구간중도절단 생존분석

공장에서 사용하는 산업용 장비 100대를 3개월마다 점검한다고 가정해 보겠습니다. 어떤 장비는 3개월 점검에서 정상적으로 작동했지만 6개월 점검에서는 고장 난 상태로 발견되었습니다. 그렇다면 이 장비는 언제 고장 났을까요?

고장이 발생한 정확한 날짜는 알 수 없습니다. 다만 3개월 점검 이후부터 6개월 점검 이전 또는 그 시점까지의 어느 순간에 고장이 발생했다는 사실만 확인할 수 있습니다.

이처럼 사건이 발생했다는 사실은 알지만 정확한 발생 시점을 알 수 없고, 사건이 발생한 시간 구간만 확인할 수 있는 데이터를 구간중도절단 자료(Interval-Censored Data)라고 합니다.

일반적인 Kaplan–Meier 생존분석은 사건 발생 시간이 정확하게 기록되어 있거나 사건이 발생하지 않은 상태로 관찰이 종료된 경우를 주로 다룹니다. 반면 구간중도절단 생존분석은 사건 발생 시점이 특정 구간 안에 있다는 정보 자체를 활용합니다.

이번 글에서는 구간중도절단의 개념과 일반적인 중도절단과의 차이, 생존확률 추정 방법, 실제 장비 고장 데이터의 분석 사례, 결과 해석과 주의사항까지 살펴보겠습니다.

예를 들어 어떤 장비가 설치 후 4개월 점검에서는 정상적으로 작동했고 8개월 점검에서는 고장 난 상태로 발견되었다고 가정해 보겠습니다. 이 장비의 고장 시점은 4개월을 초과하고 8개월 이하인 구간에 존재합니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

여기서 T는 실제 고장이 발생한 시간입니다.

연구자가 알고 있는 것은 정확한 고장 시점이 아니라 고장 시점이 포함된 구간입니다. 이런 자료에서 고장 시간을 임의로 8개월이라고 처리하면 실제보다 늦게 고장이 발생한 것처럼 기록될 수 있습니다.

반대로 두 점검 시점의 중간인 6개월을 실제 고장 시점으로 가정하는 것도 근거 없는 정보가 추가되는 문제를 만들 수 있습니다. 구간중도절단 생존분석은 이러한 임의의 시간 대체 없이 관찰된 시간 구간을 이용하여 생존함수를 추정합니다.

대표적으로 우측 중도절단, 좌측 중도절단, 구간중도절단을 구분할 수 있습니다.

우측 중도절단은 가장 흔하게 다루는 유형입니다. 예를 들어 마지막 12개월 점검까지 장비가 정상적으로 작동했다면 이후 언제 고장 날지는 알 수 없지만, 적어도 12개월 동안 고장 나지 않았다는 사실은 알고 있습니다.

좌측 중도절단은 첫 번째 점검에서 이미 사건이 발생한 것으로 확인되었지만 그 이전의 정확한 발생 시점을 알 수 없는 경우입니다. 구간중도절단은 정상 상태가 마지막으로 확인된 시점과 사건 발생이 처음 확인된 시점을 모두 알고 있는 경우입니다.

세 유형 모두 실제 사건 시간을 완전히 알 수 없다는 공통점이 있지만, 이용할 수 있는 시간 정보가 다르므로 분석 방법을 적절하게 선택해야 합니다.

하한은 사건이 발생하기 전 상태가 마지막으로 확인된 시점이고, 상한은 사건이 발생한 상태가 처음 확인된 시점입니다. 예를 들어 장비 6대의 점검 결과가 다음과 같다고 가정하겠습니다.

데이터 구조를 설명하기 위한 예시입니다.

장비 A는 3개월과 6개월 사이에 고장 났습니다. 장비 E는 12개월 점검까지 정상적으로 작동했으므로 우측 중도절단으로 처리합니다. 장비 F는 6개월에 정상 상태였고 12개월에 고장이 확인되었습니다. 9개월 점검 기록이 없었다면 고장 발생 구간을 (6, 12]개월로 기록할 수 있습니다.

