로그랭크 검정

어떤 병원에서 두 가지 치료법을 받은 환자들의 생존기간을 비교한다고 가정해 보겠습니다. Kaplan–Meier 생존분석을 실시했더니 치료법 A를 받은 환자들이 치료법 B를 받은 환자들보다 전반적으로 높은 생존확률을 보였습니다. 그렇다면 치료법 A가 더 좋은 결과를 보였다고 결론 내릴 수 있을까요?

그래프에서 생존곡선이 다르게 나타났더라도 그 차이가 표본의 우연한 변동으로 발생했을 가능성이 있습니다. 따라서 두 집단의 생존 경험이 통계적으로 다른지 확인하는 절차가 필요합니다. 이때 사용하는 대표적인 방법이 로그랭크 검정(Log-Rank Test)입니다.

로그랭크 검정은 두 개 이상의 집단에서 사건이 발생하기까지의 시간에 차이가 있는지 검정하는 비모수적 방법입니다. 환자의 생존기간뿐 아니라 고객의 서비스 유지기간, 직원의 퇴사까지의 기간, 기계의 고장까지의 시간 등 다양한 생존자료에 활용할 수 있습니다.

이번 글에서는 로그랭크 검정의 기본 개념부터 실제 계산 원리, 검정통계량과 p값의 해석, 생존곡선이 교차하는 경우의 문제, Kaplan–Meier 추정법 및 Cox 회귀와의 차이까지 살펴보겠습니다.

생존함수는 특정 시점까지 관심 사건이 발생하지 않을 확률을 나타냅니다. 예를 들어 고객 이탈 분석에서 사건을 서비스 해지로 정의했다면 생존함수는 특정 시점까지 고객이 서비스를 유지할 확률을 의미합니다.

로그랭크 검정은 각 사건 발생 시점에서 집단별로 실제 관찰된 사건 수와 두 집단의 사건 발생 경험이 같다는 가정하에서 기대되는 사건 수를 비교합니다. 관찰된 사건 수와 기대 사건 수의 차이가 충분히 크다면 집단 간 생존 경험이 같다는 귀무가설을 기각할 수 있습니다.

다만 로그랭크 검정은 생존기간이 몇 개월 차이 나는지 또는 한 집단의 사건 발생 위험이 다른 집단보다 몇 배 높은지를 직접 추정하는 방법은 아닙니다. 따라서 검정 결과와 함께 Kaplan–Meier 생존곡선이나 시점별 생존확률, 중앙 생존시간 등을 확인하는 것이 좋습니다.

로그랭크 검정은 언제 사용하나요?

로그랭크 검정은 여러 집단의 사건 발생까지의 시간을 비교할 때 사용합니다.

단순히 사건이 발생한 비율을 비교하는 것이 아니라 사건이 발생한 시점과 추적관찰 기간을 함께 고려한다는 점이 중요합니다. 예를 들어 환자 200명을 대상으로 두 가지 치료법을 비교한다고 가정해 보겠습니다.

치료법 A 집단에서 30명이 사망하고 치료법 B 집단에서 40명이 사망했다면 단순 사망자 수로는 치료법 B의 결과가 더 나빠 보일 수 있습니다. 하지만 두 집단의 관찰 기간이 다르거나 중도절단된 환자 수가 다르다면 단순 사망자 수만으로 생존 경험을 비교하기 어렵습니다.

로그랭크 검정은 이러한 시간 정보를 반영하여 집단 간 생존함수의 차이를 평가합니다.

로그랭크 검정은 집단 간 생존시간 분포에 차이가 있는지 확인하려는 연구에서 널리 사용됩니다.

예를 들어 월 단위 계약 고객과 연 단위 계약 고객의 서비스 유지기간을 비교한다면 귀무가설은 두 집단의 생존함수가 같다는 것입니다. 대립가설은 두 집단의 생존함수가 다르다는 것입니다. 검정 결과 p값이 사전에 설정한 유의수준보다 작다면 귀무가설을 기각할 수 있습니다.

