분위수 회귀(Quantile Regression)

경력이 늘어나면 임금은 얼마나 높아질까요? 평균 연봉만 살펴보면 경력과 임금 사이의 전반적인 관계는 알 수 있습니다. 하지만 저임금 근로자와 고임금 근로자에게도 그 관계가 똑같이 나타날까요?

평균은 여러 사람의 임금을 하나의 값으로 요약합니다. 임금 격차가 큰 자료에서는 평균이 높아져도 임금 분포의 낮은 구간이 거의 달라지지 않을 수 있습니다. 반대로 높은 구간만 빠르게 상승할 수도 있습니다.

분위수 회귀(Quantile Regression)는 평균 대신 조건부 분포의 25번째 백분위, 중앙값, 75번째 백분위 등 서로 다른 지점을 분석합니다. 각 지점의 회귀계수를 비교하여 설명변수와 결과변수의 관계가 분포 전체에서 같은지 살펴봅니다.

이 글에서는 경력과 연간 임금을 예로 들어 분위수 회귀선과 결과표를 읽는 방법, 평균 회귀와의 차이, 결과를 보고할 때 주의할 점을 차례로 알아봅니다.

같은 경력 10년이라도 근로자가 받는 임금은 크게 다릅니다. 일반적인 선형회귀는 경력이 늘어날 때 조건부 평균 임금이 어떻게 변하는지 추정합니다. 분위수 회귀는 같은 조건에서 임금 분포의 하위, 중간, 상위 수준이 어떻게 달라지는지 살펴봅니다.

예를 들어 τ=0.25는 경력이 같은 근로자들의 조건부 임금 분포에서 하위 25%에 해당하는 지점을 뜻합니다. 개별 근로자의 임금을 정확히 25% 순위에 놓는다는 뜻은 아닙니다.

임금 격차, 주택가격, 의료비, 학업성취도처럼 결과값의 폭이 큰 자료에서는 평균만으로 모든 변화를 설명하기 어렵습니다. 특히 같은 설명변수가 낮은 결과값과 높은 결과값에서 서로 다르게 관련될 것으로 예상된다면 분위수 회귀를 고려할 수 있습니다.

분위수 회귀는 평균 회귀를 대체하는 만능 방법이 아니라, 분포의 차이를 연구 질문으로 삼을 때 함께 사용하는 방법입니다.

최소제곱 회귀가 오차 제곱합을 줄이는 것과 달리, 분위수 회귀는 분위수에 따라 과대예측과 과소예측에 서로 다른 가중치를 주는 손실함수(check loss)를 최소화합니다.

분위수 회귀계수는 다른 설명변수를 고정했을 때 설명변수 한 단위 변화에 따른 조건부 분위수의 추정 변화량입니다.

가상의 근로자 150명을 대상으로 경력(0~20년)과 연간 임금(천 달러)을 조사했다고 가정하겠습니다. 이 예제는 설명을 위해 생성한 자료이며 실제 노동시장 조사 결과가 아닙니다.

세 회귀선의 간격과 기울기를 함께 보면 경력이 증가할 때 임금의 분포가 어떻게 넓어지거나 달라지는지 탐색할 수 있습니다.

아래 결과는 예제 데이터에 분위수 회귀를 실제 적용해 얻은 값입니다. 분석에서는 τ를 바꾸어 가며 같은 설명변수의 계수가 어떻게 달라지는지 비교합니다.

경력 계수의 단위는 경력 1년당 연간 임금 변화량(천 달러)입니다. 표의 p값은 각 분위수에서 경력 계수가 0이라는 가설에 대한 값입니다.

예제에서는 경력 계수가 낮은 분위수보다 높은 분위수에서 더 큽니다. 다만 분위수 사이의 계수가 통계적으로 다른지는 별도의 차이 검정이나 부트스트랩 신뢰구간을 통해 확인해야 합니다.

τ=0.25에서 경력 계수가 약 1.24라면, 다른 조건이 같을 때 경력이 1년 증가함에 따라 조건부 25번째 백분위 임금이 약 1.24천 달러 높아지는 관계로 해석합니다. τ=0.75에서는 그 변화량이 약 1.91천 달러입니다.

