음이항 회귀

교통량이 비슷한 지역에서도 월간 사고 건수가 크게 달라지는 이유는 무엇일까요? 강수일수가 늘어나면 사고가 더 자주 발생할까요? 어떤 지역은 유난히 사고가 많이 발생하는데, 이런 차이를 어떻게 분석해야 할까요?

이처럼 발생 건수의 변동이 평균보다 큰 자료에서 설명변수와 사고 횟수의 관계를 분석하는 방법이 음이항 회귀(Negative Binomial Regression)입니다.

포아송 회귀는 설명변수의 조건이 같을 때 발생 건수의 평균과 분산이 같다고 가정합니다. 그러나 실제 사고 자료에서는 관측되지 않은 지역별 차이나 여러 요인 때문에 분산이 더 크게 나타날 수 있습니다. 음이항 회귀는 이런 과산포를 추가 분산 모수로 반영합니다.

교통사고, 병원 방문, 결근, 민원 등 건수 자료가 예상보다 크게 흔들리는 연구에서 유용합니다. 이번 글에서는 지역별 월간 교통사고 건수를 예제로 모형의 원리, 교통량·도로 구조·강수일수의 영향, 발생률비(IRR), 포아송 회귀와의 차이 및 진단 방법을 살펴보겠습니다.

음이항 회귀는 사고 횟수, 병원 방문 횟수, 고장 건수처럼 0 이상의 정수로 기록된 결과변수를 분석합니다. 특히 같은 설명변수 조건에서 실제 발생 건수의 변동이 포아송 회귀가 허용하는 범위보다 클 때 유용합니다.

대표적인 NB2 모형에서는 조건부 분산 = 조건부 평균 + α × 조건부 평균²으로 표현합니다. 여기서 α는 추가적인 변동의 크기를 나타내는 분산 모수입니다.

사고 건수가 동일한 평균 주변에 비교적 고르게 모이지 않고 넓게 흩어져 있으면 포아송 회귀가 과소한 표준오차를 제시할 수 있습니다. 이 상태에서는 통계적으로 유의한 차이라고 과도하게 판단할 위험이 있습니다.

음이항 회귀는 과산포를 별도의 분산 모수로 모델링합니다. 다만 전체 건수의 분산이 평균보다 크다는 이유만으로 곧바로 선택하지 않고, 교통량·도로 환경 등 설명변수를 고려한 뒤 남는 과산포를 살펴야 합니다.

① 분석 단위와 사건 건수 정하기

한 지역에서 한 달 동안 발생한 교통사고 건수를 결과변수로 지정합니다. 같은 지역이 여러 달 관측되므로 반복 관측 구조도 확인합니다.

② 설명변수와 기준 단위 설정하기

교통량은 3만 대를 기준으로 한 비율의 로그, 간선도로 비중은 10%p 단위, 강수일수는 1일 단위로 입력합니다.

③ 기대 건수를 로그 연결함수로 표현하기

④ 계수와 분산 모수 α 추정하기

일반적인 NB2 회귀는 최대우도법으로 회귀계수와 과산포 모수를 함께 추정합니다.

⑤ 잔차와 모형 적합도 확인하기

예측과 관측의 차이, 지역별 반복 관측, 과도한 0의 비율, 포아송 회귀와의 적합도 등을 검토합니다.

가상의 16개 지역을 12개월 동안 관측한 192개 지역·월 자료를 생성했습니다. 사고 건수의 변동이 평균보다 커지도록 시뮬레이션한 학습용 데이터입니다.

관측값 전체의 평균과 분산만 비교하면 설명변수의 차이까지 포함됩니다. 모형 선택에는 조건부 분산 및 잔차 진단이 더 중요합니다.

이 예제에서 사고 건수의 전체 평균은 39.7건, 전체 분산은 822.9입니다. 분산이 평균보다 크지만, 지역별 교통량과 환경의 차이도 이 격차를 만들 수 있습니다.

같은 설명변수로 적합한 포아송 회귀의 Pearson χ²/잔차 자유도는 17.34입니다. 값이 1보다 상당히 크다면 조건부 과산포의 신호로 볼 수 있으며 잔차와 자료 구조를 함께 확인해야 합니다.

예를 들어 강수일수가 하루 늘어날 때의 IRR은 1.03입니다. 다른 조건이 같다면 월간 예상 사고 건수가 약 3.4% 달라진다는 뜻입니다.

교통량은 로그로 입력했으므로 교통량이 약 2.72배 늘 때 IRR은 1.71입니다. 교통량이 두 배가 될 때의 사고 건수 배수는 exp(β₁ × ln 2)로 따로 계산해야 합니다.