예를 들어 유의수준이 0.05이고 p값이 0.008이라면 두 집단의 생존함수가 같다는 가설에 반하는 통계적 근거가 있다고 해석합니다. 반면 p값이 0.20이라면 귀무가설을 기각하기에 충분한 근거가 없다고 해석합니다.

여기서 중요한 점은 p값이 0.05보다 크다고 해서 두 집단의 생존함수가 동일하다는 사실이 입증되는 것은 아니라는 점입니다.

Kaplan–Meier 추정법은 시간에 따른 생존확률을 계산합니다. 반면 로그랭크 검정은 서로 다른 집단의 생존함수가 동일한지 통계적으로 검정합니다.

예를 들어 Kaplan–Meier 분석에서는 12개월 생존확률이 치료법 A 집단에서 80%, 치료법 B 집단에서 65%라는 결과를 얻을 수 있습니다. 이후 로그랭크 검정을 이용하면 두 집단의 전체 생존 경험이 통계적으로 다른지 평가할 수 있습니다.

따라서 두 방법은 경쟁 관계가 아니라 서로 보완하는 분석 방법입니다.

고객은 계약 유형에 따라 두 집단으로 구분했습니다.

• 월 단위 계약: 200명
• 연 단위 계약: 200명

연구자는 가입 이후 고객이 서비스를 해지하기까지의 시간을 조사했습니다. 관심 사건은 서비스 해지이며, 관찰 종료 시점까지 서비스를 유지한 고객은 중도절단으로 처리했습니다. 분석 결과 두 집단의 Kaplan–Meier 생존확률이 다음과 같이 나타났다고 가정하겠습니다.

계약 유형별 서비스 유지확률

모든 관찰 시점에서 연 단위 계약 고객의 서비스 유지확률이 높게 나타났습니다. 예를 들어 12개월 시점에서는 월 단위 계약 고객의 생존확률이 62%, 연 단위 계약 고객은 86%였습니다. 그러나 이 수치만으로 두 집단의 생존함수에 통계적으로 유의한 차이가 있다고 단정할 수는 없습니다.

따라서 로그랭크 검정을 이용해 집단 간 생존 경험의 차이를 평가합니다.

예를 들어 전체 위험집단이 100명이고 그중 A 집단이 60명, B 집단이 40명이라고 가정하겠습니다. 해당 시점에 사건이 10건 발생했다면 두 집단의 사건 발생 경험이 같다는 귀무가설 아래 A 집단의 기대 사건 수는 다음과 같습니다. 10 × (60 ÷ 100) = 6건

B 집단의 기대 사건 수는 다음과 같습니다. 10 × (40 ÷ 100) = 4건 하지만 실제 사건 발생 수가 A 집단 3건, B 집단 7건이었다면 기대 사건 수와 차이가 발생합니다.

이러한 차이를 전체 사건 발생 시점에 걸쳐 종합하는 것이 로그랭크 검정의 핵심입니다. 단순히 전체 사건 발생 수만 비교하는 것이 아니라 각 사건 시점에 위험집단에 남아 있는 사람의 수를 함께 고려합니다.

기대 사건 수는 어떻게 계산하나요?

로그랭크 검정에서는 각 사건 시점에서 집단별 기대 사건 수를 계산합니다.

A 집단의 기대 사건 수는 다음과 같습니다.

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• Eₐᵢ: 사건 시점 i에서 A 집단의 기대 사건 수
• dᵢ: 해당 시점의 전체 사건 발생 수
• nₐᵢ: 해당 시점 직전 A 집단의 위험집단 수
• nᵢ: 해당 시점 직전 전체 위험집단 수

예를 들어 사건이 발생한 특정 시점에서 전체 위험집단이 80명이고 A 집단이 50명, B 집단이 30명이라고 가정하겠습니다. 해당 시점에 총 4건의 사건이 발생했다면 A 집단의 기대 사건 수는 다음과 같습니다. 4 × (50 ÷ 80) = 2.5건

B 집단의 기대 사건 수는 1.5건입니다.

