이원분산분석 (Two-way ANOVA)

이원분산분석은 두 개의 범주형 독립변수가 하나의 수치형 종속변수와 어떻게 관련되는지 분석하는 방법입니다. 각 독립변수의 개별적인 효과뿐 아니라 두 변수가 결합될 때 나타나는 상호작용 효과도 검정할 수 있습니다. 일원분산분석이 하나의 요인을 비교한다면, 이원분산분석은 두 요인을 동시에 고려합니다.

이 글에서는 광고 방식과 연령대라는 두 요인을 예로 들어, 주효과와 상호작용이 각각 무엇을 뜻하고 결과를 어떤 순서로 해석해야 하는지 살펴봅니다.

예를 들어, 한 기업이 광고 방식과 연령대에 따라 소비자의 구매 의향이 달라지는지 조사한다고 가정해 보겠습니다. 연구에서는 다음 두 가지 요인을 살펴봅니다.

• 광고 방식: 이미지 중심 광고, 설명 중심 광고
• 연령대: 청년층, 중장년층
• 종속변수: 구매 의향 점수

두 요인이 각각 두 수준을 가지므로 2 × 2 = 4개의 조건(청년층·이미지, 청년층·설명, 중장년층·이미지, 중장년층·설명)이 만들어집니다. 각 조건에는 여러 명의 참가자가 있어야 조건 안의 개인차, 즉 오차를 추정할 수 있습니다. 이때 연구자는 세 가지 질문에 답하고자 합니다.

세 번째 질문이 바로 이원분산분석에서 중요한 상호작용 효과(interaction effect)에 관한 것입니다.

광고 방식과 연령대를 각각 일원분산분석으로 따로 분석하면 1번과 2번 질문에는 답할 수 있지만, 3번 질문에는 답할 수 없습니다. 상호작용은 두 요인을 함께 넣은 모형에서만 검정할 수 있기 때문입니다. 또한 두 요인을 한 모형에 넣으면 다른 요인으로 설명되는 변동이 오차에서 빠지므로, 각 효과를 더 정밀하게 검정할 수 있습니다.

이원분산분석에서는 일반적으로 두 개의 주효과와 하나의 상호작용 효과를 검정합니다.

1. 광고 방식의 주효과: 광고 방식에 따라 구매 의향 평균이 달라지는지 확인합니다. 연령대별 차이를 고려해 광고 방식의 평균적인 효과를 평가합니다.
2. 연령대의 주효과: 연령대에 따라 구매 의향 평균이 달라지는지 확인합니다. 광고 방식별 차이를 고려해 연령대의 평균적인 효과를 평가합니다.
3. 광고 방식 × 연령대의 상호작용: 광고 방식에 따른 구매 의향 차이가 연령대에 따라 달라지는지 확인합니다.

주효과는 다른 요인을 고려한 평균적인 차이를 의미합니다. 그림 2의 막대는 주변평균(marginal mean)으로, 다른 요인의 수준을 평균한 값입니다. 각 조건의 참가자 수가 같다고 하면 이미지 중심 광고의 주변평균은 (85 + 65) ÷ 2 = 75점, 설명 중심 광고는 (70 + 75) ÷ 2 = 72.5점입니다. 같은 방식으로 청년층은 77.5점, 중장년층은 70점입니다.

즉 광고 방식의 주효과는 75점과 72.5점의 차이(2.5점)를, 연령대의 주효과는 77.5점과 70점의 차이(7.5점)를 보는 것입니다. 반면 상호작용은 그림 2의 세 번째 그래프처럼 조건별 평균을 이은 선의 모양을 봅니다. 선이 평행하면 상호작용이 없고, 기울기가 다르거나 교차하면 상호작용이 있다는 신호입니다.

상호작용이 존재하면 주효과만으로 결과를 설명하기 어려울 수 있으므로, 두 요인의 조합별 결과도 함께 살펴봐야 합니다.

한 기업이 광고 방식과 연령대에 따른 구매 의향을 조사했습니다. 각 조건에서 구매 의향을 100점 만점으로 측정했다고 가정하겠습니다. 설명용 가상 데이터이며, 아래 값은 각 조건의 평균 점수입니다.

이 결과에서는 세 가지 패턴을 생각해 볼 수 있습니다.

• 청년층에서는 이미지 중심 광고의 평균이 더 높습니다.
• 중장년층에서는 설명 중심 광고의 평균이 더 높습니다.
• 광고 방식에 따른 점수 차이의 방향이 연령대에 따라 달라집니다.

