VAR 모형과 그랜저 인과성 검정

반려동물 건강과 관련한 온라인 검색이 갑자기 늘어난 다음 주에는 동물병원 예약도 증가할까요? 반대로 병원 방문이 늘어난 뒤 보호자들이 온라인에서 관련 정보를 더 많이 찾아볼 수도 있습니다. 검색량과 예약 건수는 시간에 따라 함께 움직일 수 있지만, 어느 쪽의 과거 정보가 다른 쪽의 미래를 예측하는 데 도움이 되는지는 별도로 확인해야 합니다.

벡터자기회귀(Vector Autoregression, VAR)는 여러 시계열을 하나의 시스템에 넣고 각 변수의 과거값으로 현재값을 설명하는 모형입니다. 그랜저 인과성 검정(Granger Causality Test)은 한 변수의 과거값이 다른 변수의 미래값을 예측하는 데 추가 정보를 주는지 평가합니다. 이름에 '인과성'이 들어가지만, 이 검정만으로 실제 원인과 결과가 증명되는 것은 아닙니다.

이번 글에서는 VAR의 구조, 정상성과 시차 선택, 그랜저 인과성 검정, 충격반응함수와 예측오차 분산분해, 예측 및 진단을 새로운 사례와 함께 살펴보겠습니다.

반면 VAR는 여러 변수의 변화가 서로에게 어떤 예측 정보를 제공하는지 살펴봅니다. 예를 들어 지난주 검색량과 예약 건수, 2주 전 검색량과 예약 건수를 함께 이용해 이번 주 예약 변화를 설명할 수 있습니다.

VAR의 각 변수는 시스템 안에서 결과변수이면서 다른 방정식의 설명변수이기도 합니다. 따라서 한 방향의 회귀분석만 하는 것보다 양방향의 시간적 연관성을 살펴보기에 적합합니다. 단, 관측하지 않은 공통 원인이나 외부 충격을 자동으로 통제해 주지는 않습니다.

첫 번째는 주간 진료 예약 건수, 두 번째는 같은 지역의 반려동물 건강 관련 온라인 검색지수입니다. 예약 건수는 양수이고 검색지수는 0~100 범위로 제공된다고 가정합니다.

주간 변화량을 사용하면 장기 추세 때문에 나타나는 허위 상관을 줄이는 데 도움이 될 수 있지만, 차분하면 항상 정상성이 확보되는 것은 아닙니다. 분석에서는 각 변수의 시계열 그래프와 단위근 검정, 계절성 여부를 먼저 확인해야 합니다. 또한 차분 과정에서 장기 관계가 사라질 수 있다는 점도 고려해야 합니다.

예약 증가율을 y, 검색지수 변화를 x라고 쓰면 다음과 같습니다.

첫 번째 방정식은 예약 변화량을, 두 번째 방정식은 검색지수 변화량을 설명합니다. 두 방정식의 잔차는 같은 시점에 서로 상관될 수 있습니다. 따라서 VAR는 단순히 회귀식을 두 개 만든다는 것뿐 아니라 변수와 오차항의 공동 동학을 살펴보는 틀입니다.

평균·분산과 자기공분산 구조가 시간이 지나도 일정한지를 검토해야 하며, 계절적 패턴이나 구조적 변화가 남아 있는지도 살펴봐야 합니다.

예를 들어 예약 건수와 검색량이 수년 동안 동시에 증가했다면 두 변수의 수준값에는 강한 상관이 나타날 수 있습니다. 그러나 그 관계가 실제 예측 정보인지 아니면 공통 추세의 결과인지는 구분해야 합니다. ADF나 KPSS 같은 검정을 시각적 점검과 함께 사용할 수 있습니다.

두 수준변수가 비정상적이면서 공적분되어 있다면 무조건 차분한 VAR보다 VECM(벡터오차수정모형)이 적절할 수 있습니다.

주간 자료에서는 1주 전만 사용할 수도 있고 2~4주 전의 정보를 포함할 수도 있습니다. 시차가 너무 짧으면 중요한 동학을 놓칠 수 있고, 지나치게 길면 추정할 모수가 늘어 표본이 부족해집니다.

이 예제에서는 AIC와 잔차 검토를 종합해 VAR(2)를 선택했다고 가정하겠습니다. BIC는 VAR(1)을 선호하므로, 실제 분석이라면 두 후보의 예측 성능과 잔차를 함께 비교할 만합니다. 특정 지표 하나를 기계적으로 따르기보다 표본 크기와 연구 목적을 고려해야 합니다.

여기서 개선은 통상 VAR 방정식의 해당 시차 계수들이 공동으로 0인지 검정하는 방식으로 평가합니다. 예를 들어 VAR(2)에서 '검색 변화는 예약 변화를 그랜저 원인하지 않는다'라는 귀무가설은 다음과 같습니다.

이 가설을 기각한다면 검색지수 변화의 1·2주 전 값에 예약 변화 예측에 도움이 되는 추가 정보가 있다는 근거로 해석합니다. 반대 방향도 별도로 검정해야 합니다. 즉 예약 변화가 검색지수 변화를 그랜저 원인하는지 확인하려면 두 번째 방정식의 예약 시차 계수들을 공동으로 검정합니다.