실제로 A 집단에서 1건, B 집단에서 3건이 발생했다면 A 집단에서는 기대보다 사건이 적게 발생한 것입니다. 로그랭크 검정은 이러한 차이를 각 시점에서 계산하고 누적합니다. 다만 한 시점의 결과만으로 집단 간 생존 경험의 전체적인 차이를 판단할 수는 없습니다.

이 차이를 적절한 분산으로 표준화하여 검정통계량을 계산할 수 있습니다. 대표적인 계산식은 다음과 같습니다.

여기서 O는 한 집단의 전체 관찰 사건 수, E는 귀무가설 아래 기대 사건 수의 합계, V는 두 값의 차이에 대한 분산입니다. 이 검정통계량은 적절한 조건에서 자유도 1인 카이제곱분포를 이용해 평가할 수 있습니다. 예를 들어 계산 결과 다음과 같은 값이 나왔다고 가정하겠습니다.

이 값은 앞선 고객 400명의 원자료를 직접 계산한 결과가 아닙니다.

카이제곱 통계량은 다음과 같이 계산됩니다. χ² = (30 - 42)² / 24 = 6.00 자유도 1인 카이제곱분포를 이용하면 p값은 약 0.014입니다.

유의수준을 0.05로 설정했다면 두 집단의 생존함수가 동일하다는 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 다만 이 결과는 집단 간 통계적 차이가 있다는 근거를 제공할 뿐, 그 차이가 몇 개월인지 또는 어떤 변수가 차이를 발생시켰는지 설명하지는 않습니다.

예를 들어 두 계약 유형의 비교 결과가 다음과 같다고 가정하겠습니다.

이 결과는 두 집단의 생존함수가 동일하다는 귀무가설에 반하는 통계적 근거를 제공합니다. 유의수준 0.05를 기준으로 하면 두 집단 간 생존 경험에 통계적으로 유의한 차이가 있다고 해석할 수 있습니다. 하지만 p값이 0.002라고 해서 두 집단의 생존함수가 동일할 확률이 0.2%라는 뜻은 아닙니다.

또한 p값이 작다고 해서 차이의 크기가 반드시 크거나 실제 업무에서 중요한 수준이라는 뜻도 아닙니다. 따라서 p값과 함께 생존곡선, 시점별 생존확률, 관찰된 사건 수 등을 확인해야 합니다.

예를 들어 연 단위 계약 고객의 생존곡선이 월 단위 계약 고객의 곡선보다 전체 관찰 기간 동안 높은 위치에 있다면, 연 단위 계약 고객의 서비스 유지확률이 전반적으로 높게 관찰되었다고 설명할 수 있습니다. 하지만 생존곡선의 위치만 확인하는 것으로 충분하지는 않습니다.

특히 다음 사항을 함께 살펴보는 것이 좋습니다. 첫째, 두 곡선 사이의 차이가 어느 시점부터 나타나는지 확인합니다. 가입 초기부터 차이가 존재하는지, 일정 기간 이후에 차이가 커지는지에 따라 결과의 의미가 달라질 수 있습니다.

둘째, 관찰 기간 후반부의 위험집단 수를 확인합니다. 시간이 지날수록 관찰 대상이 줄어들면 생존확률 추정의 불확실성이 커질 수 있습니다. 셋째, 신뢰구간을 함께 확인합니다. 생존곡선 사이의 시각적 차이만으로 통계적 유의성을 판단해서는 안 됩니다.

넷째, 생존곡선이 서로 교차하는지 확인합니다. 두 곡선이 교차한다면 로그랭크 검정의 결과를 해석할 때 추가적인 주의가 필요합니다.

생존곡선이 교차하면 어떤 문제가 발생하나요?

로그랭크 검정은 두 집단의 사건 발생 위험 차이가 관찰 기간 동안 비교적 일정한 방향으로 유지되는 상황에서 높은 검정력을 보이는 경우가 많습니다.