IRR의 95% 신뢰구간에 1이 포함되는지 확인할 수 있지만, 유의확률만으로 정책적 중요성이나 인과관계를 판단하지 않습니다.

반복 측정된 지역 자료는 같은 지역의 관측값들이 서로 연관되어 있을 수 있습니다. 이번 계수표는 독립 관측을 가정한 단순 NB2 예시이므로 실제 연구에서는 군집표준오차, 혼합효과 또는 패널 접근을 검토해야 합니다.

음이항 회귀는 포아송 회귀보다 항상 우수한 모형이 아닙니다. 과산포가 거의 없거나 다른 문제를 해결해야 하는 자료라면 포아송 회귀가 더 적절할 수 있습니다.

사고 건수에 0이 많다고 해서 반드시 영과잉 모형이 필요한 것은 아닙니다. 음이항 분포 자체도 0건을 만들어낼 수 있으므로 예측된 0건 비율과 실제 비율을 비교해야 합니다.

① 노출량과 설명변수를 구분하세요.

사고 발생 기회 자체를 나타내는 교통량은 연구 질문에 따라 설명변수로 추정하거나 로그 오프셋으로 포함할 수 있습니다. 교통량을 오프셋으로 두면 교통량에 대한 계수를 1로 고정하는 셈이므로 두 방식은 의미가 다릅니다.

② 지역별 반복 관측을 고려하세요.

같은 지역에서 매달 수집한 자료는 독립적이지 않을 수 있습니다. 이 경우 군집을 반영한 표준오차나 혼합효과 음이항 회귀를 검토합니다.

③ 분산이 크다는 이유만으로 모형을 선택하지 마세요.

빠진 설명변수, 비선형 관계, 이상치, 측정 오류, 서로 다른 관찰 단위 등도 변동을 키울 수 있습니다.

④ 사고 건수와 사고 위험을 구분하세요.

사고 건수가 더 많아도 교통량이 큰 지역이라면 차량당 사고율은 낮을 수 있습니다. 발생 건수와 노출량당 사고율은 별도로 해석해야 합니다.

⑤ 인과관계를 단정하지 마세요.

비 오는 날 사고 건수가 많더라도 도로 혼잡도나 이동량의 변화 등 다른 변수가 영향을 줄 수 있습니다.

오프셋을 포함한 사고 발생률 분석

교통량이나 노출시간을 오프셋으로 넣어 일정 노출량당 사고율을 비교합니다.

혼합효과 음이항 회귀

지역별 기초 사고 수준의 차이와 반복 관측된 자료 구조를 함께 반영합니다.

영과잉 음이항 회귀

사고 발생 가능성이 구조적으로 없는 구간이 추가로 섞여 있다고 판단되는 경우 검토할 수 있습니다.

비선형항과 상호작용

강수일수와 사고 건수의 관계가 직선적이지 않거나, 강수의 영향이 도로 유형에 따라 달라지는지 분석할 수 있습니다.

논문이나 보고서에서는 지역·월 단위로 사고 건수를 분석했음을 밝히고, 교통량의 변수 변환과 각 설명변수의 측정 단위를 분명히 해야 합니다.

위 수치는 학습용으로 생성한 자료에서 얻은 값입니다. 실제 보고에서는 과산포 판단 근거, 반복 관측 처리 방법, 모형 진단 결과까지 함께 기술합니다.

교통·안전 연구

지역별 사고 건수와 교통량·도로 특성·날씨의 관계를 분석합니다.

의료·보건 연구

환자별 재방문 횟수나 지역별 감염 발생 건수를 분석합니다.

보험·금융 연구

계약별 청구 건수와 고객 특성의 관계를 추정합니다.

제조·품질 관리

생산 라인별 불량 건수나 장비 고장 발생 횟수를 분석합니다.

교육·사회과학 연구

학급별 결석 건수나 지역별 민원 접수 횟수의 차이를 설명합니다.

음이항 회귀는 사건 발생 건수의 변동이 포아송 모형에서 예상하는 수준보다 클 때 활용할 수 있는 방법입니다. 교통사고 예제에서는 지역별 월간 사고 건수를 바탕으로 교통량, 도로 구조, 강수일수와의 관계를 살펴봤습니다.

다만 분산이 크다는 사실만으로 음이항 회귀를 무조건 선택해서는 안 됩니다. 지역별 반복 관측의 상관, 관찰 규모와 노출량, 0이 많은 자료의 특성 등을 확인해야 합니다. IRR의 의미와 신뢰구간, 분산 모수에 대한 진단을 함께 제시할 때 결과를 더 정확하게 전달할 수 있습니다.