다변량분산분석 (MANOVA)

다변량분산분석(Multivariate Analysis of Variance, MANOVA)은 여러 종속변수를 동시에 고려해 집단 간 차이가 있는지 검정하는 통계분석 방법입니다. 예를 들어, 새로운 교육 프로그램의 효과를 평가할 때 시험 점수만 비교하면 학습 효과의 일부만 확인할 수 있습니다. 학습 성취도, 학습 동기, 수업 만족도를 함께 분석하면 프로그램에 따른 전반적인 차이를 더 폭넓게 평가할 수 있습니다.

MANOVA는 집단에 따라 여러 결과변수의 조합이 달라지는지 확인할 때 사용합니다. 예를 들어 다음과 같은 연구를 생각할 수 있습니다.

• 독립변수: 교육 프로그램 유형 — A형, B형, C형
• 종속변수 1: 학습 성취도
• 종속변수 2: 학습 동기
• 종속변수 3: 수업 만족도

이때 다음 질문에 답할 수 있습니다.

1. 교육 프로그램 유형에 따라 세 결과변수의 조합이 달라지는가?
2. 집단 간 차이가 나타난다면 어떤 결과변수가 차이에 기여하는가?
3. 결과변수들을 개별적으로 분석했을 때도 집단 간 차이가 나타나는가?

첫 번째 질문이 MANOVA의 핵심입니다. 두 번째와 세 번째 질문은 MANOVA 이후의 후속 분석에서 답합니다(섹션 6).

두 분석의 가장 큰 차이는 동시에 분석하는 종속변수의 수입니다.

• ANOVA — 일변량 분산분석: 하나의 종속변수를 기준으로 집단 간 평균 차이를 검정합니다. 예: 교육 프로그램에 따라 시험 점수가 다른가?
• MANOVA — 다변량분산분석: 두 개 이상의 종속변수를 동시에 고려해 집단 간 차이를 검정합니다. 예: 교육 프로그램에 따라 시험 점수, 학습 동기, 만족도의 조합이 다른가?

그럼 종속변수마다 ANOVA를 한 번씩 하면 되지 않을까요? 두 가지 문제가 있습니다. 첫째, 검정을 세 번 하면 그중 하나라도 우연히 유의하게 나올 가능성이 커집니다. 이것은 4장 사후검정과 다중비교에서 본 다중비교 문제와 같습니다. 둘째, 개별 ANOVA는 변수 사이의 관계를 보지 못합니다. 성취도와 동기는 보통 함께 움직이는데, 각각에서는 차이가 작아도 두 변수를 함께 보면 집단이 뚜렷하게 갈리는 경우가 있습니다. MANOVA는 변수 간 상관을 포함해 한 번에 검정하므로 이 두 문제를 함께 다룹니다.

세 가지 교육 프로그램에 참여한 학생들의 평가 결과가 다음과 같다고 가정하겠습니다.

위 표는 설명을 위한 가상 집단 평균입니다. 실제 MANOVA 검정에는 개별 관측값과 집단별 표본 수가 필요합니다.

그림처럼 세 지표를 선으로 이어 보면, 세 변수 모두에서 B형 > C형 > A형 순서가 같습니다. B형은 세 지표 모두에서 평균이 가장 높고, 특히 학습 동기에서 A형과의 차이(15점)가 가장 큽니다. 하지만 연구자는 각 지표를 따로 보는 데 그치지 않고, 세 결과변수의 조합이 프로그램 유형에 따라 통계적으로 달라지는지 확인할 수 있습니다.

평균 차이가 눈에 보이더라도 그것만으로 유의한 차이가 있다고 단정할 수는 없습니다. MANOVA는 각 개인의 점수 변동과 종속변수 간 상관관계까지 고려해 검정합니다.

MANOVA는 종속변수들의 평균을 하나씩 따로 비교하는 대신, 여러 결과변수의 평균 벡터가 집단에 따라 달라지는지 검정합니다. 결과변수가 세 개라면 각 집단의 평균은 하나의 숫자가 아니라 세 숫자를 세로로 묶은 벡터로 표현됩니다.

MANOVA의 귀무가설은 모든 집단의 평균 벡터가 같다는 것입니다.

두 벡터가 같다는 것은 세 숫자가 모두 같다는 뜻입니다. 따라서 세 변수 중 어느 하나에서라도, 또는 여러 변수의 조합에서 차이가 나면 귀무가설은 기각될 수 있습니다.

원리는 1장에서 본 분산분석과 같습니다. 집단 간 변동을 집단 내 변동과 비교합니다. 다만 변수가 여러 개이므로 변동이 숫자 하나(제곱합)가 아니라 변수별 변동과 변수 사이의 공변동을 모은 표(행렬)가 됩니다. 이 두 행렬을 비교해 하나의 통계량으로 요약하는 방법이 여러 가지이고, 그것이 다음 절의 검정 통계량입니다.

검정 결과가 유의하다면 집단 간 다변량 차이가 있다는 근거가 됩니다. 다만 어느 집단과 어느 변수에서 차이가 발생했는지는 후속 분석을 통해 확인해야 합니다.

MANOVA에서는 여러 검정 통계량을 사용할 수 있습니다.

표의 마지막 열처럼 Wilks' Lambda는 집단 차이가 클수록 작아지고, 나머지는 커집니다. 이렇게 통계량별 정의가 다르므로 값이 작거나 크다는 사실만으로 결과를 해석하지 않고, 해당 검정의 p값과 연구 설계를 함께 확인해야 합니다. 대부분의 통계 프로그램은 네 통계량을 한 표에 함께 보여 주며, 보통은 결론이 같습니다.

