카이제곱 검정

카이제곱 검정(Chi-square Test)은 범주형 자료에서 관찰된 빈도가 특정 가정 아래 기대되는 빈도와 얼마나 다른지 평가하는 통계적 검정입니다. 예를 들어 남성과 여성의 제품 선호가 다른지, 고객의 선호 브랜드 분포가 균등한지, 특정 응답 범주가 예상보다 많이 나타났는지 등을 검토할 때 사용합니다. 카이제곱 검정에서 중요한 것은 단순히 빈도 차이가 있는지 확인하는 데 그치지 않고, 그 차이가 우연한 표본 변동만으로 설명되기 어려운 수준인지 판단하는 것입니다. 이 장에서는 검정의 기본 원리, 적합도 검정과 독립성 검정, 자유도와 p값의 해석, 가정과 주의점을 알아봅니다.

카이제곱 검정은 관찰빈도(Observed Frequency, O)와 기대빈도(Expected Frequency, E)를 비교합니다. 관찰빈도는 실제 자료에서 확인된 빈도이고, 기대빈도는 귀무가설이 참일 때 기대되는 빈도입니다. 검정통계량은 각 범주에서 관찰빈도와 기대빈도의 차이를 제곱하고, 이를 기대빈도로 나누어 합산합니다.

그림 1은 100명이 네 범주 A~D를 고른 결과입니다. 네 범주가 똑같이 선택된다면 각각 25명이 기대됩니다. A는 18명으로 7명 적어 (18 − 25)² / 25 = 1.96만큼, D는 33명으로 8명 많아 2.56만큼 기여합니다. 네 기여를 더한 χ² = 5.04는 자유도 3에서 p = 0.169이므로, 네 비율이 다르다고 볼 충분한 근거가 없습니다. 검정통계량이 클수록 관찰빈도와 기대빈도의 차이가 커지지만, 통계량의 크기만으로 결론을 내리지 않고 자유도와 표본 크기를 고려해 p값을 계산합니다.

카이제곱 검정은 연구 질문에 따라 여러 유형으로 나뉩니다. 범주형자료분석에서 가장 기본적으로 다루는 것은 적합도 검정과 독립성 검정입니다.

• ① 적합도 검정(Goodness-of-Fit Test): 하나의 범주형 변수에서 관찰된 분포가 특정한 기대 분포와 일치하는지 검정합니다. 예: 소비자가 세 가지 브랜드를 동일한 비율로 선호하는가?
• ② 독립성 검정(Test of Independence): 두 범주형 변수 사이에 통계적 연관성이 있는지 검정합니다. 예: 광고 노출 여부와 구매 의향은 서로 관련이 있는가?

두 검정 모두 빈도를 이용하지만, 적합도 검정은 하나의 변수의 분포를, 독립성 검정은 두 변수 사이의 관계를 평가한다는 차이가 있습니다.

한 쇼핑몰이 세 가지 제품 색상(A, B, C)의 선호도를 조사했다고 가정하겠습니다. 각 색상이 동일하게 선호될 것이라는 가정을 검토하기 위해 응답자 60명의 결과를 확인했습니다.

세 색상이 동일하게 선호된다는 귀무가설 아래에서는 각 색상의 기대빈도가 60 / 3 = 20명입니다. 검정통계량은 다음과 같습니다.

그림 3처럼 색상 A(+10명)와 C(−8명)가 기댓값에서 크게 벗어나 χ²의 대부분(5.0과 3.2)을 차지합니다. 자유도는 범주의 수에서 1을 뺀 값이므로 df = 3 − 1 = 2입니다.

그림 4에서 빨간 면적이 귀무가설 아래 8.4 이상이 나올 확률로, p ≈ 0.015입니다. 유의수준 0.05에서 p값이 0.05보다 작으므로, 세 색상의 선호도가 동일하다는 귀무가설을 기각합니다. 즉, 관찰된 분포는 동일한 선호 비율을 가정했을 때 기대되는 분포와 통계적으로 유의하게 다릅니다. 다만 이 결과만으로 A 색상의 선호도가 높은 이유까지 설명할 수는 없습니다. 어느 범주가 차이에 기여했는지는 관찰빈도와 기대빈도, 잔차 등을 추가로 확인해야 합니다.