그림 3에서 같은 색 막대끼리 비교해 보면 이 패턴이 잘 보입니다. 파란 막대(이미지 중심)는 청년층에서 중장년층으로 가면서 20점 낮아지지만, 주황 막대(설명 중심)는 오히려 5점 높아집니다. 두 광고가 연령대에 따라 서로 반대 방향으로 움직이는 것입니다.

이처럼 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는 패턴은 상호작용 가능성을 보여줍니다. 다만 평균만으로 상호작용이 통계적으로 유의하다고 확정할 수는 없습니다. 실제 검정에는 각 조건의 표본 수와 개인별 점수의 변동 정보가 필요합니다.

상호작용을 이해하는 가장 좋은 방법은 광고 방식에 따른 평균 차이를 연령대별로 비교하는 것입니다. 차이는 이미지 중심 광고 평균에서 설명 중심 광고 평균을 뺀 값입니다.

두 연령대에서 광고 방식의 차이가 서로 다르고 방향까지 반대입니다. 이런 결과라면 전체 연령대를 합쳐 광고 방식의 평균만 비교하는 것으로는 중요한 정보를 놓칠 수 있습니다.

실제로 연령대를 합친 광고 방식의 주변평균 차이는 75 − 72.5 = 2.5점에 불과합니다. 청년층의 +15점과 중장년층의 −10점이 서로 상쇄되어, 전체 평균만 보면 “광고 방식은 별 차이가 없다”고 잘못 해석할 수 있습니다. 상호작용의 크기는 이 두 차이가 얼마나 다른지, 즉 차이의 차이로 볼 수 있습니다. 이 예에서는 15 − (−10) = 25점입니다.

실무에서는 이 결과를 바탕으로 연령대별 광고 전략을 다르게 설계할지 검토할 수 있습니다. 단, 관찰된 차이가 실제로 유의한지와 인과적 효과인지는 연구 설계와 통계적 검정을 통해 별도로 판단해야 합니다.

일반적으로 상호작용이 유의하다면 단순효과(simple effect) 분석을 통해 특정 연령대 안에서 광고 방식의 차이를 확인하거나, 특정 광고 방식 안에서 연령대의 차이를 확인합니다.

평균 차이는 원고의 조건별 평균으로 계산한 값입니다. 각 차이가 유의한지는 개인별 점수로 별도 검정해야 합니다.

연구 질문에 따라 어느 방향의 단순효과를 볼지 정합니다. “연령대별로 어떤 광고가 나은가?”가 궁금하다면 위의 두 줄을, “광고마다 어느 연령대에 더 잘 통하는가?”가 궁금하다면 아래 두 줄을 봅니다.

이원분산분석에서는 세 가지 효과에 대해 각각 가설을 검정합니다.

두 요인이 각각 두 수준을 가진다면 모형은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

• Y_ijk: 각 참가자의 구매 의향 점수
• μ: 전체 평균
• α_i: 광고 방식의 효과
• β_j: 연령대의 효과
• (αβ)_ij: 광고 방식과 연령대의 상호작용 효과
• ε_ijk: 모형으로 설명되지 않는 오차

그림 5처럼 SECTION 03의 숫자를 넣어 보면 각 항의 의미가 분명해집니다. 전체 평균은 네 조건 평균의 평균인 73.75점입니다. 광고 방식 효과는 이미지 광고의 주변평균이 전체 평균보다 얼마나 높은지(75 − 73.75 = 1.25), 연령대 효과는 청년층의 주변평균이 얼마나 높은지(77.5 − 73.75 = 3.75)입니다. 전체 평균에 이 둘을 더하면 78.75점까지만 설명되고, 나머지 6.25점(85 − 75 − 77.5 + 73.75)이 상호작용입니다. 즉 상호작용은 두 주효과를 더해서 예상한 값과 실제 조건 평균의 차이입니다.

분석 결과에서는 각 효과에 대한 F 통계량과 p값을 확인합니다. 세 효과의 F는 모두 같은 오차 평균제곱으로 나누어 계산하며, 2 × 2 설계에서는 각 효과의 자유도가 1, 오차의 자유도는 전체 참가자 수 − 4입니다. 효과마다 검정 결과가 다를 수 있으므로, 주효과와 상호작용을 구분해 해석해야 합니다.