구간중도절단 생존분석에서는 이러한 서로 다른 관찰 구간을 함께 처리할 수 있습니다. 다만 모든 분석 방법이 모든 종류의 중도절단을 동일하게 지원하는 것은 아니므로 사용하는 통계 모형과 소프트웨어의 기능을 확인해야 합니다.

모든 장비는 설치 당시 정상적으로 작동했으며, 이후 3개월마다 정기점검을 실시했습니다. 장비가 처음으로 고장 난 상태로 발견되면 해당 시점까지의 마지막 정상 점검 기록을 이용하여 고장 발생 구간을 확인했습니다. 관찰 기간은 총 12개월입니다.

장비 점검 결과

이 자료에서 실제 고장 시점이 정확하게 확인된 장비는 없습니다. 고장 난 장비 55대는 고장이 발생한 시간 구간만 알고 있으며, 나머지 45대는 12개월까지 정상적으로 작동했습니다. 연구 질문은 다음과 같습니다.

이러한 질문에 답하기 위해 구간중도절단 생존분석을 적용할 수 있습니다.

대신 각 관측값에 대해 사건 발생시간이 주어진 구간 안에 존재할 확률을 이용하여 생존함수를 추정합니다. 대표적인 비모수적 방법으로 Turnbull 추정법(Turnbull Estimator)이 있습니다.

Turnbull 추정법은 관찰된 사건 발생 구간과 중도절단 정보를 이용하여 생존시간 분포를 추정하는 비모수 최대우도 방법입니다. 구간중도절단 관측값의 우도 기여는 생존함수 S(t)를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 L은 마지막으로 사건이 발생하지 않은 상태가 확인된 시점이고, R은 사건이 발생한 상태가 처음 확인된 시점입니다. 예를 들어 어떤 장비의 고장 발생 구간이 (3, 6]개월이라면, 이 관측값은 3개월과 6개월의 생존확률 차이에 해당하는 정보를 제공합니다.

한편 12개월까지 정상적으로 작동한 장비는 12개월 이후에도 생존할 확률인 S(12)에 해당하는 정보를 제공합니다. Turnbull 추정법은 이러한 관측값들의 정보를 종합하여 생존함수를 추정합니다.

다만 일반적인 구간중도절단 자료에서는 정확한 사건 시간별 생존확률이 모두 식별되는 것은 아닙니다. 특히 관찰 구간이 서로 겹치거나 넓은 경우에는 생존함수의 일부 구간이 비고유하게 추정될 수 있습니다.

또한 관찰 기간 중 점검 누락이 없고, 마지막까지 정상적으로 작동한 장비는 12개월 시점에서 우측 중도절단되었다고 가정했습니다. 따라서 이 단순한 자료에서는 각 점검 시점까지의 생존확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

구간중도절단 생존분석 결과

그래프에서 점검 시점 사이의 선은 시각화를 위한 연결입니다. 각 구간 내부에서 생존확률이 정확히 어떤 경로로 변했는지는 이 자료만으로 알 수 없습니다.

3개월 시점의 생존확률은 90%입니다. 이는 설치된 장비가 3개월까지 고장 없이 작동할 추정 확률이 90%라는 의미입니다. 6개월 시점에는 생존확률이 75%로 감소했습니다. 따라서 6개월까지 고장 없이 작동할 추정 확률은 75%입니다.

9개월에는 55%, 12개월에는 45%로 감소했습니다. 이 결과는 장비의 고장이 시간이 지남에 따라 누적되고 있음을 보여줍니다. 다만 3개월과 6개월 사이에 고장이 발생한 장비 15대가 정확히 어느 날짜에 고장 났는지는 알 수 없습니다.

따라서 4개월이나 5개월 시점의 생존확률을 추가 정보 없이 정확하게 결정할 수는 없습니다.

예를 들어 3개월까지 정상적으로 작동한 장비는 90대입니다. 이 중 15대가 3개월부터 6개월 사이에 고장 났습니다. 따라서 3개월까지 정상 작동한 장비가 다음 3개월 동안 고장 날 조건부 확률은 다음과 같습니다.

