대응분석 (CA)
분할표의 범주 간 관계를 저차원 지도로 탐색
교차분석을 하면 성별, 연령대, 브랜드 선택처럼 범주형 변수 사이의 관계를 빈도표로 확인할 수 있습니다. 하지만 범주가 많아지면 표만으로는 어떤 범주끼리 비슷한 응답 패턴을 보이는지 파악하기 어려워집니다. 대응분석(Correspondence Analysis, CA)은 분할표에 나타난 범주 간의 관계를 저차원 공간에 시각화하는 탐색적 분석 방법입니다. 예를 들어 소비자에게 여러 브랜드 중 선호하는 브랜드를 선택하게 하고 연령대별 선택 패턴을 비교한다면, 대응분석으로 어떤 연령대와 브랜드가 상대적으로 비슷한 응답 패턴을 보이는지 하나의 그림에서 탐색할 수 있습니다.
대응분석이란?
그림 1은 2절의 연령대 × 브랜드 표로 실제 계산한 대응분석 결과입니다. 원은 연령대(행 범주), 네모는 브랜드(열 범주)이며, 20대와 브랜드 A가 왼쪽 위에, 50대 이상과 브랜드 C가 오른쪽에 모여 있습니다. 대응분석은 다음과 같은 연구에 활용할 수 있습니다.
연령대와 브랜드 선호, 고객 유형과 제품 선택
직업 유형과 정치 · 사회적 태도
전공과 진로 선택, 교육 유형과 학생 특성
환자 집단과 증상 범주, 건강 행동 유형
대응분석의 목적은 단순히 범주를 그림에 배치하는 것이 아니라, 분할표의 어떤 범주들이 상대적으로 비슷하거나 다른 패턴을 보이는지 요약해서 탐색하는 것입니다.
대응분석은 어떤 자료를 사용할까?
대응분석의 기본 입력 자료는 두 범주형 변수로 구성된 분할표입니다. 300명의 응답자를 대상으로 연령대별 선호 브랜드를 조사했다고 가정해 보겠습니다.
| 연령대 | 브랜드 A | 브랜드 B | 브랜드 C | 합계 |
|---|---|---|---|---|
| 20대 | 45 | 20 | 15 | 80 |
| 30대 | 30 | 35 | 15 | 80 |
| 40대 | 15 | 30 | 35 | 80 |
| 50대 이상 | 10 | 15 | 35 | 60 |
| 합계 | 100 | 100 | 100 | 300 |
그림 2처럼 각 연령대 안에서 비율을 계산해 전체 평균(33% · 33% · 33%)과 비교하면, 20대는 브랜드 A(56%), 30대는 브랜드 B(44%), 40대와 50대 이상은 브랜드 C(44%, 58%)의 비율이 상대적으로 높습니다. 하지만 이런 표나 막대만으로는 여러 범주 간 관계가 어떤 구조를 이루는지 한눈에 파악하기 어렵습니다. 대응분석은 이러한 빈도 패턴을 요약하여 범주들을 공간에 배치합니다.
대응분석은 어떤 원리로 작동할까?
대응분석은 단순히 빈도가 큰 범주끼리 가까이 배치하는 방법이 아닙니다. 각 행과 열의 상대적인 빈도 패턴을 비교해 범주 간 관계를 요약합니다.
각 연령대에서 특정 브랜드를 선택한 비율(그림 2)을 계산하고, 전체 패턴과 비슷한지 다른지 확인합니다.
행과 열의 상대적 빈도 패턴이 얼마나 다른지 카이제곱 거리(chi-square distance)로 측정합니다. 단순한 빈도 차이보다 전체 분포를 기준으로 한 차이를 봅니다.
범주 간 차이의 주요 구조를 보통 2차원 또는 3차원 공간에 나타냅니다. 각 차원이 설명하는 관성(inertia)의 비율을 함께 확인합니다.
대응분석 그림은 어떻게 읽을까?
대응분석 결과를 해석할 때는 범주들이 어디에 위치하는지만 보는 것이 아니라, 각 점의 의미와 축이 설명하는 정보를 함께 살펴야 합니다. 그림 1을 다시 보며 읽는 순서를 정리하면 다음과 같습니다.
- 점의 의미 확인: 행 범주(연령대 · 원)와 열 범주(브랜드 · 네모)가 각각 어떤 변수를 나타내는지 확인합니다.
- 점들의 상대적 위치 확인: 같은 종류의 범주끼리는 상대적인 위치를 통해 응답 패턴의 유사성을 탐색할 수 있습니다. 그림 1에서 40대와 50대 이상은 같은 쪽(오른쪽)에 있어 브랜드 선택 분포가 비슷합니다. 행 범주와 열 범주 사이의 거리는 해석에 더 많은 주의가 필요합니다.
- 축과 설명 비율 확인: 차원 1이 83%, 차원 2가 17%를 설명합니다. 대부분의 차이가 가로축(젊은 층·A ↔ 높은 연령층·C)에 담겨 있습니다.