결과를 해석할 때는 다음 세 가지 상황을 구분하면 좋습니다. 그림 6은 각 상황에서 조건별 평균 그래프가 흔히 어떤 모양을 띠는지 보여줍니다.

상황 A. 주효과는 유의하고 상호작용은 유의하지 않음

광고 방식 또는 연령대에 따른 평균 차이를 해석할 수 있습니다. 다만 상호작용이 유의하지 않다는 것은 효과가 완전히 동일하다는 증명이 아니라, 차이를 뒷받침할 충분한 근거를 찾지 못했다는 뜻입니다.

그래프에서는 두 선이 거의 평행하게 나타납니다. 예를 들어 두 연령대 모두에서 설명 중심 광고가 이미지 중심 광고보다 비슷한 정도로 높다면, “설명 중심 광고가 평균적으로 더 높다”는 주효과 해석이 두 연령대에 고르게 적용됩니다. 이때는 주변평균을 비교하고, 수준이 셋 이상인 요인이라면 사후검정으로 어느 수준끼리 다른지 확인합니다.

상황 B. 상호작용이 유의함

한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라진다는 근거가 있습니다. 이때는 단순효과와 조건별 평균을 살펴보는 것이 중요합니다.

그래프에서는 두 선의 기울기가 뚜렷하게 다르거나 서로 교차합니다. 이 글의 예시처럼 청년층에서는 이미지 광고가, 중장년층에서는 설명 광고가 더 높다면 “어느 광고가 더 좋은가?”라는 질문의 답은 “연령대에 따라 다르다”가 됩니다. 따라서 SECTION 04의 표처럼 연령대별로 광고 방식의 차이를 따로 검정하는 단순효과 분석이 해석의 중심이 됩니다. 이때 주효과가 유의하게 나오더라도 그 숫자 하나로 결론을 요약하지 않도록 주의합니다.

상황 C. 주효과와 상호작용 모두 유의하지 않음

두 요인의 평균 차이나 상호작용을 뒷받침할 충분한 통계적 근거를 찾지 못한 것입니다. 표본 크기와 효과크기도 함께 확인해야 합니다.

그래프에서는 선들이 거의 겹쳐 보입니다. 하지만 유의하지 않다는 결과가 곧 “두 요인은 구매 의향과 관련이 없다”는 뜻은 아닙니다. 조건별 표본이 작으면 실제로 존재하는 차이도 검정력이 부족해 발견하지 못할 수 있습니다. 효과크기와 신뢰구간을 함께 보고, 차이가 있다면 어느 정도일지 범위로 해석하는 것이 좋습니다.

특히 상호작용이 유의한 경우에는 주효과를 단독으로 해석하는 데 주의해야 합니다. 예를 들어 청년층에서는 이미지 광고가 더 높은 점수를 얻고 중장년층에서는 설명 광고가 더 높은 점수를 얻는다면, 전체 평균만으로 어느 광고가 더 효과적이라고 결론 내리는 것은 적절하지 않을 수 있습니다.

그래서 결과표를 읽을 때는 상호작용부터 먼저 확인하는 것이 일반적입니다. 상호작용에도 두 종류가 있습니다. 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 크기만 달라지고 방향은 같다면(선이 교차하지 않음) 주효과도 어느 정도 의미가 있습니다. 반면 이 글의 예처럼 효과의 방향이 뒤바뀌면(선이 교차함) 주효과만으로는 결과를 설명하기 어렵습니다.

일반적인 이원분산분석에서는 다음 가정을 확인합니다.

• 독립성: 관측값이 서로 독립적이어야 합니다.
• 정규성: 각 조건에서 오차가 대체로 정규분포를 따라야 합니다.
• 등분산성: 각 조건의 오차 분산이 비슷해야 합니다.

가정의 내용은 일원분산분석과 같습니다. 달라지는 것은 어떤 집단별로 확인하느냐입니다.

일원분산분석에서는 A, B, C 세 집단을 각각 살펴봤습니다. 이원분산분석에서는 참가자가 두 요인의 조합에 따라 네 집단으로 나뉩니다.

• 청년층 + 이미지 중심 광고
• 청년층 + 설명 중심 광고
• 중장년층 + 이미지 중심 광고
• 중장년층 + 설명 중심 광고

SECTION 03 표의 85점, 70점, 65점, 75점이 바로 이 네 집단의 평균입니다. 정규성과 등분산성은 이 네 집단 각각에서 확인합니다. 예를 들어 “청년층 + 이미지 광고” 집단의 점수가 한쪽으로 크게 치우쳐 있거나, 이 집단만 점수가 유독 넓게 퍼져 있지 않은지 살펴보는 것입니다.