첫 번째 검정에서는 p=.004로 귀무가설을 기각합니다. 따라서 이전 1~2주의 검색지수 변화가 예약 증가율을 예측하는 데 추가 정보를 제공한다는 통계적 근거가 있습니다. 반대 방향에서는 p=.208이므로 예약 변화의 과거값이 검색지수 변화를 추가로 예측한다는 충분한 근거를 확인하지 못했습니다.

하지만 두 번째 결과는 '영향이 없다'는 증명이 아닙니다. 검정력이 부족할 수도 있고, 더 긴 시차나 다른 변수가 필요할 수도 있습니다. 무엇보다 첫 번째 결과를 검색이 예약을 증가시킨다는 인과적 증거로 해석해서는 안 됩니다. 언론 보도, 전염성 질환 유행, 계절적 요인 등이 검색과 예약을 모두 변화시켰을 수 있기 때문입니다.

검색지수 변화의 1주 시차 계수가 양수라면 지난주 검색 증가가 이번 주 예약 증가와 관련된다는 뜻입니다.

다만 다양한 시차가 함께 들어 있으므로 계수 하나만 보고 전체 관계를 단정하기 어렵습니다. 같은 변수가 1주 시차에서는 양수, 2주 시차에서는 음수 계수를 가질 수도 있습니다. 이러한 동학을 종합적으로 확인하려면 충격반응함수(Impulse Response Function, IRF)가 도움이 됩니다.

예를 들어 검색지수 변화에 1표준편차의 충격을 가정한 후 예약 증가율이 1주 뒤, 2주 뒤에 어떻게 움직이는지 그릴 수 있습니다.

이 값은 해석을 위해 설정한 충격반응 경로입니다. 또한 같은 시점에 상관된 잔차를 어떤 방식으로 구분하느냐에 따라 IRF가 달라질 수 있습니다. 직교화 IRF에서 사용하는 Cholesky 분해는 변수의 순서에 민감하며, 일반화 IRF는 다른 가정을 사용합니다. 통계적으로 나타난 충격반응을 구조적 인과효과로 해석하려면 별도의 식별 제약이나 연구 설계가 필요합니다.

예를 들어 4주 후 예약 증가율의 예측오차 분산 중 검색지수 충격에 할당된 비율이 18%라고 추정할 수 있습니다.

이 비율은 전체 예약 건수의 18%가 검색 때문에 발생했다는 뜻이 아닙니다. 예측오차의 변동성에 대한 분해이며, 충격의 식별 방식과 변수 순서, 모형 설정에 따라 달라집니다. IRF와 FEVD는 그랜저 검정을 보완하지만 인과관계를 자동으로 확정해 주지 않습니다.

이 예제에서는 처음 156주를 학습에 사용하고 마지막 52주를 시간순 검증 구간으로 설정했다고 가정하겠습니다. 이후 순차적 예측에서는 매 시점에 실제로 알 수 있었던 값만 사용해야 합니다.

이 비교에서는 VAR가 검증 RMSE를 줄였습니다. 이는 해당 기간과 예측 설정에서 검색 관련 정보가 실용적으로 도움이 되었을 가능성을 보여줍니다. 다만 다른 기간에도 같은 우위가 유지되는지는 롤링 또는 확장창 백테스팅으로 확인해야 합니다. 미래의 검색지수 값을 이미 알고 있다는 가정으로 예약을 예측하면 정보 누수가 발생할 수 있습니다.

적합된 시스템의 고유값 조건을 확인해 충격이 시간이 지나면서 폭발적으로 커지는 모형인지 살펴볼 수 있습니다. 또한 잔차의 자기상관을 Portmanteau 검정 등으로 점검하여 선택한 시차가 충분한지 검토해야 합니다.

잔차의 이분산성과 이상치, 공통 충격, 구조적 변화도 중요합니다. 예를 들어 반려동물 질환이 크게 유행한 특정 주에는 검색과 예약이 동시에 급증할 수 있으며, 이 사건을 반영하지 않은 모형은 일반적인 동학을 잘못 추정할 수 있습니다. 실제 분석에서는 주간·연간 계절성, 공휴일, 홍보 캠페인 등 필요한 외생변수를 추가하는 것도 고려할 수 있습니다.

마지막으로 VAR 방정식의 개수가 늘고 시차가 길어질수록 추정할 계수가 많아진다는 점을 유의해야 합니다. 표본이 짧다면 변수 수나 시차 수를 줄이거나 규제화된 VAR 등의 대안을 검토할 수 있습니다.

충격반응함수를 포함했다면 충격의 크기와 식별 방식, 신뢰구간 계산 방법도 밝혀야 합니다.

실제 논문이나 보고서에는 검정의 자유도, 계수·신뢰구간, 추정 방법 및 검증 절차를 추가해야 합니다.

그랜저 인과성 검정은 한 변수의 과거값이 다른 변수의 미래값을 예측할 때 추가 정보를 제공하는지 평가합니다. 따라서 두 방법을 함께 사용하면 단순 상관관계로는 확인하기 어려운 방향별 예측 관계를 살펴볼 수 있습니다.

다만 이름에 '인과성'이 포함되어 있다는 이유로 통계적 예측 관계를 실제 인과관계로 해석해서는 안 됩니다. 정상성, 시차 선택, 잔차 진단, 충격의 식별 방식과 시간순 검증이 모두 중요합니다.