지는지 확인할 수 있습니다. 그런데 실제 연구에서는 하나의 변수만으로 현상을 설명하기 어려운 경우가 많습니다. 소비자의 심리적 특성 여러 개와 구매 행동 여러 개가 서로 어떤 관계를 맺는지 알고 싶다면 어떻게 해야 할까요? 이때 활용할 수 있는 방법이 정준상관분석(Canonical Correlation Analysis, CCA)입니다. 이 장에서는 정준변량과 정준상관계수, 정준적재량의 해석, 유의성 검정과 주의점을 알아봅니다.

정준상관분석은 두 개의 변수 집합을 각각 하나의 조합으로 만든 뒤, 두 조합 사이의 상관관계를 분석하는 방법입니다. 예를 들어 소비자 연구에서 심리적 특성(브랜드 신뢰도, 지각된 품질, 가격 민감도)과 구매 행동(구매 빈도, 평균 구매액, 추천 의향)을 수집했다고 가정해 보겠습니다.

그림 1처럼 핵심은 브랜드 신뢰도와 구매 빈도처럼 변수 하나씩 짝을 지어 분석하는 것이 아닙니다. 심리적 특성 전체의 조합과 구매 행동 전체의 조합이 얼마나 밀접하게 연결되는지 살펴보는 것입니다.

그림 2처럼 상관분석은 하나와 하나, 다중회귀분석은 여럿과 하나의 종속변수를 연결합니다. 반면 정준상관분석은 양쪽 모두 여러 변수를 포함하는 두 집합 사이의 관계를 살펴봅니다.

정준상관분석은 각 변수 집합에 속한 변수들을 가중합으로 결합합니다. 이렇게 만들어진 새로운 변수를 정준변량(canonical variate)이라고 합니다.

이때 r_c를 정준상관계수라고 합니다. 쉽게 말하면, X 집합의 변수들을 적절히 조합한 점수와 Y 집합의 변수들을 적절히 조합한 점수 사이에서 가장 강한 선형 관계를 찾는 것입니다.

그림 3은 모의 소비자 300명에게서 계산한 첫 번째 정준변량입니다. 가로축은 심리적 특성 세 변수를 묶은 점수 U, 세로축은 구매 행동 세 변수를 묶은 점수 V이고, 두 점수의 상관이 첫 번째 정준상관계수 0.81입니다. 정준상관계수는 원래 변수 하나와 하나의 상관이 아니라, 이렇게 만든 두 점수 사이의 상관이라는 점이 중요합니다.

앞서 살펴본 소비자 연구에서 첫 번째 정준상관계수가 0.82로 나왔다고 가정해 보겠습니다. 소비자의 심리적 특성을 결합한 점수와 구매 행동을 결합한 점수 사이에 강한 양의 선형 관계가 나타났다는 의미입니다. 다만 이 수치만으로 어떤 심리적 특성이 구매 행동과 가장 밀접한지, 또는 어떤 변수가 구매 행동을 유발하는지까지 알 수는 없습니다. 이를 이해하려면 각 변수의 기여와 관계를 추가로 살펴봐야 합니다.

정준상관계수가 0.82라면 그 제곱값은 다음과 같습니다.

즉, 두 정준변량 사이의 선형 공유 변동은 약 67.2%입니다. 그림 4처럼 이 값은 U와 V라는 두 원이 겹치는 정도입니다. 원래 변수 전체 분산의 67.2%를 설명한다는 뜻이 아니라, 가중치를 통해 만들어진 두 정준변량 사이의 관계를 나타냅니다.

정준상관계수가 높다는 사실만으로는 관계의 실질적인 의미를 충분히 설명하기 어렵습니다. 어떤 변수가 각 정준변량과 밀접하게 관련되어 있는지 확인해야 합니다. 이때 유용한 지표가 정준적재량(canonical loading)으로, 원래 변수와 해당 변수 집합의 정준변량 사이의 상관계수입니다. 다음은 해석 방법을 보여 주기 위한 가상의 결과입니다.

그림 5에서 브랜드 신뢰도와 지각된 품질은 첫 번째 X 정준변량과 강하게 관련되고, 추천 의향과 구매 빈도는 첫 번째 Y 정준변량과 강하게 관련됩니다. 따라서 첫 번째 정준변량 쌍은 대체로 브랜드에 대한 긍정적 평가와 추천 · 구매 행동의 관계를 반영할 가능성이 있습니다. 다만 적재량은 변수와 정준변량의 상관을 나타낼 뿐, 인과관계나 독립적인 영향력을 의미하지 않습니다. 실제 해석에서는 가중치, 적재량, 변수 간 상관관계를 함께 검토하는 것이 좋습니다.