각 구간의 결과는 다음과 같습니다.

동일한 점검 간격과 완전한 관찰을 가정한 조건부 확률입니다.

이 결과에서 가장 높은 구간 고장 확률은 6~9개월에 나타났습니다. 따라서 6개월까지 정상적으로 작동한 장비 중 약 26.7%가 이후 3개월 동안 고장 난 것으로 확인됩니다. 이러한 정보는 장비의 정기점검 주기나 예방정비 계획을 검토하는 데 참고할 수 있습니다.

다만 특정 기간에 고장 확률이 높았다는 사실만으로 그 시기에 고장을 일으키는 특정 원인이 존재한다고 결론 내릴 수는 없습니다.

앞선 분석 결과에서 9개월 시점의 생존확률은 55%, 12개월 시점의 생존확률은 45%였습니다. 따라서 중앙 고장시간은 9개월과 12개월 사이에 존재한다고 판단할 수 있습니다.

이는 전체 장비의 절반이 고장 나는 시점이 9개월을 초과하고 12개월 이하인 구간에 있다는 의미입니다. 하지만 이 자료만으로 중앙 고장시간이 정확히 10.5개월이라고 결정할 수는 없습니다. 10.5개월은 두 점검 시점의 중간값일 뿐, 실제 고장 시점에 대한 직접적인 관찰 결과가 아니기 때문입니다.

특정한 생존시간 분포를 가정한 모수적 모형을 사용하면 구간 내부의 중앙 생존시간을 추정할 수 있습니다. 다만 이때의 결과는 선택한 분포와 모형 가정에 영향을 받을 수 있습니다. 따라서 비모수적 분석만 수행했다면 중앙 생존시간이 포함된 구간을 보고하는 것이 더 적절할 수 있습니다.

Turnbull 추정법은 구간중도절단 자료의 대표적인 비모수 추정 방법입니다. 모수적 생존모형은 사건 발생시간이 특정한 확률분포를 따른다고 가정하여 생존함수를 추정합니다. 예를 들어 Weibull 분포나 로그정규분포 등을 사용할 수 있습니다.

모수적 모형은 관찰 구간 내부의 생존확률을 추정하거나 설명변수와 생존시간의 관계를 분석하는 데 활용할 수 있지만, 분포 가정이 부적절하면 결과가 편향될 수 있습니다. 또한 구간중도절단을 지원하는 회귀모형을 사용하면 장비의 제조사, 사용 환경, 부품 유형 등 여러 변수를 함께 고려할 수 있습니다.

하지만 자료에서 사건 발생시간을 얼마나 정확하게 관찰했는지에 따라 적용 방법이 달라집니다.

예를 들어 장비에 센서가 설치되어 고장이 발생한 날짜와 시간이 정확하게 기록된다면 Kaplan–Meier 추정법을 사용할 수 있습니다. 반면 매월 전체 고장 건수만 요약되어 있다면 구간별 생명표 분석을 고려할 수 있습니다.

각 장비마다 마지막 정상 점검과 최초 고장 점검이 따로 기록되어 있고 실제 고장시간은 알 수 없다면 구간중도절단 생존분석이 적합합니다. 특히 장비마다 점검 간격이 다르거나 일부 점검이 누락된 경우에는 관측값마다 다른 사건 발생 구간을 반영할 수 있다는 점이 중요합니다.

점검 시점이 사건 발생 위험과 관련될 수 있습니다.

고장 가능성이 높은 장비만 더 자주 점검한다면 점검 간격이 장비의 상태와 관련되어 있을 수 있습니다. 이러한 관찰 과정이 모형에 적절하게 반영되지 않으면 생존시간 분포의 추정이 편향될 수 있습니다.

임의로 사건 발생시간을 대체하지 않아야 합니다.

