도구변수법

교육을 더 받으면 실제로 소득이 증가할까요? 교육 수준이 높은 사람일수록 소득이 높다는 사실을 확인했더라도, 교육을 많이 받은 사람은 원래 능력이 뛰어나거나 학습 동기가 높았을 수도 있습니다. 이런 특성이 교육과 소득 모두에 영향을 준다면, 두 변수의 관계만으로 교육의 순수한 효과를 분리하기 어렵습니다. 도구변수법(Instrumental Variables, IV)은 처치나 설명변수에 영향을 주면서도 결과에는 해당 변수를 통해서만 영향을 미치는 별도의 변수를 활용해 이 문제를 다룹니다.

일반적인 회귀분석은 다른 조건을 통제한 상태에서 설명변수와 결과변수의 관계를 추정합니다. 그러나 중요한 교란요인을 측정하지 못했거나, 설명변수가 결과변수의 영향을 거꾸로 받는다면 회귀계수를 인과효과로 해석하기 어려울 수 있습니다. 이처럼 설명변수가 오차항과 상관된 상태를 내생성(endogeneity)이라고 합니다.

그림 1처럼 능력과 동기가 교육 수준과 소득에 모두 영향을 준다면, 관찰된 관계에는 교육 자체의 효과와 교란의 영향이 섞여 있습니다. 능력을 측정할 수 없다면 회귀모형에 넣어 통제할 수도 없습니다. 도구변수법은 교육 수준에 영향을 주는 외부 요인을 활용해 이 문제를 우회하려고 합니다.

도구변수(Instrumental Variable)는 관심 있는 설명변수에는 영향을 주지만, 결과변수에는 그 설명변수를 통해서만 영향을 미치는 변수입니다.

대학 진학에 영향을 주는 장학금 자격 기준이 실제 교육 수준을 변화시키고, 교육 수준이 이후 소득에 영향을 미친다면 도구변수 후보가 될 수 있습니다. 다만 장학금이 교육과 무관하게 생활비 부담을 줄여 취업 선택이나 소득에 직접 영향을 준다면 문제가 생깁니다. 교육에 영향을 준다는 사실만으로 유효한 도구변수가 되는 것은 아닙니다.

관련성은 데이터로 확인할 수 있지만, 배제제약과 외생성은 데이터만으로 입증되지 않습니다. 자격 기준이 어떻게 결정되었는지, 어떤 요인이 자격과 결과 모두에 영향을 줄 수 있는지 등 연구 설계와 제도적 맥락에 대한 논리가 필요합니다. 07장의 회귀불연속설계나 추첨처럼 우연에 가까운 방식으로 정해진 자격이 좋은 도구변수 후보가 되는 이유입니다.

도구변수법을 실제로 추정하는 대표적인 방법이 2단계 최소제곱법(Two-Stage Least Squares, 2SLS)입니다. 도구변수와 통제변수를 이용해 설명변수에서 예측 가능한 부분을 구하고, 그 부분만으로 결과와의 관계를 추정합니다.

1단계에서는 도구변수가 교육 수준을 얼마나 설명하는지 확인합니다. D̂는 장학금 자격 때문에 생긴 교육의 변화만 담고 있으므로, 능력처럼 관찰되지 않은 요인과 섞이지 않습니다. 유효한 도구변수와 적절한 모형 가정 아래에서 β₁은 교육의 인과효과 추정치가 됩니다. 실제 분석에서는 두 단계를 따로 실행한 뒤 단순 회귀의 표준오차를 그대로 사용하지 않고, 2SLS 추정량에 맞는 표준오차와 추론 방법을 사용해야 합니다.

장학금 자격이 교육 기간과 소득에 미치는 관계를 연구한다고 가정해 보겠습니다.

장학금 자격이 소득을 200만 원 높였는데 그 경로가 교육 1년뿐이라면, 교육 1년의 효과는 연간 소득 약 200만 원입니다. 모의 학생 5,000명에게 이 원리를 적용해 보면 다음과 같습니다.