예를 들어 치료법 A 집단이 관찰 기간 전체에서 치료법 B보다 낮은 사건 발생 위험을 보인다면 로그랭크 검정이 유용할 수 있습니다. 하지만 두 집단의 생존곡선이 교차하는 경우에는 문제가 발생할 수 있습니다.

예를 들어 치료법 A는 초기에는 생존확률이 높지만 시간이 지난 뒤 치료법 B의 생존확률이 더 높아지는 상황을 생각해 보겠습니다.

이 경우 초기와 후기의 사건 발생 차이가 서로 반대 방향으로 나타날 수 있습니다. 로그랭크 검정은 각 사건 시점의 관찰 사건 수와 기대 사건 수 차이를 누적하기 때문에 이러한 차이가 일부 상쇄될 수 있습니다.

그 결과 생존곡선에서 의미 있는 차이가 나타나더라도 로그랭크 검정에서는 유의한 결과를 얻지 못할 수 있습니다. 따라서 생존곡선이 교차하는 경우에는 단순히 로그랭크 검정의 p값만 확인하지 말고 차이가 발생하는 시점과 방향을 함께 살펴봐야 합니다.

필요한 경우 제한평균생존시간(RMST) 비교나 시간에 따라 달라지는 효과를 반영하는 분석 방법을 고려할 수 있습니다.

하지만 연구 목적에 따라 특정 시점의 차이를 더 중요하게 평가하고 싶은 경우가 있습니다. 예를 들어 치료 시작 후 초기 6개월의 생존율 차이가 중요할 수도 있고, 장기적인 치료 효과에 관심이 있을 수도 있습니다.

이러한 경우 가중 로그랭크 검정(Weighted Log-Rank Test)을 고려할 수 있습니다. 가중 로그랭크 검정은 사건 발생 시점에 서로 다른 가중치를 부여하여 집단 간 차이를 평가하는 방법입니다. 대표적인 방법에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

가중 로그랭크 검정에서는 사용하는 가중치에 따라 특정 시점의 차이에 대한 민감도가 달라질 수 있습니다. 따라서 검정 방법은 결과를 확인한 뒤 유의한 p값을 얻기 위해 임의로 선택하기보다 연구 목적과 예상되는 생존곡선의 형태를 고려하여 사전에 결정하는 것이 좋습니다.

예를 들어 고객의 계약 유형을 월 단위, 6개월 단위, 연 단위로 나누어 서비스 유지기간을 비교한다고 가정해 보겠습니다. 세 집단의 생존확률이 다음과 같이 나타날 수 있습니다.

이 경우 전체 로그랭크 검정에서는 세 집단의 생존함수가 모두 같다는 귀무가설을 평가합니다. 일반적인 K집단 로그랭크 검정의 검정통계량은 적절한 조건에서 자유도 K-1인 카이제곱분포를 따릅니다. 예를 들어 세 집단의 로그랭크 검정 결과가 다음과 같다고 가정하겠습니다.

이는 세 집단의 생존함수가 모두 동일하다는 가설에 반하는 통계적 근거를 제공합니다. 하지만 이 결과만으로 어떤 두 집단 사이에 차이가 있는지 알 수는 없습니다. 따라서 필요하다면 집단별 생존곡선을 확인하고 사후 쌍별 비교를 수행할 수 있습니다.

사후검정(Post-hoc Test)은 어떻게 하나요?

세 집단 이상의 로그랭크 검정에서 전체적으로 유의한 차이가 나타났다면 어떤 집단 사이에 차이가 있는지 추가로 확인할 수 있습니다.

예를 들어 월 단위, 6개월 단위, 연 단위 계약 고객을 비교한다면 다음 세 가지 쌍별 비교가 가능합니다.

• 월 단위와 6개월 단위
• 월 단위와 연 단위
• 6개월 단위와 연 단위

각 비교에 로그랭크 검정을 적용할 수 있습니다. 하지만 여러 검정을 반복하면 우연히 유의한 결과가 나올 가능성이 증가할 수 있습니다. 따라서 다중비교 보정(Multiple Comparison Adjustment)을 고려해야 합니다.