집단이 많아질수록 한 집단에 들어가는 사람은 줄어든다는 점도 기억해야 합니다. 예를 들어 80명을 모았다면 2 × 2 설계에서는 집단마다 약 20명이지만, 두 요인이 각각 세 수준인 3 × 3 설계에서는 집단이 9개라 집단마다 9명 정도밖에 되지 않습니다. 그래서 설계 단계에서 집단별 인원을 충분히 확보하는 것이 중요합니다. 가정 점검 방법과 대안은 11장 분산분석의 가정과 대안에서 자세히 다룹니다.

또한 표본 수가 조건별로 다르거나 설계가 불균형한 경우, 주효과의 검정 결과가 사용하는 제곱합 유형(Type I, II, III)과 모형 설정에 따라 달라질 수 있습니다. 따라서 분석 결과를 보고할 때는 사용한 모형과 검정 방법을 명확히 하는 것이 좋습니다.

제곱합 유형은 왜 생길까?

집단별 인원이 고르지 않을 때 생기는 문제입니다. 그림 7처럼 이미지 광고를 본 사람은 대부분 청년층(보라 점)이고, 설명 광고를 본 사람은 대부분 중장년층(회색 점)이라고 해 보겠습니다. 이때 이미지 광고의 점수가 높게 나와도 광고가 좋아서인지, 청년이 많아서인지 구분하기 어렵습니다. 제곱합 유형은 이럴 때 광고의 효과를 어떤 방향으로 묶어서 비교할지 정하는 기준입니다.

• Type I · 세로로 비교: 이미지 광고 열 전체와 설명 광고 열 전체를 그대로 비교합니다. 이미지 쪽에는 청년이 많이 섞여 있어서, 연령대 때문에 생긴 차이까지 광고의 효과로 계산될 수 있습니다. 또 모형에 어떤 요인을 먼저 넣느냐에 따라 결과가 달라집니다.
• Type II · 가로로 비교: 청년은 청년끼리, 중장년은 중장년끼리 광고 효과를 비교한 뒤 합칩니다. 같은 연령대 안에서만 비교하므로 연령대의 영향이 빠집니다. 다만 두 연령대에서 광고 효과가 비슷하다고(상호작용이 없다고) 보고 계산합니다.
• Type III · 가로로 비교 + 상호작용: Type II처럼 같은 연령대끼리 비교하되, 그림의 +15점과 −10점처럼 연령대마다 광고 효과가 다를 수 있다는 점까지 반영합니다.

정리하면, 인원이 고르지 않을 때는 같은 연령대끼리 비교하는 Type II나 III가 광고 자체의 효과를 보는 데 더 적합합니다. 상호작용이 있으면 Type III를 흔히 씁니다. 네 집단의 인원이 모두 같다면 세 유형의 결과는 같으며, 인원이 다르다면 어떤 유형을 썼는지 결과와 함께 적습니다.

요인을 세 개 이상으로 늘린 삼원분산분석이나 요인설계도 같은 원리로 확장됩니다. 다만 요인이 늘어날수록 검정할 상호작용이 많아지고(세 요인이면 2차 상호작용 3개와 3차 상호작용 1개), 해석도 복잡해집니다. 그래서 연구 질문에 꼭 필요한 요인만 포함하는 것이 좋습니다.

• 주효과: 다른 요인을 평균한 주변평균의 차이입니다.
• 상호작용: 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는 정도, 곧 차이의 차이입니다.
• 검정: 두 주효과와 상호작용을 각각 F 통계량으로 검정합니다.
• 해석 순서: 상호작용이 유의하면 주효과보다 조건별 평균과 단순효과를 먼저 봅니다.
• 일원분산분석과 차이: 두 요인을 함께 넣어 오차를 줄이고 상호작용을 확인할 수 있습니다.

이원분산분석은 두 개의 범주형 독립변수를 동시에 고려해 종속변수의 평균 차이를 검정하는 방법입니다. 핵심은 각 요인의 주효과와 두 요인의 상호작용 효과를 구분하는 것입니다.

다음 주제인 사후검정과 다중비교에서는 여러 집단을 비교할 때 어떤 집단끼리 차이가 있는지, 그리고 반복적인 비교로 인해 잘못된 결론을 내릴 위험을 어떻게 통제하는지 살펴봅니다.