반복측정 분산분석 (Repeated-Measures ANOVA)

반복측정 분산분석은 같은 대상에게서 여러 시점 또는 여러 조건에 걸쳐 측정한 평균이 달라지는지 검정하는 방법입니다. 일반적인 일원분산분석은 서로 독립적인 집단의 평균을 비교하지만, 반복측정 분산분석은 동일한 사람에게서 반복적으로 수집한 데이터의 특성을 고려합니다.

예를 들어, 한 연구자가 스트레스 관리 프로그램의 효과를 확인하기 위해 참가자의 스트레스 점수를 프로그램 시작 전, 중간, 종료 후에 측정했다고 가정해 보겠습니다. 연구 목적은 프로그램 참여자의 스트레스 점수가 시간에 따라 달라지는지 확인하는 것입니다.

• 측정 시점: 프로그램 시작 전, 중간, 종료 후
• 대상: 동일한 참가자
• 종속변수: 스트레스 점수
• 분석 요인: 측정 시점

이 경우 세 시점의 점수를 서로 다른 집단의 자료처럼 취급하면 안 됩니다. 같은 사람의 점수는 개인의 성향이나 평소 스트레스 수준 때문에 서로 관련되어 있기 때문입니다. 반복측정 분산분석은 이러한 개인 내 상관을 고려해 시점에 따른 평균 차이를 검정합니다.

이런 설계에는 장점도 있습니다. 세 집단을 따로 모으려면 15명이 필요하지만, 반복측정에서는 5명만으로 세 시점을 비교할 수 있습니다. 또 같은 사람끼리 비교하므로 사람마다 원래 다른 수준이 비교에 섞이지 않습니다. 시점이 두 개뿐이라면 대응표본 t검정과 같은 결론을 내며, 반복측정 분산분석은 이를 세 시점 이상으로 넓힌 방법입니다.

다음은 참가자 5명의 스트레스 점수를 세 시점에 걸쳐 측정한 가상 데이터입니다. 점수가 높을수록 스트레스 수준이 높다고 가정합니다.

평균 점수는 시작 전 81점에서 종료 후 60점으로 감소했습니다. 그러나 평균이 감소했다는 사실만으로 통계적으로 유의한 변화라고 단정할 수는 없습니다.

표를 사람별로 읽어 보면 두 가지가 보입니다. 첫째, 다섯 명 모두 시작 전보다 중간에, 중간보다 종료 후에 점수가 낮아졌습니다. 둘째, 참가자 C는 세 시점 모두 점수가 가장 높은 편이고 B는 시작 전 점수가 가장 낮은 편입니다. 이렇게 사람마다 원래 다른 수준이 개인차이고, 모두에게 공통으로 나타나는 감소가 시점의 효과입니다.

반복측정 분산분석은 전체 변동을 이해할 때 개인 간 차이와 동일한 개인 안에서 나타나는 변화를 구분합니다.

예를 들어 평소 스트레스가 높은 사람은 세 시점 모두 점수가 높을 수 있습니다. 이러한 개인별 차이를 고려하지 않으면 시점에 따른 변화와 사람마다 원래 가지고 있던 차이를 혼동할 수 있습니다.

그림 2의 왼쪽처럼 누가 누구인지 모른 채 점만 보면 시점마다 점이 꽤 흩어져 있어 차이가 불분명해 보입니다. 하지만 오른쪽처럼 같은 사람끼리 이으면 모든 선이 비슷하게 내려갑니다. 점이 흩어져 보였던 이유의 상당 부분은 시점 때문이 아니라 사람마다 원래 다른 수준, 즉 개인차였던 것입니다.

반복측정 분산분석은 개인별 차이를 모형에 반영해 측정 시점에 따른 변화가 개인 간 차이를 고려한 뒤에도 나타나는지 평가합니다. 이 예제로 계산하면 전체 제곱합 1277.6은 시점 1102.8, 개인차 136.9, 오차 37.9로 나뉩니다. 같은 자료를 독립된 세 집단처럼 분석하면 개인차가 오차에 섞여 오차가 174.8이 되고 F는 37.85에 그치지만, 개인차를 따로 떼어 내면 오차가 37.9로 줄어 F가 116.49로 커집니다.

일반적인 반복측정 분산분석에서는 다음 가설을 검정합니다.

귀무가설은 세 시점의 모집단 평균이 같다는 것이며, 대립가설은 적어도 한 시점의 평균이 다르다는 것입니다.

반복측정 분산분석 결과에서는 F 통계량, 자유도, p값을 확인합니다.

• p값이 0.05 미만: 측정 시점에 따른 평균 차이를 뒷받침하는 통계적 근거가 있습니다.
• p값이 0.05 이상: 시점별 평균 차이를 확인할 충분한 근거가 없습니다.