대표적으로 Bonferroni 방법이나 Holm 방법 등을 사용할 수 있습니다.

쌍별 비교 예시

이 사례에서는 유의수준 0.05를 기준으로 월 단위와 연 단위, 월 단위와 6개월 단위 사이의 차이가 통계적으로 유의하게 나타났습니다. 반면 6개월 단위와 연 단위 사이에서는 유의한 차이가 확인되지 않았습니다. 다만 유의하지 않다는 사실이 두 집단의 생존함수가 같다는 증거는 아닙니다.

로그랭크 검정은 주로 집단 간 생존함수의 차이가 있는지 검정합니다. 반면 Cox 회귀는 설명변수와 사건 발생 위험 사이의 관계를 추정하며, 다른 변수들을 동시에 고려할 수 있습니다.

예를 들어 치료법 A와 B의 생존 경험이 다른지 확인하려면 로그랭크 검정을 사용할 수 있습니다. 하지만 환자의 연령과 질병 중증도 등을 함께 고려하면서 치료법과 사건 발생 위험 사이의 관계를 살펴보고 싶다면 Cox 회귀를 사용할 수 있습니다.

특히 로그랭크 검정으로 유의한 차이가 나타났다고 해서 다른 요인을 보정한 Cox 회귀에서도 반드시 유의한 결과가 나타나는 것은 아닙니다. 따라서 분석 목적에 따라 두 방법을 적절히 선택해야 합니다.

중도절단이 비정보적이어야 합니다.

중도절단된 대상의 사건 발생 과정이 적절한 조건하에서 계속 관찰되는 대상과 비교 가능해야 합니다. 예를 들어 건강 상태가 나쁜 환자일수록 추적조사에서 더 자주 이탈한다면 중도절단이 사건 발생 가능성과 관련되어 있을 수 있습니다. 이 경우 검정 결과가 편향될 수 있습니다.

관측값 사이의 독립성을 고려해야 합니다.

동일 환자의 여러 입원 기록이나 동일 고객의 반복 계약을 각각 독립적인 관측값으로 취급하면 독립성 가정에 문제가 생길 수 있습니다. 이러한 데이터에서는 군집 구조나 반복사건을 고려한 방법이 필요할 수 있습니다.

사건 발생 시점이 적절하게 측정되어야 합니다.

로그랭크 검정은 각 사건 시점의 위험집단과 사건 수를 비교합니다. 따라서 사건 발생 시간과 중도절단 시간이 정확하게 기록되어야 합니다.

비례위험 가정은 어떻게 보아야 하나요?

로그랭크 검정은 위험비가 일정한 상황에서 효율적인 검정으로 알려져 있습니다. 하지만 비례위험 가정이 반드시 성립해야만 로그랭크 검정을 계산하거나 사용할 수 있는 것은 아닙니다.

비례위험이 성립하지 않더라도 귀무가설에 대한 검정은 적절한 조건에서 수행할 수 있습니다. 다만 시간에 따라 사건 발생 위험의 방향이 바뀌거나 생존곡선이 교차하면 검정력이 낮아질 수 있습니다. 따라서 생존곡선의 형태와 검정 목적을 함께 고려해야 합니다.

로그랭크 검정에서 주의해야 할 점

로그랭크 검정 결과를 해석할 때는 통계적 유의성뿐 아니라 실제 생존확률과 데이터의 특성을 확인해야 합니다.

유의한 p값이 효과의 크기를 의미하지는 않습니다.

표본이 매우 크면 실제 차이가 작더라도 통계적으로 유의한 결과가 나타날 수 있습니다. 따라서 생존확률 차이와 중앙 생존시간 등을 함께 확인해야 합니다.

유의하지 않다고 두 집단이 동일한 것은 아닙니다.

표본이 적거나 사건 발생 수가 충분하지 않으면 실제 차이가 존재하더라도 검정력이 낮을 수 있습니다. 따라서 p값만으로 두 집단의 동일성을 판단해서는 안 됩니다.

생존곡선이 교차하는 경우에 주의해야 합니다.

