토빗 회귀모형

가구의 소득이 높아질수록 문화·예술 활동에 지출하는 금액도 증가할까요? 한 연구자가 1,000가구의 연간 문화·예술 활동 지출액을 조사했다고 가정해 보겠습니다. 조사 결과 일부 가구는 공연 관람이나 전시회 방문 등에 상당한 금액을 지출했지만, 전혀 지출하지 않은 가구도 있었습니다.

이처럼 지출액이 0원인 가구가 많을 때 일반적인 선형회귀분석을 적용하면 어떤 문제가 발생할까요? 일반적인 선형회귀모형은 종속변수가 특정한 하한이나 상한에서 제한되는 구조를 직접 반영하지 않습니다. 따라서 데이터가 만들어지는 방식에 따라 회귀계수나 예측값을 적절하게 해석하기 어려울 수 있습니다.

이러한 상황에서 고려할 수 있는 방법이 토빗 회귀모형(Tobit Regression Model)입니다.

토빗 모형은 관측되지 않는 잠재적인 연속형 결과변수가 존재하고, 실제 관측값은 특정 기준에서 중도절단(Censoring)되는 구조를 분석하는 회귀모형입니다. 예를 들어 잠재적인 지출 성향이 일정 기준 이하인 경우 실제 지출액이 모두 0원으로 관측되는 구조를 가정할 수 있습니다.

다만 지출액이 0원이라는 이유만으로 토빗 모형이 적절한 것은 아닙니다. 지출하지 않기로 결정하는 과정과 실제 지출금액을 결정하는 과정이 서로 다를 수도 있기 때문입니다.

이번 글에서는 토빗 모형의 기본 원리와 적용 조건, 계산 구조, 실제 분석 사례, 회귀계수와 한계효과의 차이, 다른 모형과의 비교 및 결과 해석 방법을 살펴보겠습니다.

대표적으로 종속변수의 하한이 0으로 설정된 좌측 중도절단 토빗 모형이 있습니다.

예를 들어 문화·예술 활동에 대한 가구의 잠재적인 지출 성향이 연속적인 값으로 존재한다고 가정해 보겠습니다. 이 잠재변수는 가구의 소득이나 관심도 등에 따라 달라질 수 있지만, 실제 관측되는 지출액은 0원보다 작을 수 없습니다. 토빗 모형은 이러한 상황을 다음과 같이 표현합니다.

여기서 Y*_i는 관측되지 않는 잠재적인 결과변수이고, Y_i는 실제 관측된 지출액입니다. X_i는 소득이나 가구원 수 등의 설명변수이며, β는 각 설명변수의 회귀계수입니다.

이 모형에서는 잠재변수가 0 이하인 경우 실제 지출액이 모두 0으로 기록된다고 가정합니다. 따라서 0원이라는 관측값도 모형의 중요한 정보로 사용됩니다.

다만 실제로 발생한 0원이 이러한 잠재변수의 중도절단 과정에서 발생했는지 확인해야 합니다. 지출 여부와 지출금액이 서로 다른 결정 과정에 의해 정해진다면 다른 모형이 더 적절할 수 있습니다.

두 상황은 모두 데이터의 관측 범위가 제한되지만 정보를 잃는 방식이 다릅니다. 예를 들어 문화·예술 지출액을 조사할 때 지출하지 않은 가구도 조사에 포함하여 지출액을 0원으로 기록했다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 0원인 가구가 몇 곳인지 알 수 있습니다.

반면 문화·예술 지출을 한 가구만 조사했다면 지출하지 않은 가구는 데이터에서 아예 제외됩니다. 이 경우에는 0원인 가구의 수조차 관찰하지 못합니다.

두 경우에 같은 회귀분석을 적용해서는 안 됩니다. 특히 0원인 가구가 조사에 포함되어 있다는 사실과, 해당 0원이 잠재변수의 중도절단으로 발생했다는 모형 가정은 서로 다른 문제입니다.

하지만 중도절단 자료에서는 관측된 결과가 원래 잠재변수의 모든 값을 그대로 반영하지 않습니다. 예를 들어 가구소득이 낮을수록 잠재적인 문화·예술 지출 성향이 감소한다고 가정해 보겠습니다. 일반 선형회귀모형은 이러한 관계를 연장하여 일부 가구에 음수 지출액을 예측할 수도 있습니다.

토빗 모형은 실제 관측값이 0원에서 제한된다는 구조를 모형에 반영합니다. 또한 지출액이 양수인 가구의 금액뿐 아니라 0원으로 관측된 가구의 비율도 이용해 파라미터를 추정합니다.

다만 토빗 모형이 OLS보다 항상 우수한 것은 아닙니다. 실제로 0원이 발생하는 방식이 토빗의 가정과 다르다면 오히려 부적절한 추정값을 얻을 수 있습니다.

연구자는 가구소득과 교육 수준, 가구원 수 등이 문화·예술 지출에 어떤 관계를 가지는지 알아보려고 합니다. 전체 가구 중 280가구는 문화·예술 활동에 지출하지 않았고, 나머지 720가구는 1원 이상의 지출을 기록했습니다.

