회귀불연속설계

장학금이 80점 이상인 학생에게만 지급된다면, 그 효과는 어떻게 알 수 있을까요? 장학금을 받은 학생들의 학업 성취도가 더 높더라도, 장학금 수혜자는 원래 성적이 높은 학생일 수 있으므로 단순 비교로는 효과를 판단하기 어렵습니다. 하지만 80점 기준 바로 위에 있는 학생과 바로 아래에 있는 학생을 비교한다면 어떨까요? 두 학생의 점수가 매우 비슷하다면 다른 특성도 비슷할 가능성이 있습니다. 장학금 수혜 여부가 기준점을 중심으로 달라진다는 점을 활용하는 이러한 접근이 회귀불연속설계(Regression Discontinuity Design, RDD)입니다.

RDD는 특정 변수의 기준값에 따라 처치 여부가 결정되는 제도나 상황에서 활용됩니다.

• 시험 점수가 일정 기준 이상이면 장학금을 지급하는 경우
• 가구 소득이 특정 기준 이하이면 복지 혜택을 제공하는 경우
• 연령이 일정 기준 이상이면 특정 정책의 대상이 되는 경우
• 평가 점수가 기준을 넘으면 교육 프로그램에 참여할 수 있는 경우

이때 처치 여부를 결정하는 기준 변수(Running Variable 또는 Assignment Variable)와 기준점(Cutoff)을 정의합니다.

RDD의 핵심은 전체 학생을 무조건 비교하는 것이 아니라, 기준점 주변에서 서로 매우 비슷한 대상들을 비교하는 것입니다. 다만 점수가 80점이라는 이유만으로 장학금이 실제로 지급되었는지, 점수 기준 외에 다른 선정 조건은 없는지 확인해야 합니다. 이러한 제도적 구조가 RDD의 설계를 결정합니다.

장학금 기준이 80점이라면, 79.8점인 학생과 80.2점인 학생은 점수 차이가 매우 작습니다. 다른 조건이 비슷하다면 두 학생의 결과 차이는 장학금 수혜 여부와 관련이 있을 수 있습니다.

RDD에서는 기준점에서 결과변수가 얼마나 불연속적으로 변하는지 살펴봅니다. 그림 2의 모의 자료처럼 점수에 따라 학점이 자연스럽게 조금씩 증가하는 추세가 있더라도, 기준점에서 약 0.24점의 별도 점프가 나타난다면 이를 처치효과의 근거로 활용할 수 있습니다. 같은 자료에서 장학금 수혜자 전체와 비수혜자 전체를 단순 비교하면 차이가 0.73점으로, 원래 성적 차이가 섞여 세 배 가까이 부풀려집니다.

반대로 기준점에서 결과가 불연속적으로 변하지 않는다면, 해당 자료에서는 처치의 국소적 효과를 뒷받침하는 뚜렷한 증거가 관찰되지 않은 것입니다. 다만 효과가 없다는 결론을 내리려면 추정의 불확실성도 함께 검토해야 합니다.

기준점을 c, 기준 변수를 X_i, 처치 여부를 T_i라고 하겠습니다. 기준점 이상이면 처치를 받는 경우 처치 배정은 다음과 같습니다.

RDD의 핵심 추정 대상은 기준점에서의 결과변수 불연속입니다.

기준점 주변에서 처치 여부가 정확하게 결정되고 아래의 주요 가정들이 충족되면, 이 차이를 기준점 주변 대상에 대한 평균 처치효과로 해석할 수 있습니다. 실제 추정에서는 기준점 주변의 자료를 이용해 양쪽의 추세를 각각 추정하며, 단순히 기준점 위쪽과 아래쪽의 전체 평균을 빼는 방식과는 다릅니다.

RDD는 기준 변수와 실제 처치의 관계에 따라 크게 두 가지로 나뉩니다.

그림 3의 Fuzzy RDD처럼 처치 확률이 기준점에서 약 0.55만큼 뛴다면, 결과의 점프를 0.55로 나눠 실제로 처치를 받은 효과를 구합니다. 이때 기준점은 실제 처치에 영향을 주는 도구변수처럼 작동하며, 기준점이 결과에 영향을 주는 다른 경로가 없어야 하는 등 추가적인 가정이 필요합니다.

RDD에서는 기준점에서 얼마나 떨어진 관측치까지 분석에 포함할지 결정해야 합니다. 이를 대역폭(Bandwidth)이라고 합니다.

그림 4처럼 78~82점만 쓰면 관측치가 306명뿐이라 구간이 넓고, 대역폭을 넓힐수록 구간은 좁아지지만 멀리 떨어진 자료의 곡선 추세가 추정에 영향을 줄 수 있습니다. 따라서 대역폭은 임의로 선택하기보다 적절한 통계적 방법으로 정하고, 다른 합리적인 대역폭에서도 결과가 크게 달라지지 않는지 확인하는 것이 좋습니다. 일반적으로 RDD에서는 기준점 양쪽의 관계를 각각 국소적으로 직선으로 근사하는 국소 선형 회귀(Local Linear Regression)를 자주 사용합니다.

RDD가 인과효과를 추정하려면 기준점 주변의 비교가 타당해야 합니다. 특히 다음 사항을 검토해야 합니다.

그림 5의 모의 자료에서는 80점 부근에 학생이 비정상적으로 몰려 있지 않고, 처치 이전에 결정된 고교 내신도 기준점에서 뛰지 않습니다. 다만 분포에 이상이 보이지 않는다는 사실만으로 조작 가능성이 완전히 배제되는 것은 아닙니다.

RDD의 가장 큰 장점은 명확한 기준점이 존재하는 제도를 활용해 비교적 설득력 있는 인과효과 추정을 할 수 있다는 것입니다. 무작위 실험을 직접 수행하기 어려운 정책 환경에서도 적용할 수 있습니다. 하지만 몇 가지 한계가 있습니다.

RDD는 기준점이 있다는 이유만으로 자동으로 유효해지는 방법은 아닙니다. 기준점 주변의 비교 가능성과 설계의 가정을 뒷받침하는 증거를 함께 검토해야 합니다.

• RDD는 특정 기준점 전후의 결과 불연속을 이용해 인과효과를 추정합니다.
• 기준점 주변의 대상들을 비교한다는 점이 핵심입니다.
• Sharp RDD는 기준점이 처치 여부를 완전히 결정하고, Fuzzy RDD는 처치 확률을 변화시킵니다.
• 대역폭은 기준점 주변에서 분석에 포함할 자료의 범위입니다.
• 기준점 주변의 잠재결과 연속성, 기준 변수 조작 가능성, 사전 특성 및 강건성을 검토해야 합니다.
• RDD의 효과 추정은 일반적으로 기준점 주변의 국소적 효과이며, 전체 모집단에 자동으로 일반화되지는 않습니다.

다음은 08 도구변수법(IV, 2SLS)입니다. 처치와 결과 사이의 내생성 문제를 다루기 위해 별도의 변수를 활용하는 도구변수법과 2단계 최소제곱법을 살펴봅니다.