로그랭크 검정은 초기와 후기의 차이가 서로 상쇄되는 상황에서 검정력이 낮아질 수 있습니다. 이러한 경우에는 RMST 비교나 다른 가중 검정 등을 고려할 수 있습니다.

중도절단을 적절하게 처리해야 합니다.

사건이 발생하지 않은 상태로 추적관찰이 종료된 대상은 중도절단으로 처리해야 합니다. 중도절단을 사건 발생으로 잘못 기록하면 검정 결과가 왜곡될 수 있습니다.

집단 간 차이가 인과효과를 의미하지는 않습니다.

연 단위 계약 고객의 생존확률이 높게 나타났다고 해서 계약 유형 자체가 서비스 해지 위험을 낮추었다고 단정할 수 없습니다. 고객의 이용 목적이나 가격, 서비스 만족도 등 다른 요인이 함께 관련되어 있을 수 있습니다.

경쟁사건을 고려해야 할 수 있습니다.

다른 종류의 사건이 관심 사건의 발생을 불가능하게 만드는 상황에서는 일반적인 로그랭크 검정만으로 연구 질문에 충분히 답하기 어려울 수 있습니다. 이러한 경우에는 경쟁위험 분석과 누적발생함수 등을 고려해야 합니다.

가능하면 Kaplan–Meier 생존곡선과 주요 시점의 생존확률도 함께 제시하여 집단 간 차이의 방향과 크기를 설명해야 합니다. 앞서 살펴본 고객 서비스 유지 사례를 이용하면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

실제 연구에서는 사건 수와 중도절단 수, 위험집단 수 등을 함께 제시하는 것이 좋습니다. 또한 생존곡선이 교차하거나 비례위험이 성립하지 않을 가능성이 있다면 해당 특성을 결과 해석에 반영해야 합니다.

세 집단 이상을 비교했다면 전체 로그랭크 검정 결과와 필요한 사후검정 결과를 구분하여 보고하는 것이 좋습니다.

의료 및 보건 연구

서로 다른 치료법을 받은 환자들의 생존기간이나 질병 재발까지의 시간을 비교할 수 있습니다.

마케팅 및 고객 분석

계약 유형이나 고객 집단에 따라 서비스 해지까지의 시간이 다른지 검정할 수 있습니다.

인사 및 조직 연구

직원 집단에 따라 퇴사까지의 기간이나 특정 직급으로 승진하기까지의 시간에 차이가 있는지 분석할 수 있습니다.

교육 연구

서로 다른 교육 프로그램에서 학생들의 중도 탈락까지의 기간이나 수료까지의 시간을 비교할 수 있습니다.

제조업 및 신뢰성 분석

서로 다른 부품이나 제조 공정에서 기계 고장까지의 시간이 다른지 검정할 수 있습니다.

노동경제 및 사회과학 연구

서로 다른 인구집단이나 정책 참여 집단에서 재취업까지의 기간에 차이가 나타나는지 분석할 수 있습니다. 이처럼 로그랭크 검정은 단순한 사건 발생 비율보다 사건이 발생하기까지의 시간과 집단 간 차이가 중요한 연구에서 유용합니다.

각 사건 발생 시점에서 실제로 관찰된 사건 수와 귀무가설 아래 기대되는 사건 수를 비교하고, 이를 종합하여 카이제곱 검정통계량과 p값을 계산합니다.

Kaplan–Meier 추정법이 각 집단의 생존확률과 생존곡선을 보여준다면, 로그랭크 검정은 집단 간 생존 경험에 통계적으로 유의한 차이가 있는지 판단하는 데 도움을 줍니다.

하지만 로그랭크 검정은 집단 간 차이의 크기나 원인을 직접 추정하지 않습니다. 따라서 생존곡선과 주요 시점의 생존확률, 신뢰구간 등을 함께 확인해야 합니다. 또한 생존곡선이 교차하거나 사건 발생 위험의 방향이 시간에 따라 달라지는 경우에는 검정력이 낮아질 수 있으므로 주의가 필요합니다.