분석 데이터 구성

이 예제에서는 지출액이 0원인 관측값을 좌측 중도절단으로 설명하는 잠재변수 모형이 적절하다고 가정하겠습니다. 연구 질문은 다음과 같습니다.

실제 연구에서는 이러한 모형 가정이 타당한지 검토해야 합니다. 특히 지출 여부를 먼저 결정한 뒤 지출하는 가구만 금액을 결정하는 구조라면 이중부분모형(Two-Part Model) 등을 고려할 수 있습니다.

좌측 중도절단 토빗 모형에서는 실제 관측값이 양수인 경우와 0인 경우의 우도 기여가 다릅니다. 양수인 관측값은 잠재변수의 연속적인 확률밀도를 이용합니다. 반면 0원으로 관측된 가구는 잠재변수가 0 이하일 확률을 이용합니다.

오차항이 평균 0, 분산 σ²의 정규분포를 따른다고 가정하면 0원 관측의 확률은 다음과 같습니다.

여기서 Φ는 표준정규분포의 누적분포함수입니다. 토빗 모형은 양수인 관측값의 정보와 0원인 관측값의 정보를 함께 사용하여 β와 σ를 추정합니다. 따라서 0원인 관측값을 임의로 제외하거나 작은 양수로 대체하지 않습니다.

그러나 이 추정은 잠재변수의 선형 구조, 정규성, 등분산성 등의 가정에 의존합니다. 이러한 가정이 적절하지 않으면 표준 토빗 최대우도 추정값과 추론 결과가 왜곡될 수 있습니다.

토빗 회귀분석 결과

종속변수 단위는 만 원입니다.

가구소득의 회귀계수는 4.20으로 나타났습니다. 이는 다른 모형 조건이 같을 때 가구소득이 1,000만 원 높을수록 잠재적인 문화·예술 지출변수가 평균적으로 4.2만 원 높은 방향의 관계를 가진다는 의미입니다.

가구원 수의 계수는 2.50으로, 가구원이 한 명 많을 때 잠재 지출변수가 2.5만 원 높게 나타났습니다. 또한 대졸 이상 가구는 고졸 이하 가구에 비해 잠재 지출변수가 8.6만 원 높은 방향의 관계를 보였습니다.

회귀계수는 잠재변수의 평균이 설명변수에 따라 어떻게 달라지는지 나타냅니다. 반면 실제 관측 지출액의 변화에는 지출액이 0원에서 제한되는 구조가 반영됩니다.

좌측 중도절단 토빗 모형에서 연속형 설명변수 X_k가 관측 결과의 조건부 평균에 미치는 한계효과는 표준적인 정규 토빗 가정하에서 다음과 같습니다.

즉, 실제 관측 지출액에 대한 한계효과는 해당 조건에서 양수 지출액이 관측될 확률과 잠재변수의 회귀계수를 함께 반영합니다. 예를 들어 가구소득의 회귀계수가 4.20이고 특정 공변량 조건에서 양수 지출확률이 0.70이라고 가정하면 다음과 같습니다.

따라서 해당 조건에서 가구소득이 1,000만 원 증가할 때 실제 관측 지출액의 조건부 평균은 국소적으로 약 2.94만 원 증가하는 것으로 추정됩니다.

이는 설명을 위한 계산 예제이며, 실제 연구에서는 개별 관측값의 한계효과를 계산한 뒤 평균한 평균한계효과(Average Marginal Effect, AME)를 보고할 수 있습니다. 범주형 설명변수의 경우에는 미분값 대신 해당 범주를 변경했을 때 예측 평균이 얼마나 달라지는지 계산하는 것이 적절합니다.

첫째는 지출액이 0원보다 클 확률입니다. 둘째는 전체 가구의 실제 관측 지출액의 기대값입니다. 셋째는 지출액이 양수인 가구의 조건부 평균 지출액입니다.

예를 들어 소득 수준이 높은 가구에서 문화·예술 지출이 많게 나타났다면 이는 지출하는 가구의 비율이 높아졌기 때문일 수도 있고, 지출하는 가구의 금액이 커졌기 때문일 수도 있습니다. 두 가지가 동시에 나타날 수도 있습니다.

토빗 분석에서 확인할 수 있는 결과

이러한 결과들은 서로 연결되어 있지만 같은 수치는 아닙니다. 예를 들어 소득 증가에 따라 지출하는 가구의 비율이 조금 높아지면서, 이미 지출하고 있는 가구의 지출금액도 증가할 수 있습니다. 이 경우 전체 평균 지출액의 변화는 두 요소를 함께 반영합니다.

다만 표준 토빗 모형에서는 지출 여부와 지출금액이 동일한 잠재변수 과정에 의해 결정된다고 가정합니다. 두 결정 과정이 본질적으로 다르다면 이 가정이 적절하지 않을 수 있습니다.

