Ljung–Box 검정

월별 매출을 예측하는 ARIMA 모형을 만들고 잔차 그래프까지 살펴봤습니다. 예측이 끝났다면, 모형이 자료의 시간적 패턴을 충분히 설명했는지 어떻게 확인할 수 있을까요?

좋은 예측모형의 잔차에는 설명되지 않은 규칙적인 패턴이 뚜렷하게 남지 않아야 합니다. 잔차가 시간에 따라 비슷한 방향으로 움직이면, 아직 모형에 반영하지 못한 정보가 있을 수 있습니다.

Ljung–Box 검정은 선택한 여러 시차에서 자기상관이 모두 0인지 함께 검정하는 방법입니다. 특정 시차 하나만 확인하는 대신, 일정 구간의 잔차 자기상관을 종합적으로 평가합니다.

이번 글에서는 모의 잔차 두 종류를 비교해 검정통계량과 p값을 읽고, 시차 선택 및 ARIMA 잔차 진단에서 주의할 점까지 살펴봅니다.

Ljung–Box 검정은 시계열에서 선택한 시차까지의 자기상관이 모두 0이라는 귀무가설을 검정합니다. 일반적으로 시계열 자체의 무작위성 점검이나 ARIMA 등 예측모형의 잔차 진단에 사용합니다.

귀무가설(H₀)은 1시차부터 h시차까지의 자기상관이 모두 0이라는 것입니다. p값이 작으면 해당 범위에서 자기상관이 남아 있다는 증거로 해석합니다. p값이 크다고 모든 잔차가 독립이라는 사실이 증명되는 것은 아닙니다.

예측값과 실제값의 차이인 잔차에 일정한 반복 패턴이 남아 있다면, 시차 항이나 계절성을 더 설명할 여지가 있습니다. 이는 예측과 추론의 신뢰성에 영향을 줄 수 있습니다.

잔차의 자기상관이 없다는 것은 모형 적합성의 한 조건일 뿐입니다. 편향, 분산 변화, 이상치, 분포 형태, 실제 예측 성능도 별도로 확인해야 합니다.

Q값이 클수록 선택한 시차들의 표본 자기상관이 전체적으로 크다는 의미입니다. 일반 시계열에 적용할 때는 대략 자유도 h의 카이제곱 분포로 비교하지만, ARMA 모형의 잔차처럼 모수를 추정한 경우에는 적절한 자유도 보정이 필요합니다.

예를 들어 비계절성 ARMA(p, q) 잔차 진단에서는 보통 자유도 h − p − q를 사용합니다. 모델 구조와 소프트웨어 설정에 따라 달라지며, 보정 뒤 자유도가 양수가 되도록 시차를 선택해야 합니다.

이해를 돕기 위해 각각 120개 관측값으로 구성된 모의 잔차 두 종류를 생성했습니다. 잔차 A는 독립적인 정규 잡음이고, 잔차 B는 직전 시점의 값이 현재 값에 영향을 미치도록 AR(1) 구조로 생성했습니다.

아래 통계량은 이 모의 데이터를 실제로 계산한 결과입니다. 잔차 B는 AR(1) 구조가 남아 있는 사례이며, 특정 적합 모형의 산출물로 가정하지 않았습니다.

잔차 A는 일정한 방향으로 움직이는 모습이 두드러지지 않습니다. 반면 잔차 B는 연속된 시점에서 같은 방향의 값이 나타나는 구간이 비교적 많습니다. 그래프만으로 확정하지 않고 검정 결과와 함께 판단합니다.

ACF는 각 시차에서 자기상관이 어느 정도인지 보여줍니다. Ljung–Box 검정은 이 값들을 누적해 전체적인 증거를 평가합니다. 개별 ACF 막대가 경계선을 넘는지와 누적 검정의 p값은 같은 질문이 아닙니다.

자유도 보정 없이 적용한 모의 시계열 결과입니다. 잔차 A에서는 대부분의 선택 시차에서 귀무가설을 기각할 근거가 부족한 반면, 잔차 B에서는 자기상관이 남아 있다는 증거가 뚜렷합니다.

ARIMA 적합 잔차를 검사할 때는 위 표를 그대로 복사해 쓰지 않고, 실제로 추정한 모수 수를 반영해 자유도와 p값을 다시 계산해야 합니다.

시차는 자료의 측정 간격, 알려진 계절 주기, 모형 구조를 고려해 정해야 합니다. 여러 시차를 시험한 뒤 유의한 결과만 골라 보고하면 판단이 왜곡될 수 있습니다.

모형을 적합했다면 자유도 보정값보다 충분히 큰 시차를 사용하고, 어떤 시차를 검정했는지 명시해야 합니다.

Ljung–Box 검정을 잔차의 제곱에 적용하는 경우도 있지만, 이는 일반적인 잔차의 자기상관 검정과 질문이 다릅니다. 변동성 군집을 점검할 때는 ARCH-LM 검정 등을 함께 활용합니다.

관측 간격이 일정한지, 누락된 시점이나 이상치가 있는지, 원시 시계열인지 추정 모형의 잔차인지를 확인해야 합니다. 추정된 ARIMA 잔차는 모수 추정 때문에 귀무분포의 자유도 보정이 필요할 수 있습니다.

p값이 크면 선택한 시차 범위에서 자기상관을 발견하지 못했다는 뜻입니다. 자기상관이 아예 없거나 모형이 완벽하다는 의미는 아닙니다. 특히 표본이 작으면 검정력이 낮을 수 있습니다.

여러 시차에 걸친 검정이 유의해도 어느 시차가 문제인지 바로 알려주지는 않습니다. ACF 그래프를 확인하고 계절성, 추세, 이상치, 모형 설정을 함께 점검해야 합니다.

다음은 앞에서 만든 모의 잔차 A·B의 12시차 결과를 설명하는 문장 예시입니다. 실제 연구에서는 모형 추정에 따른 자유도 보정을 적용한 값을 보고해야 합니다.

검정 대상이 모형 잔차인지, 원계열인지도 분명히 밝히고, 동일한 표에서 여러 시차를 제시하는 경우 결과를 선택적으로 보고하지 않습니다.

판매량이나 수요량의 ARIMA·SARIMA 예측, 센서 측정값의 시계열 모형, 금융수익률의 평균모형 등에서 잔차 진단에 활용할 수 있습니다.

검정 결과가 유의하면 잔차 ACF에서 어떤 시차가 남았는지 살펴보고, 시차 항·계절 항·추가 설명변수 등의 모형 수정을 검토합니다. 변경한 모형 역시 별도의 예측 성능과 진단 결과로 확인해야 합니다.

Ljung–Box 검정은 여러 시차의 자기상관을 종합적으로 평가해 모형이 아직 설명하지 못한 패턴이 남아 있는지 확인하는 방법입니다. 유의한 결과라면 모형의 시차 또는 계절 구조를 다시 살펴볼 단서가 됩니다.

반대로 유의하지 않더라도 예측모형의 타당성이 모두 확인된 것은 아닙니다. 잔차의 분산 변화, 특이값, 예측 오차를 추가로 점검하면 결과를 더 신중하게 해석할 수 있습니다.