같은 예제에 일반 최소제곱 회귀(OLS)를 적용하면 평균 임금 변화에 대한 계수도 얻을 수 있습니다. 그러나 평균 회귀선 하나만으로는 결과 분포의 폭이 경력에 따라 어떻게 달라지는지 파악하기 어렵습니다.

결과가 서로 다르다는 사실만으로 특정 분위수에 대한 효과가 유의하게 더 크다고 단정해서는 안 됩니다. 추정 불확실성도 함께 비교해야 합니다.

위 그래프에서 상위 분위수의 기울기가 더 크기 때문에, 경력이 높아질수록 상위와 하위 임금 분위수 사이의 추정 간격이 넓어집니다. 이를 근거로 경력이 높은 구간에서 임금의 조건부 분포 폭이 더 넓게 나타난다고 기술할 수 있습니다.

다만 그래프는 관측 구간 내의 통계적 관계를 보여줄 뿐, 경력 증가가 실제로 임금 격차를 발생시킨다는 인과관계를 입증하지 않습니다.

분위수 회귀와 다항회귀는 함께 사용할 수도 있습니다. 분위수마다 곡선 관계가 다른지 연구하려면 제곱항을 포함한 분위수 회귀를 적합할 수 있습니다.

분위수 회귀에 반드시 정규분포 오차를 가정해야 하는 것은 아닙니다. 그렇다고 아무런 점검 없이 적용할 수 있는 것은 아닙니다.

• 관측 독립성: 같은 사람의 반복 측정이나 집단별 자료라면 군집 구조를 고려합니다.
• 모형 형태: 설명변수와 선택한 조건부 분위수의 관계가 적절히 표현되는지 확인합니다.
• 표본과 극단 분위수: 0.05·0.95처럼 극단에 가까운 분위수는 충분한 관측치가 필요합니다.
• 결측·이상치: 누락과 입력 오류를 확인하고, 임금 단위 및 범위를 일관되게 유지합니다.
• 분위수선 교차: 개별 분위수 모형을 따로 적합하면 추정선이 서로 교차할 수 있습니다.

0.25 분위수의 기울기가 0.75 분위수보다 작다는 사실은 기술적으로 의미가 있지만, 그 차이가 우연 이상의 것인지 판단하려면 계수 차이에 대한 신뢰구간 또는 검정이 필요합니다. 개별 p값이 한쪽만 유의하다는 사실은 두 계수의 유의한 차이를 뜻하지 않습니다.

직업·학력·업종 등 주요 변수를 제외하면 경력의 관계가 왜곡될 수 있습니다. 또한 분위수 회귀에서 조건부 분포에 대한 결과를 전체 인구의 무조건부 분위수 변화로 일반화해서는 안 됩니다.

결과를 보고할 때에는 사용한 분위수, 표본 수, 설명변수와 결과변수의 단위, 회귀계수, 신뢰구간 또는 유의확률, 추론 방법을 함께 밝히는 것이 좋습니다.

위 문장은 예제 데이터의 적합 결과를 바탕으로 작성했습니다. 실제 연구에서는 신뢰구간과 표준오차 추정 방식을 함께 제시하세요.

변수의 평균적인 변화뿐 아니라 분포의 위치마다 어떤 차이가 나타나는지를 알고 싶다면 분위수 회귀는 유용한 보완 분석입니다.

경력이 늘어날 때 평균 임금이 얼마나 높아지는지 아는 것도 중요하지만, 낮은 임금 수준과 높은 임금 수준에서 그 관계가 어떻게 다른지 살펴보면 보다 구체적인 연구 질문에 답할 수 있습니다.

분위수별 계수를 읽을 때는 그 값이 특정 개인이나 고정된 집단의 임금 변화가 아니라 설명변수를 조건으로 한 분포의 해당 분위수를 나타낸다는 점을 기억해야 합니다. 서로 다른 분위수의 계수 차이는 별도 추론을 통해 확인하는 것이 좋습니다.