시계열의 추세·계절성 분해와 이동통계

도시 자전거 공유 서비스의 월별 이용 건수를 살펴본다고 가정해 보겠습니다. 여름에는 이용자가 늘고 겨울에는 줄어드는 경향이 있지만, 해가 지날수록 서비스 자체의 인기도도 높아질 수 있습니다.

올해 7월 이용 건수가 작년 12월보다 많다고 해서 사업이 급성장했다고 말할 수 없는 이유입니다. 두 달은 계절이 다르고, 서비스가 운영된 시점도 다릅니다.

이처럼 시간순으로 기록된 데이터를 시계열(Time Series)이라고 합니다. 시계열을 이해하려면 장기적인 방향을 보여주는 추세(Trend), 일정한 주기로 반복되는 계절성(Seasonality), 이 둘로 설명되지 않는 잔차(Remainder)를 구분해야 합니다.

여기에 이동평균과 이동표준편차 같은 이동통계(Rolling Statistics)를 사용하면 특정 기간의 변화가 얼마나 지속적이고 불안정한지도 확인할 수 있습니다. 이번 글에서는 월별 자전거 이용 데이터를 통해 이동평균, 가법·승법 분해, STL, 계절조정, 이동변동성을 계산하고, 결과를 어떻게 해석해야 하는지 살펴보겠습니다.

따라서 관측 순서와 관측 간격이 중요합니다. 월별 이용 건수의 순서를 섞으면 봄에 증가하고 겨울에 감소하는 패턴을 발견하기 어렵습니다.

시계열에는 수준(Level), 추세, 계절성, 불규칙 변동이 함께 나타날 수 있습니다. 예를 들어 자전거 공유 서비스의 평균 이용 규모는 한 달 약 10만 건일 수 있지만, 장기적으로 증가하면서 7~8월에는 평균보다 높고 1~2월에는 낮아지는 식입니다. 날씨나 일시적인 서비스 장애 때문에 발생하는 변동은 이러한 반복 패턴과 구별해서 다뤄야 합니다.

분해는 우선 데이터를 이해하기 위한 도구입니다. 분해 결과 자체가 미래 이용 건수를 보장하거나 이용량 변화의 원인을 입증하지는 않습니다.

숫자의 단위는 천 건입니다.

다음 값은 예제를 이해하기 위한 일부 관측치입니다.

이 12개월만 보면 한 해 안에서 여름에 높고 겨울에 낮은 패턴이 보입니다. 하지만 장기 추세를 판단하려면 2022~2025년 전체 자료를 비교해야 합니다. 계절성은 한 번의 연간 변화만으로 확정하는 것이 아니라 여러 해에 걸쳐 반복되는지를 검토해야 합니다.

예를 들어 자전거 공유 서비스의 연간 이용 건수가 2022년 960천 건, 2023년 1,080천 건, 2024년 1,280천 건, 2025년 1,400천 건으로 증가했다고 가정하겠습니다. 이 값은 장기적으로 이용 규모가 커졌다는 근거가 됩니다.

전년 대비 증가율은 (당해 연도 - 전년도) ÷ 전년도 × 100으로 계산합니다. 2024년의 증가율은 (1,280 - 1,080) ÷ 1,080 × 100 ≈ 18.5%입니다.

다만 이처럼 연간 합계를 이용하면 월별 변동이 가려질 수 있습니다. 실제 분석에서는 원시 시계열과 부드럽게 추정한 추세선을 함께 그려 보고, 수준 변화나 갑작스러운 구조적 변화가 있는지도 살펴보는 것이 좋습니다.

단기적인 변동을 완화해 시계열의 흐름을 더 쉽게 확인할 때 사용합니다. 예를 들어 2024년 4~6월 이용 건수는 각각 110, 123, 132천 건이므로 이 구간의 3개월 이동평균은 (110 + 123 + 132) ÷ 3 ≈ 121.7천 건입니다.