그림 3처럼 장학금 자격은 교육 기간을 1.03년, 소득을 196만 원 높였고, 그 비율인 IV 추정치는 약 191만 원(95% 신뢰구간 151~230만 원)입니다. 반면 그림 4처럼 교육과 소득을 직접 회귀하면 319만 원으로, 능력의 효과가 섞여 실제 효과(200만 원)보다 크게 부풀려집니다. 하지만 이 값이 모든 사람에게 적용되는 보편적인 교육 효과라는 뜻은 아닙니다(7절).

도구변수가 설명변수에 미치는 영향이 매우 약하면 IV 추정치는 불안정해질 수 있습니다. 분모(1단계 효과)가 0에 가까워져, 표본에 따라 결과가 크게 달라지고 일반적인 추론이 부정확해집니다.

그림 5처럼 1단계 F가 약 67인 강한 도구변수에서는 추정치의 90%가 106~267만 원에 모이지만, F가 약 6인 약한 도구변수에서는 -159~432만 원까지 흩어집니다. 연구에서는 1단계 회귀 결과와 도구변수 강도에 관한 진단을 확인하며, 흔히 1단계 F 통계량 10을 경험적인 참고 기준으로 언급합니다. 다만 이는 모든 상황에서 충분성을 보장하는 절대 기준은 아니며, 도구변수의 개수, 오차 구조, 사용한 추론 방법 등에 따라 더 적절한 진단이 필요할 수 있습니다. 도구변수가 여러 개라면 과식별 제약 검정(Sargan 또는 Hansen 검정 등)을 활용할 수 있지만, 검정을 통과했다고 해서 모든 도구변수의 타당성이 증명되는 것은 아닙니다.

이 부분은 결과를 해석할 때 놓치기 쉽습니다. 무작위 실험에서 추정하는 평균처치효과(ATE)와 달리, 도구변수법은 가정과 연구 설계에 따라 특정 집단의 효과를 추정할 수 있습니다.

대표적으로 순응자 평균처치효과(LATE, Local Average Treatment Effect)가 있습니다. 도구변수의 변화 때문에 실제 처치 여부가 바뀌는 사람들, 즉 순응자(compliers)에 대한 평균 효과입니다. 장학금 자격이 주어졌을 때 대학에 진학하지만 자격이 없으면 진학하지 않는 학생들이 순응자에 해당하며, 이들의 교육 효과가 자격과 관계없이 진학하는 학생과 같다는 보장은 없습니다. 따라서 IV 결과를 보고할 때는 단순히 "교육의 효과"라고만 쓰기보다, 어떤 도구변수와 어떤 식별 가정을 바탕으로 누구의 효과를 추정했는지를 함께 설명하는 것이 좋습니다.

• 설명변수의 내생성이 발생할 수 있는 이유가 명확한가?
• 도구변수가 설명변수에 충분한 영향을 미치는가?
• 도구변수가 결과에 직접 영향을 주는 경로가 없는가?
• 도구변수와 관측되지 않은 교란요인 사이의 연관 가능성을 검토했는가?
• 약한 도구변수에 대한 진단을 확인했는가?
• 표준오차와 추론 방법이 2SLS 추정에 적합한가?
• 추정 결과가 ATE인지, ATT인지, LATE와 같은 다른 효과인지 구분했는가?
• 도구변수의 타당성을 데이터 검정만으로 입증했다고 과장하지 않았는가?

도구변수법의 장점은 단순한 상관관계나 일반 회귀분석만으로 해결하기 어려운 내생성 문제를 다룰 수 있다는 것입니다. 하지만 유효한 도구변수를 찾는 일 자체가 어렵고, 핵심 가정은 데이터만으로 완전히 검증하기 어렵습니다.

다음은 09 합성통제법입니다. 한 지역에만 정책이 시행된 상황에서 여러 통제 지역의 정보를 조합해 가상의 비교 대상을 만드는 방법을 살펴봅니다.