이번에는 02장의 광고 노출 여부와 구매 의향 사례를 살펴보겠습니다.

귀무가설은 광고 노출 여부와 구매 의향이 서로 독립이라는 것입니다. 독립이라면 각 셀의 기대빈도는 행 합계와 열 합계를 곱한 뒤 전체 표본 수로 나누어 계산합니다.

그림 5처럼 같은 방식으로 계산하면 기대빈도는 28 · 22 · 28 · 22이고, 이는 02장 그림 4의 “관계 없음” 표와 같습니다. 네 칸의 기여를 모두 더하면 2.29 + 2.91 + 2.29 + 2.91 = 10.39입니다. 자유도는 df = (2 − 1)(2 − 1) = 1입니다.

이 결과의 p값은 약 0.001(0.0013)입니다. 따라서 유의수준 0.05에서 두 변수가 독립이라는 귀무가설을 기각합니다. 이 표본에서는 광고 노출 여부와 구매 의향 사이에 통계적으로 유의한 연관성이 관찰됩니다. 그러나 독립성 검정만으로 광고가 구매 의향을 높였다고 단정할 수는 없습니다. 인과관계를 주장하려면 연구 설계와 다른 설명 요인도 검토해야 합니다(02장 5절).

자유도(Degrees of Freedom)는 검정통계량의 분포를 결정하는 요소입니다. 적합도 검정은 일반적으로 범주 수에서 1을 빼고(자료에서 분포 모수를 추정했다면 달라질 수 있음), 독립성 검정은 (행 범주 수 − 1) × (열 범주 수 − 1)입니다.

그림 7처럼 자유도가 커질수록 분포가 오른쪽으로 퍼지고, 5% 기준값도 3.84(자유도 1), 5.99(자유도 2), 7.81(자유도 3)로 커집니다. 그래서 같은 χ²라도 자유도에 따라 p값이 달라집니다. 예를 들어 그림 1의 5.04는 자유도 3에서 유의하지 않지만, 자유도 1이었다면 기준 3.84를 넘습니다.

p값은 귀무가설이 참이라고 가정할 때, 관찰된 검정통계량만큼 또는 그보다 더 극단적인 결과가 나올 확률입니다. p값이 작다는 것은 귀무가설 아래에서 관찰된 결과가 상대적으로 드물다는 뜻입니다. p값은 귀무가설이 참일 확률도 아니고, 관계가 얼마나 강한지를 나타내는 값도 아닙니다. 따라서 결과를 보고할 때는 검정통계량, 자유도, p값을 함께 제시하고, 필요하다면 효과크기도 추가해야 합니다.

그림 8처럼 전체가 9명뿐이면 기대빈도가 모든 칸에서 5 미만(1.8 ~ 2.8)이 됩니다. 이런 표에서는 카이제곱분포로 p값을 근사하는 것이 부정확할 수 있으므로 Fisher의 정확검정(04장) 등 대안을 고려합니다.

특히 기대빈도가 작다는 이유만으로 무조건 범주를 합치면 안 됩니다. 범주를 합치는 것은 연구 목적과 의미에 부합해야 하며, 분석 전에 합리적인 기준을 정하는 것이 좋습니다.

카이제곱 검정은 범주형 자료의 분포와 관계를 평가하는 핵심 방법입니다. 다만 검정 결과만으로 관계의 크기나 인과관계까지 판단할 수는 없습니다.

다음은 04 정확검정입니다. 표본이 작거나 기대빈도가 낮아 카이제곱 근사를 신뢰하기 어려울 때 사용하는 Fisher의 정확검정과 소표본 분석을 살펴봅니다.