예제 데이터로 계산한 결과입니다. 시점의 자유도는 3 − 1 = 2, 오차의 자유도는 (5 − 1) × (3 − 1) = 8입니다. 다만 SECTION 05에서 보듯 이 예제는 구형성 가정을 만족하지 않아, 실제 보고에는 보정한 결과를 씁니다.

전체 검정에서 유의한 결과가 나와도 어느 시점끼리 차이가 있는지는 바로 알 수 없습니다. 따라서 사후 쌍별 비교를 통해 시작 전과 중간, 시작 전과 종료 후, 중간과 종료 후의 차이를 살펴볼 수 있습니다. 이때 다중비교 보정을 함께 고려해야 합니다.

반복측정에서는 시점 쌍마다 같은 사람의 두 점수를 비교하는 대응 t검정을 하고, 비교 횟수만큼 p값을 보정하는 방식이 흔히 쓰입니다. 이 예제에서는 세 쌍 모두 보정 후에도 유의하게 감소했습니다. 보정 방법의 종류는 4장 사후검정과 다중비교를 참고하세요.

또한 스트레스 점수가 시간에 따라 감소하더라도 그 변화가 프로그램 때문에 발생했다고 단정할 수는 없습니다. 대조군이 없는 연구에서는 자연적인 시간 변화, 외부 사건 등의 영향도 배제하기 어렵습니다. 프로그램을 받지 않은 비교 집단을 함께 측정하면 이 문제를 줄일 수 있으며, 이런 설계는 다음 장의 혼합설계 분산분석으로 분석합니다.

반복측정 분산분석에서는 다음 사항을 확인해야 합니다.

• 독립성: 서로 다른 참가자 간에는 독립성이 필요합니다.
• 정규성: 각 측정 조건의 모형 오차가 대체로 정규성을 만족해야 합니다.
• 구형성(Sphericity): 세 시점 이상을 비교하는 경우, 시점 간 차이 점수의 분산이 적절한 조건을 만족해야 합니다.

구형성은 반복측정 분산분석에서 특히 중요한 가정입니다. 쉽게 말해 시점 쌍마다 사람들의 변화량이 비슷한 정도로 흩어져 있어야 한다는 조건입니다. 예제에서 시점 쌍별 변화량의 분산을 계산하면 시작 전−중간 6.2, 중간−종료 후 3.7, 시작 전−종료 후 18.5로 크게 다릅니다. 시점이 두 개뿐이면 차이가 하나뿐이라 구형성은 문제가 되지 않습니다.

Mauchly의 구형성 검정으로 이를 평가할 수 있으며, 가정이 충족되지 않으면 Greenhouse–Geisser 또는 Huynh–Feldt 보정을 적용할 수 있습니다.

이 예제에서는 Mauchly 검정의 p값이 약 .017로 구형성 가정이 충족되지 않습니다. Greenhouse–Geisser 보정은 위반 정도를 나타내는 값(ε, 이 예제에서 약 0.52)을 자유도에 곱해 검정을 더 보수적으로 만듭니다. 보정 후 p값은 약 .0003으로 여전히 유의하므로 결론은 같습니다. 보고할 때는 보정 방법과 ε을 함께 적습니다. 표본이 작을 때 Mauchly 검정은 위반을 잘 잡아내지 못할 수 있어, 처음부터 보정한 결과를 함께 보고하는 경우도 많습니다.

예제 결과는 다음과 같이 보고할 수 있습니다.

결측치가 있거나 측정 시점이 참가자마다 다르다면 일반적인 반복측정 분산분석보다 선형혼합모형이 더 적합할 수 있습니다. 반복측정 분산분석은 한 시점이라도 빠진 참가자를 분석에서 통째로 제외하지만, 선형혼합모형은 남아 있는 측정값을 모두 활용할 수 있습니다. 정규성 등 공통 가정의 점검 방법은 11장 분산분석의 가정과 대안에서 다룹니다.

• 목적: 같은 대상을 여러 시점·조건에서 측정한 평균의 차이를 검정합니다.
• 개인차 분리: 개인 간 변동을 오차에서 떼어 내 적은 인원으로도 정밀하게 검정합니다.
• 구형성: 세 시점 이상이면 Mauchly 검정과 ε로 구형성을 확인합니다.
• 보정: 구형성이 위반되면 Greenhouse–Geisser 등으로 자유도를 보정합니다.
• 사후 비교: 시점 간 쌍별 비교는 다중비교 보정과 함께 수행합니다.

반복측정 분산분석은 동일한 대상에게서 여러 차례 측정한 평균의 차이를 검정하는 방법입니다. 개인 간 차이를 고려한다는 점에서 독립적인 집단을 비교하는 일반적인 일원분산분석과 다릅니다.

다음 학습에서는 혼합설계 분산분석(Mixed-Design ANOVA)을 살펴봅니다. 서로 다른 집단의 차이와 동일한 대상의 시간에 따른 변화를 함께 분석하는 방법입니다.