다항 로지스틱 회귀분석

직장인이 출근할 때 자동차, 대중교통, 자전거 가운데 어떤 교통수단을 선택하는지 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 이동 거리와 소득, 대중교통 접근성은 선택에 영향을 줄 수 있지만, 세 교통수단에 높고 낮은 순서가 있는 것은 아닙니다.

이처럼 종속변수가 세 개 이상의 순서 없는 범주일 때 다항 로지스틱 회귀분석을 사용할 수 있습니다. 한 범주를 기준으로 정하고 다른 범주가 선택될 상대적인 가능성이 설명변수에 따라 어떻게 달라지는지 추정합니다.

다항 로지스틱 회귀는 각 범주에 속할 확률도 계산합니다. 다만 확률 자체, 기준 범주에 대한 상대위험비(RRR), 오즈비와 유사한 비율 지표를 혼동하지 않는 것이 중요합니다.

하나의 예측변수가 모든 범주에 같은 영향을 준다고 가정하지 않습니다. 예컨대 이동 거리 증가가 대중교통 선택에는 거의 영향이 없지만 자전거 선택에는 큰 영향을 줄 수 있습니다.

회사에서 직장인 300명의 출퇴근 방법을 조사했다고 가정하겠습니다. 각 응답자는 평소 가장 자주 이용하는 교통수단을 하나 선택했고, 거주지부터 회사까지의 이동 거리와 대중교통 접근성을 함께 조사했습니다. 아래 표와 수치는 원리를 설명하기 위한 가상 예시입니다.

이 예제에서는 자동차를 기준 범주로 설정하고 대중교통 및 자전거 선택을 각각 자동차 선택과 비교합니다.

자동차를 기준으로 두면 ‘대중교통 대 자동차’, ‘자전거 대 자동차’라는 두 개의 비교식이 만들어집니다. 각 식은 설명변수의 값을 이용해 선택의 상대적인 가능성을 추정합니다.

두 비교식의 추정값을 확률로 변환하면 세 교통수단의 확률이 모두 0~1 사이에 있고 합계는 100%가 됩니다. 기준 범주를 바꾸더라도 적절하게 변환한 최종 예측 확률은 같습니다.

한 직원의 예측 확률이 자동차 45%, 대중교통 35%, 자전거 20%라면 자동차가 가장 가능성 높은 선택입니다. 그러나 자동차 선택이 확정되었다는 뜻은 아닙니다.

각 범주별 확률을 따로 독립적으로 계산한 뒤 더하는 것이 아니라, 하나의 다항 모형에서 세 범주 확률을 함께 추정합니다.

다항 로지스틱 회귀에서 계수 β를 지수화한 exp(β)는 흔히 상대위험비(Relative Risk Ratio, RRR)라고 부릅니다. 이는 코호트 연구에서 쓰는 ‘위험비(RR)’와 동일한 의미가 아닙니다. 기준 결과 범주에 대한 두 확률의 비율이 설명변수 한 단위 증가에 따라 어떻게 바뀌는지 나타냅니다.

각 RRR을 ‘대중교통 선택 확률이 8%p 증가했다’ 또는 ‘자전거 선택 확률이 24%p 감소했다’고 해석해서는 안 됩니다. 확률의 변화는 다른 변수들의 값과 원래 확률 수준에 따라 달라집니다.

아래는 결과표 형식을 보여주기 위한 가상 수치입니다. 실제 데이터로 적합하거나 검정한 수치가 아니므로 유의확률을 붙이지 않았습니다.

실제 결과 보고에는 계수의 표준오차, 95% 신뢰구간, p값, 범주별 표본 수 등을 추가합니다. 한 변수의 효과가 전체 범주에서 유의한지는 가능도비 검정이나 Wald 검정 같은 공동 검정으로 확인할 수 있습니다.

설명 목적이라면 우선 절편만 있는 모형과 설명변수를 포함한 모형을 비교합니다. 가능도비 검정, 로그우도, AIC/BIC, 의사결정계수 등을 활용할 수 있습니다. 단, 의사결정계수를 선형회귀의 R²처럼 읽어서는 안 됩니다.

예측이 목적이라면 별도 평가 데이터에서 전체 정확도, 범주별 정밀도·재현율·F1, 혼동행렬, 다중범주 로그손실 등을 확인합니다. 집단 비율이 불균형하면 전체 정확도 하나로 판단하지 않습니다.

결과 범주는 서로 구별되어야 하고, 각 관측값은 설계상 독립적이어야 합니다. 같은 직원의 선택을 여러 번 기록했다면 일반적인 독립 관측 다항 로지스틱 모형만으로는 충분하지 않을 수 있습니다.

특히 IIA(무관한 대안 간 독립성)는 다항 로짓의 중요한 가정입니다. 자동차와 대중교통의 상대적인 선택 가능성이 자전거라는 대안의 존재 여부에 의해 비현실적으로 달라지는 상황이 없는지 연구 맥락에서 판단해야 합니다. 교통수단 선택에서는 서로 비슷한 대안끼리 연관될 수 있어 주의가 필요합니다.

세 범주라고 해서 항상 다항 로지스틱이 필요한 것은 아닙니다. 순서가 의미 있는 범주라면 순서형 로지스틱을 우선 고려할 수 있고, 동일 응답자가 반복적으로 대안 선택을 했다면 선택모형 등 별도 구조가 필요할 수 있습니다.

회귀계수가 유의하더라도 설명변수가 선택을 유발했다고 곧바로 결론 내려서는 안 됩니다. 통근 거리, 거주 지역, 교통편의와 같은 요인은 서로 관련될 수 있습니다.

기준 범주가 자동차인지 자전거인지에 따라 표에 나오는 계수와 RRR의 표현이 달라집니다. 따라서 해석할 때는 항상 기준 범주를 명시하고, 읽는 사람에게 익숙한 확률 단위로 보여줄 필요가 있다면 대표적인 조건에서 범주별 예측 확률을 함께 제시하는 것이 좋습니다.

실제 분석에서는 각 범주에 대한 RRR과 95% 신뢰구간, p값을 제시하고, 전체 변수를 검정한 결과 및 모형 적합도도 함께 보고합니다.

실제 논문에서는 문장 끝에 신뢰구간과 검정 통계량을 붙이고, 연구 표본에서 계산한 결과라는 점을 명확히 합니다.

분석을 시작할 때는 먼저 결과 범주를 정리하고, 기준 범주를 연구 목적에 맞게 지정하세요. 이어 설명변수의 측정 단위와 결측값을 확인하고, 범주별 관측 수가 충분한지 살펴본 뒤 모형을 적합하면 됩니다. 결과표를 읽을 때는 RRR과 예측 확률을 구별해 해석하는 것이 중요합니다.