이중부분모형은 지출 여부와 실제 지출금액을 별도의 과정으로 분석합니다. 첫 번째 단계에서는 문화·예술 활동에 지출했는지 여부를 로지스틱 회귀 등으로 분석합니다. 두 번째 단계에서는 지출액이 양수인 가구에 한하여 지출금액을 분석합니다.

예를 들어 문화·예술 활동에 전혀 관심이 없어 지출하지 않는 가구와 관심은 있지만 예산이 부족해 지출하지 않는 가구가 있다고 가정해 보겠습니다. 이들이 서로 다른 의사결정 과정을 가진다면 하나의 잠재변수로 설명하는 토빗 모형이 지나치게 제한적일 수 있습니다.

따라서 0원이 많다는 사실만으로 토빗 모형을 자동 선택해서는 안 됩니다. 연구자는 0원이 발생한 이유와 데이터의 생성 과정을 먼저 이해해야 합니다.

특히 고전적인 정규 토빗 모형에서는 오차항이 설명변수 조건부로 평균 0인 정규분포를 따르고, 분산이 일정하다고 가정합니다. 또한 설명변수의 외생성도 필요합니다.

예를 들어 고소득 가구일수록 문화·예술 지출의 변동성이 훨씬 크다면 등분산성 가정이 부적절할 수 있습니다. 지출액 분포가 매우 비대칭적이거나 일부 가구에서 극단적으로 큰 금액이 나타나는 경우에도 표준적인 잠재 정규분포 가정을 검토해야 합니다.

또한 설명변수와 결과변수 사이의 관계가 비선형일 수 있습니다. 소득이 낮은 구간에서는 소득 증가에 따라 지출이 빠르게 늘어나지만, 높은 소득 구간에서는 증가 폭이 작아질 수도 있습니다. 이러한 상황에서는 비선형항이나 더 유연한 중도절단 회귀모형, 이중부분모형 등을 검토할 수 있습니다.

중요한 것은 토빗 모형의 회귀계수가 통계적으로 유의한지를 확인하는 것만으로 충분하지 않다는 점입니다. 잠재변수 구조와 중도절단 과정이 실제 데이터에 적절한지 함께 판단해야 합니다.

토빗 모형은 관측값이 특정 경계에서 중도절단되는 잠재변수 구조를 가정합니다. 실제 0원이 독립적인 선택이나 참여 결정 때문에 발생했다면 다른 모형이 더 적합할 수 있습니다.

관측된 지출액과 잠재변수를 구분해야 합니다.

회귀계수는 기본적으로 잠재변수에 대한 효과를 의미합니다. 실제 지출액의 평균 변화나 지출확률을 설명하려면 별도의 예측값과 한계효과를 계산해야 합니다.

중도절단 기준을 정확하게 설정해야 합니다.

일부 연구에서는 하한이 0이 아닌 경우도 있고, 상한과 하한이 동시에 존재할 수도 있습니다. 설문조사에서 특정 금액 이상의 지출액을 동일한 상한값으로 기록했다면 우측 중도절단이나 양측 중도절단 구조를 고려해야 할 수 있습니다.

표본선택 문제와 구분해야 합니다.

지출하지 않은 가구의 정보가 표본에서 완전히 제외된 경우에는 단순한 토빗 중도절단 모형과 데이터 구조가 다릅니다. 분석 대상의 선택 과정이 문제라면 헤크만 선택모형 등을 검토해야 할 수 있습니다.

관찰자료의 회귀계수를 인과효과로 단정하지 않아야 합니다.

소득이 높은 가구에서 문화·예술 지출이 높게 나타나더라도 소득만이 그 차이를 만든다고 결론 내릴 수 없습니다. 문화적 선호나 거주환경처럼 관찰되지 않은 요인이 관련되어 있을 수 있습니다.

특히 토빗 회귀계수와 실제 관측 결과에 대한 평균한계효과를 구분하면 독자가 결과를 더 정확하게 이해할 수 있습니다.

실제 연구에서는 오차항 분포와 등분산성에 대한 모형 가정, 한계효과의 계산 대상과 기준, 사용한 추정 방법 등을 함께 명시하는 것이 좋습니다.

예를 들어 문화·예술 지출액이 0원에서 제한되는 자료에서는 잠재적인 지출변수와 실제 관측 지출액의 관계를 모형화할 수 있습니다. 이 과정에서 지출액이 양수인 가구뿐 아니라 0원으로 관측된 가구의 정보도 함께 활용합니다.

다만 토빗 모형의 회귀계수는 잠재변수에 대한 관계를 나타내므로 실제 평균 지출액의 변화와 구분해야 합니다. 실제 지출액에 미치는 평균적인 영향을 알고 싶다면 한계효과를 계산해야 합니다.

또한 0원이 많은 모든 자료에 토빗 모형이 적절한 것은 아닙니다. 지출 여부와 금액이 별도의 결정 과정에서 발생하는 경우에는 이중부분모형 등 다른 방법을 고려해야 합니다.