같은 종류의 범주끼리 가까이 있다면 상대적인 응답 패턴이 비슷할 가능성이 있습니다. 다만 행 범주와 열 범주의 점이 가까이 있다는 사실만으로 두 범주 사이에 강한 관계가 있다고 단정해서는 안 됩니다. 행과 열의 상대적인 위치는 행 프로파일과 열 프로파일, 좌표 표시 방식 등을 고려해 해석해야 합니다. 원점에서 멀리 떨어진 범주는 평균적인 분포 패턴과 차이가 클 수 있지만, 멀리 있다는 사실만으로 중요한 범주라고 단정할 수는 없습니다. 해당 범주의 빈도와 기여도, 좌표의 안정성도 함께 확인합니다.
관성과 설명 비율은 왜 중요할까?
대응분석에서 관성(inertia)은 분할표의 상대적 빈도 패턴이 독립적인 상황에서 얼마나 벗어나는지를 요약하는 양입니다.
χ²: 분할표의 피어슨 카이제곱 통계량 · n: 전체 관측 수
2절 표는 χ² = 53.1, n = 300이므로 전체 관성은 0.177입니다. 대응분석은 이 관성을 여러 차원으로 나누어 표현하며, 각 차원의 설명 비율은 그 차원이 전체 패턴의 차이를 얼마나 담고 있는지를 나타냅니다.
| 차원 | 관성 설명 비율 |
|---|---|
| 차원 1 | 83.3% |
| 차원 2 | 16.7% |
| 합계 | 100% |
그림 3처럼 4 × 3 표에서는 차원이 최대 min(4 − 1, 3 − 1) = 2개뿐이므로 두 차원이 전체 관성의 100%를 설명합니다. 이 경우 2차원 그림이 원래 분포 패턴을 빠짐없이 담습니다. 범주가 더 많은 표에서는 차원이 늘어나므로, 두 차원의 설명 비율이 낮다면 그림에서 보이는 거리가 실제 범주 간 차이를 충분히 나타내지 못할 수 있습니다. 설명 비율은 그림의 유용성을 판단하는 중요한 지표이지만, 그 자체가 통계적 유의성이나 분석 결과의 타당성을 보장하지는 않습니다.
카이제곱 검정과 대응분석은 어떻게 연결될까?
카이제곱 독립성 검정과 대응분석은 같은 분할표를 활용할 수 있지만, 목적이 다릅니다.
두 범주형 변수가 독립적인지 검정합니다. 2절 표는 χ²(6) = 53.1, p < .001로 독립성에서 벗어납니다.
범주 간의 상대적 응답 패턴을 시각적으로 탐색합니다. 그 관계를 어떤 범주들이 형성하는지 지도로 보여 줍니다.
카이제곱 검정에서 유의한 결과가 나왔다면, 대응분석을 사용해 어떤 범주들이 그 관계의 구조를 형성하는지 탐색할 수 있습니다. 그러나 대응분석 그림만으로 특정 범주 쌍의 차이가 통계적으로 유의하다고 결론 내릴 수는 없습니다. 필요한 경우 잔차 분석이나 별도의 통계적 검정을 함께 활용해야 합니다.
연령대와 선호 브랜드의 분할표(N = 300)는 독립성에서 유의하게 벗어났다, χ²(6) = 53.1, p < .001. 대응분석 결과 첫 번째 차원이 전체 관성의 83.3%를 설명하였으며, 20대와 브랜드 A, 40대 이상과 브랜드 C가 이 차원의 양 끝에 위치하였다.
대응분석을 사용할 때 주의할 점
빈도가 매우 낮은 범주는 좌표가 불안정하거나 그림에서 과도하게 두드러져 보일 수 있습니다. 범주별 빈도와 기여도를 확인합니다.
설명 비율이 낮으면 추가 차원을 확인하거나 원래 분할표를 함께 검토합니다.
특히 행 범주와 열 범주 사이의 거리를 그대로 연관성의 크기로 해석하면 안 됩니다. 좌표 유형과 표시 방식을 확인합니다.
대응분석은 범주 간 관계를 탐색하는 방법이며, 인과적 결론을 직접 제공하지 않습니다.
대상 간 거리를 지도로 그리는 다변량 파트의 「다차원척도법(MDS)」, 변수를 요약하는 「주성분분석(PCA)」과 같은 계열의 방법이므로 함께 비교해 보면 도움이 됩니다.
분할표의 빈도 패턴을 지도로 옮겨 범주 관계를 탐색합니다.
- 대응분석(CA)은 분할표의 범주 간 관계를 저차원 공간에 시각화하는 탐색적 분석 방법입니다.
- 범주 간 상대적인 빈도 패턴을 바탕으로 좌표를 계산합니다.
- 점의 위치뿐 아니라 관성 설명 비율, 범주별 빈도와 기여도를 함께 확인해야 합니다.
- 카이제곱 검정은 독립성 여부를 검토하고, 대응분석은 관계의 패턴을 시각적으로 탐색합니다.
- 그림의 거리만으로 통계적 유의성이나 인과관계를 판단해서는 안 됩니다.
다음은 12 범주형 분석의 진단과 해석입니다. 지금까지 배운 검정과 모형을 어떤 기준으로 선택하고 결과를 어떻게 점검해야 하는지 정리합니다.
대응분석은 분할표의 행 · 열 프로파일이 평균에서 벗어난 정도(관성 = χ² ÷ n)를 소수의 차원으로 나눠 지도에 그립니다. 같은 종류의 범주끼리 가까우면 패턴이 비슷하다는 뜻이고, 행과 열 사이 거리는 조심해서 읽습니다. 차원별 설명 비율과 원래 표를 함께 확인합니다.