마지막 정상 점검과 최초 고장 확인의 중간 시점을 실제 고장시간으로 대체하면 시간 정보에 대한 잘못된 확실성을 부여할 수 있습니다. 필요한 경우 중간값 대체를 근사 방법으로 사용할 수는 있지만, 그에 따른 편향 가능성을 검토해야 하며 구간중도절단을 직접 반영하는 방법이 일반적으로 더 적절합니다.

관찰 구간이 넓을수록 추정의 불확실성이 커질 수 있습니다.

장비를 매주 점검한 자료와 6개월마다 점검한 자료는 사건 발생시간에 대해 제공하는 정보의 수준이 다릅니다. 일반적으로 점검 간격이 넓으면 사건 발생 시점을 더 정확하게 추정하기 어려워집니다.

초기 고장과 우측 중도절단을 구분해야 합니다.

첫 점검 시 이미 고장이 확인된 장비는 사건이 첫 점검 이전에 발생한 것으로 기록해야 합니다. 반대로 마지막 점검까지 정상적인 장비는 이후 고장시간을 관찰하지 못한 우측 중도절단 자료입니다.

예측이나 외삽에 주의해야 합니다.

관찰 기간이 12개월이라면 해당 자료만으로 24개월이나 36개월의 생존확률을 충분히 확인할 수 없습니다. 모수적 모형으로 더 먼 시점의 생존확률을 예측할 수는 있지만, 이는 선택한 분포에 대한 가정에 의존합니다.

앞서 살펴본 산업용 장비의 고장 분석 사례에서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

실제 분석에서는 사용하는 추정법과 관측 구간의 분포를 명확하게 보고해야 합니다. 또한 가능하면 생존확률의 신뢰구간과 구간별 관측 수를 제시하여 추정 결과의 불확실성을 함께 보여주는 것이 좋습니다.

의료 및 보건 연구

환자를 3개월 또는 6개월마다 검사하는 연구에서 질병 재발이나 특정 이상 상태가 검사 사이에 발생한 경우를 분석할 수 있습니다.

제조업 및 설비관리

정기점검을 통해 기계나 부품의 고장 여부를 확인하는 경우 고장이 발생한 시간 구간을 이용해 제품의 신뢰성을 분석할 수 있습니다.

교육 연구

매 학기 실시하는 평가에서 학생의 특정 학업 상태가 처음 확인된 경우, 그 상태가 언제 발생했는지 구간 형태로 기록할 수 있습니다.

사회과학 연구

정기적인 패널조사에서 실직이나 주거 상태 변화 등이 두 조사 사이에 발생한 경우 활용할 수 있습니다.

금융 및 신용위험 분석

정기적인 신용평가에서 특정 위험 상태가 처음 확인되었지만 실제 상태 변화가 발생한 정확한 시점을 알 수 없는 경우 적용할 수 있습니다.

다만 실제로 관찰한 것이 사건 발생 자체인지, 사건 발생 후 일정 시간이 지나서 확인된 상태인지를 구분해야 합니다. 사건이 일시적으로 발생했다가 다음 점검 이전에 사라질 수 있다면 별도의 관찰모형이 필요할 수 있습니다.

예를 들어 장비가 3개월 점검에서는 정상적으로 작동했고 6개월 점검에서 고장 난 상태로 발견되었다면, 실제 고장 시점은 3개월 초과 6개월 이하의 구간에 존재합니다. 이러한 자료에서는 사건 발생시간을 임의로 6개월이나 4.5개월로 처리하기보다 관찰된 시간 구간 자체를 분석에 활용하는 것이 적절합니다.

대표적인 방법인 Turnbull 추정법은 사건 발생 구간과 중도절단 정보를 이용하여 생존함수를 비모수적으로 추정합니다. 또한 자료의 특성과 연구 목적에 따라 모수적 생존모형이나 구간중도절단 회귀모형을 사용할 수 있습니다.

다만 점검 간격이 넓거나 점검 시점이 장비의 상태와 관련되어 있다면 추정 결과에 불확실성이나 편향이 발생할 수 있으므로 관찰 과정과 분석 가정을 함께 검토해야 합니다.