결과를 해석할 때는 다음 순서로 살펴보는 것이 좋습니다.

1. 다변량 검정 결과 확인: 선택한 검정 통계량과 p값을 확인합니다. 유의수준이 0.05이고 p값이 0.03이라면, 귀무가설 아래에서 관측된 정도 이상의 결과가 나타날 확률이 3%라는 의미이며 통계적으로 유의하다고 판단할 수 있습니다.
2. 후속 일변량 분석: MANOVA가 유의하면 각 종속변수에 대한 ANOVA를 통해 어떤 결과변수가 차이에 기여하는지 확인할 수 있습니다.
3. 집단 간 비교: 어떤 집단끼리 차이가 있는지 사후검정이나 계획된 대비를 통해 살펴봅니다. 여러 검정을 수행하면 다중비교 문제도 고려해야 합니다.
4. 효과 크기와 연구 맥락 확인: p값뿐 아니라 효과 크기, 신뢰구간, 실제 의미를 함께 검토합니다.

2단계와 3단계를 이 예제에 적용하면 아래와 같은 구조가 됩니다. MANOVA 하나에서 출발해 변수별 ANOVA 세 개, 그리고 각 변수 안에서 A·B·C형을 비교하는 사후검정으로 이어집니다.

가지가 늘어날수록 검정 횟수도 늘어납니다. 그래서 변수별 ANOVA에는 유의수준을 변수 수로 나누는 Bonferroni 보정(예: 0.05 ÷ 3 ≈ 0.017)을 적용하기도 합니다. 사후검정 방법은 4장에서 다룬 것과 같습니다.

중요한 점은 MANOVA의 유의성이 모든 종속변수에서 각각 유의한 차이가 있다는 뜻은 아니라는 것입니다. 다변량 검정과 개별 종속변수의 검정은 서로 다른 질문에 답합니다. 반대로 개별 ANOVA는 모두 유의하지 않은데 MANOVA만 유의할 수도 있습니다. 이때는 변수 하나가 아니라 변수들의 조합에서 차이가 난다는 뜻이므로, 판별분석처럼 어떤 조합이 집단을 가르는지 살펴보는 방법을 쓸 수 있습니다.

MANOVA 결과는 다음과 같은 형식으로 보고할 수 있습니다(○○에는 실제 분석 값을 넣습니다).

MANOVA를 적용하기 전에는 다음 조건을 검토해야 합니다.

• 독립성: 서로 다른 관측 대상의 데이터가 독립적이어야 합니다.
• 다변량 정규성: 각 집단의 종속변수 조합이 대체로 다변량 정규성을 만족해야 합니다.
• 공분산 행렬의 동질성: 집단별 종속변수 간 공분산 구조가 유사해야 합니다. ANOVA의 등분산 가정을 여러 변수로 넓힌 것으로, 흔히 Box's M 검정으로 확인합니다.
• 다중공선성: 종속변수들이 지나치게 높은 상관을 보이거나 사실상 중복되는지 확인해야 합니다.
• 이상치: 다변량 관점에서 극단적인 관측값이 결과에 큰 영향을 미치는지 확인해야 합니다.

종속변수 간 상관이 어느 정도 존재하는 것은 자연스럽고, MANOVA를 사용하는 이유가 되기도 합니다. 하지만 변수들이 거의 동일한 정보를 담고 있다면 분석 결과가 불안정해질 수 있습니다. 또한 MANOVA는 변수 수에 비해 집단별 표본이 충분해야 하며, 적어도 각 집단의 표본 수가 종속변수 수보다 많아야 합니다.

가정이 크게 위반된 경우에는 강건한 방법이나 다른 다변량 접근을 검토해야 합니다. 가정 점검과 대안은 11장 분산분석의 가정과 대안에서 다룹니다.

• 교육학: 교수법에 따른 성취도, 동기, 만족도 비교
• 심리학: 치료 집단별 우울, 불안, 스트레스 점수 비교
• 마케팅: 광고 유형에 따른 브랜드 태도, 구매 의도, 신뢰도 비교
• 보건학: 처치 집단별 혈압, 혈당, 콜레스테롤 지표 비교
• 조직 연구: 조직문화 유형에 따른 직무 만족, 몰입, 이직 의도 비교

다만 종속변수들이 서로 다른 이론적 개념을 나타내는 경우에는 단순히 여러 변수를 한 번에 넣기보다, 왜 함께 분석해야 하는지 연구 목적에서 설명할 수 있어야 합니다.

• 목적: 여러 종속변수의 평균 벡터가 집단에 따라 다른지 한 번에 검정합니다.
• ANOVA와 차이: 결과변수 간 상관을 함께 고려하고, 개별 검정 반복에 따른 오류 증가를 줄입니다.
• 검정 통계량: Pillai의 트레이스, Wilks의 람다 등을 사용하며 Pillai가 가정 위반에 가장 강건합니다.
• 후속 분석: 유의하면 변수별 ANOVA와 사후검정으로 좁혀 갑니다.
• 가정: 다변량 정규성과 공분산행렬의 동질성(Box의 M)을 확인합니다.

MANOVA는 여러 종속변수의 관계를 함께 고려해 집단 간 차이를 검정하는 분석 방법입니다.

개별 ANOVA를 여러 번 수행하는 것과 달리 결과변수 간 공분산 구조를 고려한다는 점이 특징입니다. 다변량 검정에서 차이가 확인되면 후속 분석으로 어떤 변수와 집단이 차이에 기여하는지 구체적으로 살펴볼 수 있습니다.

다음은 분산분석의 가정과 진단입니다. 정규성·등분산성·독립성·구형성을 어떻게 점검하고, 위반되면 어떤 대안을 고르는지 살펴봅니다.