로그선형모형

앞에서 살펴본 교차분석과 카이제곱 검정은 두 범주형 변수 사이에 관련성이 있는지 확인하는 데 사용했습니다. 그렇다면 범주형 변수가 세 개 이상일 때는 어떨까요? 예를 들어 소비자의 성별, 광고 노출 여부, 브랜드 선택을 함께 분석한다고 생각해 보겠습니다. 연구자는 단순히 성별과 브랜드 선택의 관계만 보는 것이 아니라, 광고 노출 여부까지 고려했을 때 변수들 사이의 관계가 어떻게 나타나는지 알고 싶을 수 있습니다. 로그선형모형(Log-linear Model)은 여러 범주형 변수로 구성된 분할표에서 각 조합의 빈도를 분석하고, 변수들 사이의 연관성을 파악하는 방법입니다.

그림 1처럼 성별(남성 · 여성), 광고 노출(노출 · 비노출), 브랜드 선택(A · B)을 교차하면 2 × 2 × 2 = 8개의 조합이 생기고, 로그선형모형은 이 조합별 빈도에서 변수 간 연관성과 상호작용을 확인합니다. 다음과 같은 연구에 활용할 수 있습니다.

핵심은 특정 결과를 예측하는 것만이 아니라, 여러 범주형 변수의 조합에서 관측되는 빈도가 변수 간 관계에 따라 어떻게 달라지는지 분석하는 것입니다.

교차분석은 주로 두 변수의 조합별 빈도를 정리하고 관계를 확인합니다. 로그선형모형은 이를 세 개 이상의 변수로 확장하고, 여러 변수의 연관성을 모형으로 표현합니다.

두 변수만 분석하는 경우에도 로그선형모형을 사용할 수 있지만, 강점은 여러 변수의 관계를 동시에 다룰 때 드러납니다. 또한 로그선형모형은 결과변수 하나를 반드시 지정하는 회귀모형과 달리, 모든 변수를 범주형 변수로 대칭적으로 다루고 각 조합의 빈도를 분석합니다.

로그선형모형은 각 변수 조합의 기대빈도를 모형화합니다. 세 변수가 각각 2개 범주라면 8개 조합의 기대빈도 m_ijk를 다음과 같이 표현합니다.

상호작용 항은 변수 사이의 연관성을 표현합니다. 예를 들어 λ^BC가 없다면 광고 노출과 브랜드 선택이 (성별을 고려했을 때) 서로 관련이 없다는 뜻입니다. 로그선형모형에서는 이러한 항을 포함하거나 제외한 모형을 비교하면서 어떤 연관성 구조가 자료에 적절한지 검토합니다. 모형의 구체적인 계수는 식별을 위해 특정 제약 조건을 두고 추정하므로, 계수 하나만 따로 보기보다는 포함된 상호작용 항과 전체 모형의 적합성을 함께 해석하는 것이 중요합니다.

한 기업이 성별, 광고 노출 여부, 브랜드 선택을 조사했다고 가정하겠습니다. 다음은 원리를 설명하기 위한 가상의 자료입니다.

그림 2처럼 남성은 노출 64% vs 비노출 50%, 여성은 노출 57% vs 비노출 42%로, 두 성별 모두 광고에 노출된 집단에서 브랜드 A 선택 비율이 높습니다. 하지만 이것만으로 광고 노출과 브랜드 선택의 관계가 성별에 따라 달라지는지까지 판단하기는 어렵습니다. 세 변수의 관계를 함께 살펴보려면 다음 모형들을 비교합니다.

포화모형은 모든 조합의 빈도를 그대로 재현하지만, 그 자체로 간결한 설명을 제공한다고 보기는 어렵습니다. 연구자는 필요한 상호작용을 포함하면서도 자료를 충분히 설명하는 모형을 찾습니다.

위 자료로 실제 계산하면, 광고 노출 × 브랜드 선택 항을 독립모형에 추가할 때 이탈도 G²가 7.36에서 1.59로 5.77만큼 줄어듭니다(자유도 1, p = 0.016). 따라서 다른 변수의 관계 구조를 고려하더라도 광고 노출과 브랜드 선택 사이의 연관성을 포함할 필요가 있습니다. 반면 2원 상호작용을 모두 넣은 모형에 삼원 상호작용을 추가해도 G²는 0.005만 줄어(p = 0.94), 광고 노출과 브랜드 선택의 연관성이 성별마다 다르다고 볼 근거는 없습니다. 단순히 특정 집단에서 브랜드 A의 빈도가 높다는 이유만으로 성별이 광고 효과를 바꾼다고 결론 내려서는 안 되는 이유입니다.

로그선형모형에서는 관측빈도와 모형이 예측한 기대빈도가 얼마나 잘 일치하는지 확인합니다. 대표적으로 다음 두 가지 검정 통계량을 사용합니다.

그림 3은 원고 자료의 관측빈도와 독립모형이 계산한 기대빈도를 칸마다 비교한 것입니다. 두 통계량이 작을수록 관측빈도와 기대빈도의 차이가 작다는 뜻이고, 적합도 검정에서 p값이 작다면 모형이 자료를 충분히 설명하지 못한다는 신호일 수 있습니다. 그런데 이 자료의 독립모형은 G² = 7.36(자유도 4, p = 0.12)로 기각되지 않습니다. 그럼에도 4절에서 보았듯이 광고 × 브랜드 항은 필요했습니다. p값만으로 모형을 선택해서는 안 되며, 표본 크기, 셀의 희소성, 모형의 자유도와 연구 목적도 함께 살펴야 하는 이유입니다.

• 로그선형모형은 여러 범주형 변수를 조합했을 때 나타나는 빈도를 분석하는 방법입니다.
• 주효과와 상호작용 효과를 이용해 변수들이 개별적으로 또는 서로 연관되어 빈도에 어떤 영향을 미치는지 살펴봅니다.
• 2원 상호작용은 두 변수 사이의 연관성을, 3원 상호작용은 두 변수의 연관성이 세 번째 변수에 따라 달라지는지를 나타냅니다.
• 관측빈도와 모형의 기대빈도를 비교하고, 우도비 카이제곱 통계량(G²) 등을 이용해 모형의 적합도와 상호작용 항의 필요성을 평가합니다.
• 일부 셀의 빈도가 지나치게 작으면 추정 결과가 불안정해질 수 있습니다. 또한 변수 간 연관성이 확인되더라도 인과관계가 입증되는 것은 아닙니다.

다음은 10 대응표본 범주형자료 분석입니다. 동일한 사람의 전후 응답이나 반복 측정한 범주형 자료를 분석할 때, 측정값 사이의 대응 관계를 고려하여 차이를 비교하는 방법을 알아봅니다.