아닙니다. 두 변수 집합에 여러 변수가 있으면 정준변량 쌍을 여러 개 만들 수 있습니다. 가능한 쌍의 최대 개수는 두 집합의 변수 개수 중 더 작은 값입니다. 이 예시는 3개와 3개이므로 최대 3쌍입니다. 다만 자료의 독립적인 정보량이 부족하면 실제로 유효하게 추정할 수 있는 쌍은 더 적을 수 있습니다. 첫 번째 쌍은 두 집합 사이의 상관을 최대화하고, 두 번째 쌍은 첫 번째 쌍과 구별되는 추가적인 관계를 찾으며, 이후 쌍도 같은 방식으로 이어집니다.

위 수치는 모두 설명을 위한 가상 예시이며, 실제 결과는 자료에 따라 달라집니다. 정준상관계수가 작은 쌍이라고 해서 무조건 무시해서는 안 됩니다. 통계적 유의성, 표본 크기, 해석 가능성 등을 함께 검토해야 합니다.

표본에서 정준상관계수가 높게 나타나더라도, 그 관계가 모집단에서도 존재한다고 바로 결론 내릴 수는 없습니다. 고전적인 정준상관분석에서는 Wilks의 람다(Wilks' Lambda) 등의 통계량을 이용해 정준상관들이 통계적으로 유의한지 검정할 수 있습니다. 일반적으로는 다음과 같은 순서로 검토합니다.

통계적 유의성은 관계가 우연만으로 설명되기 어려운지를 판단하는 데 도움을 줍니다. 하지만 p값이 작다고 관계가 반드시 강하거나 실무적으로 중요한 것은 아닙니다. 정준상관계수와 각 변수의 적재량, 연구 맥락을 함께 해석해야 합니다. Wilks의 람다는 분산분석 파트의 MANOVA(09장)에서도 같은 통계량으로 쓰입니다.

정준상관분석은 두 변수 집합의 복잡한 관계를 한 번에 다룰 수 있지만, 자료가 적절하지 않으면 결과가 불안정해질 수 있습니다.

이 가운데 표본 크기의 영향은 생각보다 큽니다.

그림 7은 X와 Y 모두 서로 아무 관계가 없는 무작위 변수 8개씩으로 정준상관분석을 반복한 결과입니다. 실제 관계는 0인데도 표본이 20명이면 첫 정준상관계수가 평균 0.96, 80명이면 0.52로 나옵니다. 가중치를 자유롭게 고를 수 있어 우연한 패턴까지 최대한 끌어모으기 때문입니다. 1,000명이 되어야 0.16까지 내려갑니다. 특히 변수가 매우 많고 표본이 적은 자료에서는 일반적인 정준상관분석보다 정규화 정준상관분석(regularized CCA) 같은 대안을 고려할 수 있습니다.

이처럼 정준상관분석은 두 변수 집합을 각각 요약한 뒤, 그 요약값 사이의 관계를 파악하고 싶을 때 유용합니다. 다만 관계를 찾는 분석이므로 인과관계를 입증하는 용도로 사용해서는 안 됩니다.

• 정준상관분석(CCA)은 두 개의 다변량 변수 집합 사이의 관계를 분석합니다.
• 각 집합에서 변수들의 가중합인 정준변량을 만들고, 그 사이의 상관을 최대화합니다.
• 정준상관계수는 두 정준변량 사이의 관계 강도를 나타냅니다.
• 정준적재량을 활용하면 어떤 원래 변수가 정준변량과 밀접하게 관련되는지 해석할 수 있습니다.
• 다중공선성, 이상치, 표본 크기와 분석 가정을 확인해야 합니다.
• 상관관계를 발견했다고 해서 인과관계가 입증되는 것은 아닙니다.

다음은 09 다차원척도법(MDS)입니다. 여러 대상이 서로 얼마나 비슷하거나 다른지를 공간에 표현하는 방법으로, 소비자들이 여러 브랜드를 얼마나 비슷하게 인식하는지 2차원 지도로 나타내는 원리를 살펴봅니다.