이 표의 이동평균은 현재 월과 이전 두 달을 사용하는 후행 이동평균입니다. 따라서 7월의 값은 5~7월만으로 계산되며 미래 값을 사용하지 않습니다. 반면 중심 이동평균은 특정 월 전후의 관측값을 사용하므로 실시간 예측의 입력값으로 무심코 사용하면 미래 정보 누수가 발생할 수 있습니다.

3개월 이동평균은 비교적 최근 변화를 빠르게 반영하지만 계절적 오르내림도 상당 부분 남을 수 있습니다. 반면 월별 자료에서 12개월 이동평균은 연간 계절 주기를 완화하는 데 유용하지만 추세의 방향 전환을 늦게 보여줄 수 있습니다.

12개월은 짝수 구간이므로 전통적인 고전적 분해에서는 두 단계의 이동평균을 통해 중앙 정렬한 추세를 사용할 수 있습니다. 하지만 12개월 이동평균 자체가 언제나 정확한 계절조정값이 되는 것은 아닙니다. 관측 간격이 불규칙하거나 계절 패턴이 변화하는 경우에는 다른 접근이 필요합니다.

대표적인 구조는 가법 분해(Additive Decomposition)와 승법 분해(Multiplicative Decomposition)입니다.

가법 모형은 계절 변동의 절대적인 폭이 수준과 관계없이 비슷할 때 적합할 수 있습니다. 예를 들어 여름철 이용량이 매년 대략 2만 건씩 더 많다면 가법 구조가 직관적입니다. 반면 이용 규모가 커질수록 여름과 겨울의 차이도 비례해서 커진다면 승법 구조를 검토할 수 있습니다.

승법 분해는 일반적으로 양수 자료에서 사용합니다. 로그 변환이 가능한 경우에는 로그를 취해 승법 관계를 가법 형태로 다룰 수도 있습니다. 하지만 0이 포함되면 로그 처리와 변환 방식에 특히 주의해야 합니다.

고전적인 분해보다 계절 패턴이 서서히 변하는 상황에 유연하게 대응할 수 있다는 장점이 있습니다.

STL은 기본적으로 가법 구조의 분해를 제공합니다. 따라서 계절 변동이 이용 규모에 비례해 증가한다면 로그 변환 등 적절한 변환을 검토할 수 있습니다.

주요 설정에는 계절 주기(period), 계절 성분의 부드러움, 추세 성분의 부드러움, 이상치의 영향을 줄이는 강건 분해 옵션 등이 있습니다. 월별 자료에서 연간 반복 패턴을 분석한다면 주기를 12로 설정하는 것이 자연스럽습니다.

다만 48개월 자료는 연간 주기가 네 번뿐이므로 계절 패턴의 안정성과 장기 추세를 정밀하게 판단하는 데 한계가 있습니다. STL 결과를 확정적인 사실로 보기보다 자료를 설명하는 추정 결과로 다뤄야 합니다.

여기서는 가법 분해를 사용했으므로 140 = 108 + 26 + 6입니다. 7월의 계절 성분이 +26천 건이라는 것은 해당 월의 이용 건수가 추세 수준보다 계절적으로 약 26천 건 높게 나타나는 패턴을 모형이 추정했다는 의미입니다.

잔차 +6천 건은 추세와 계절성으로 설명하지 못한 차이입니다. 다만 이를 특정 사건의 효과로 바로 해석할 수는 없습니다. 기상 조건, 행사, 서비스 장애, 데이터 오류처럼 다양한 요인이 잔차에 영향을 미칠 수 있기 때문입니다.

가법 분해에서는 실제 관측값에서 추정된 계절 성분을 뺍니다.

앞선 2024년 7월 예제에서는 실제 이용 건수가 140천 건이고 계절 성분이 +26천 건이므로 계절조정 이용 건수는 140 − 26 = 114천 건입니다.

이 수치는 '7월의 계절적 증가분을 제거한 수준'을 보여줍니다. 실제로 114천 건만 이용했다는 뜻은 아닙니다. 또한 계절조정값에도 일시적인 충격이나 추정오차가 포함될 수 있으므로 추세 성분과 혼동해서는 안 됩니다.

이동표준편차는 최근 일정 기간 동안 관측값이 얼마나 흔들렸는지 보여줍니다. 예를 들어 최근 3개월의 이용 건수가 110, 123, 132천 건이었다면 표본표준편차는 약 11.1천 건입니다. 이 수치는 평균과 달리 해당 구간의 변동 폭을 요약합니다.

다만 자전거 이용량처럼 계절성이 뚜렷한 자료에서 원시 관측값의 이동표준편차가 높다는 사실은 반드시 서비스의 불안정성이 커졌다는 뜻이 아닙니다. 계절적인 상승과 하락 때문에 변동성이 커 보일 수도 있습니다.

비정상적인 변동을 확인하려는 목적이라면 추세와 계절성을 제거한 잔차의 이동표준편차를 살펴보는 것이 더 적절할 수 있습니다. 이때도 구간 길이와 이상치의 영향을 함께 검토해야 합니다.

원시 시계열, 추세, 계절성, 잔차를 위에서 아래로 정렬한 분해 그래프를 사용하면 각 성분의 크기와 시간별 변화를 비교할 수 있습니다.

잔차에 뚜렷한 계절 패턴이나 자기상관이 계속 남는다면 선택한 분해 방법이 자료의 구조를 충분히 설명하지 못했을 수 있습니다. 다만 잔차가 완전한 백색잡음이어야만 기술적인 분해가 유용한 것은 아닙니다. 분석 목적에 따라 잔차 진단의 중요도가 달라집니다.

월별 자료의 12개월 주기와 주별 자료의 52주 안팎 주기는 다르며, 일별 자료에는 요일과 연간 계절성처럼 복수의 패턴이 존재할 수 있습니다. 한 번에 하나의 계절 주기만 처리하는 기본 STL이 모든 복합 계절성을 설명하지는 못합니다.

이동평균의 시점 정렬을 확인해야 합니다.

중심 이동평균은 과거와 미래 관측값을 함께 사용할 수 있으므로 실시간 예측이나 정책 효과 평가에서 미래 정보가 섞이지 않게 주의해야 합니다.

추세와 계절성을 원인으로 해석하지 않아야 합니다.

여름 이용량이 많다고 해서 기온만이 원인이라고 결론 낼 수 없으며, 추세가 상승한다고 해서 마케팅이 효과적이었다고 단정할 수도 없습니다. 인과관계에는 별도의 연구 설계가 필요합니다.

데이터가 짧으면 분해 결과가 불안정할 수 있습니다.

48개월 자료에서 연간 계절 주기는 네 번만 반복됩니다. 계절성이 변화했는지까지 세밀하게 판단하려면 더 긴 관측 기간이 도움이 됩니다.

미래 예측과 기술적 분해를 구분해야 합니다.

분해 결과는 시계열을 이해하는 데 유용하지만 그 자체로 예측 모형의 성능을 입증하지 않습니다. 예측이 목표라면 별도의 시계열 검증과 예측오차 평가가 필요합니다.

로그 변환이나 이상치 처리, 결측값 보정이 있었다면 해당 과정도 설명해야 합니다.

실제 연구에서는 전체 시계열과 분해 그래프, 잔차 진단 결과를 함께 제시하는 것이 좋습니다.

관측값에는 추세와 계절성, 일시적인 변동이 함께 섞여 있기 때문입니다.

이동평균은 단기적인 흔들림을 완화하여 흐름을 보여주고, STL 같은 분해 방법은 관측값을 추세·계절성·잔차로 나누어 해석하도록 돕습니다. 계절조정은 서로 다른 월의 값을 비교하기 쉽게 하며, 이동표준편차는 일정 기간의 변동 수준을 요약합니다.

다만 분해 결과는 데이터에 나타난 패턴을 기술하는 것이지 변화의 원인을 입증하거나 미래를 정확히 예측하는 결과는 아닙니다. 분석 목적에 맞는 기간과 주기, 분해 방법을 선택하고 결과를 원시 데이터와 함께 확인하는 것이 중요합니다.