고정효과 모형

광고비를 늘리면 기업의 매출도 증가할까요? 여러 기업의 광고비와 매출을 비교하면 광고비를 많이 지출하는 기업일수록 매출도 높은 경향이 나타날 수 있습니다. 하지만 이러한 결과만으로 광고비가 매출 증가의 원인이라고 판단하기는 어렵습니다.

규모가 큰 기업은 광고비도 많이 지출하고 매출도 높을 수 있기 때문입니다. 브랜드 인지도나 경영 방식, 사업 구조처럼 기업마다 다른 특성도 영향을 줄 수 있습니다. 그렇다면 기업 간 차이를 고려하면서 광고비와 매출의 관계를 분석하려면 어떻게 해야 할까요?

한 가지 방법은 동일한 기업을 여러 해에 걸쳐 관찰하는 것입니다. 특정 기업이 광고비를 늘리거나 줄였을 때 같은 기업의 매출이 어떻게 달라졌는지 살펴보는 방식입니다. 이러한 분석에 사용하는 대표적인 방법이 고정효과 모형(Fixed Effects Model)입니다.

고정효과 모형은 같은 기업이나 개인을 여러 시점에 걸쳐 관찰한 패널데이터에서, 관찰 기간 동안 변하지 않는 대상별 특성을 통제하고 설명변수와 결과변수의 관계를 추정합니다.

이번 글에서는 고정효과 모형의 기본 원리부터 패널데이터의 구조, 실제 계산 사례, 회귀계수와 결과표 해석, 시간 고정효과, 주요 가정과 주의사항까지 살펴보겠습니다.

예를 들어 기업 100곳의 매출과 광고비를 5년 동안 조사했다고 가정하겠습니다. 기업마다 업종이나 브랜드 인지도, 경영 방식 등이 다를 수 있습니다. 이러한 차이는 광고비뿐 아니라 매출에도 영향을 줄 가능성이 있습니다.

일반 회귀분석에서 이 특성들을 충분히 통제하지 못한다면 광고비와 매출 사이의 관계가 왜곡될 수 있습니다. 고정효과 모형은 기업별로 관찰 기간 내내 일정하게 유지되는 특성을 각 기업의 고정효과로 반영합니다.

따라서 기업 A와 기업 B의 광고비 차이만 비교하는 것이 아니라, 기업 A의 광고비가 평소보다 높거나 낮았던 시기에 매출이 어떻게 달라졌는지를 이용해 관계를 추정합니다.

이러한 접근은 기업의 시간불변 특성이 광고비와 관련되어 있더라도 그 영향을 제거할 수 있다는 장점이 있습니다. 다만 시간이 지나면서 변하는 다른 요인까지 자동으로 통제하는 것은 아닙니다.

예를 들어 기업 3곳의 광고비와 매출을 4년 동안 조사했다면 다음과 같은 데이터를 만들 수 있습니다.

이 데이터에는 두 가지 정보가 함께 들어 있습니다. 하나는 기업 사이의 차이입니다. 기업 B는 기업 C보다 대체로 광고비와 매출이 높습니다. 다른 하나는 같은 기업의 시간에 따른 변화입니다. 기업 A는 2022년부터 2025년까지 광고비와 매출이 모두 증가했습니다.

고정효과 모형은 이 중에서 동일한 기업 내부의 시간에 따른 변화를 이용합니다. 패널데이터에는 기업뿐 아니라 개인, 학교, 병원, 국가, 지역 등 다양한 관찰 대상을 사용할 수 있습니다.

예를 들어 기업 100곳의 광고비와 매출을 분석한다면 전체 기업의 광고비 차이와 각 기업의 시간에 따른 변화를 함께 이용할 수 있습니다. 하지만 기업마다 규모나 브랜드 인지도처럼 관찰되지 않은 특성이 존재한다면 문제가 될 수 있습니다.

기업 B가 기업 A보다 광고비를 많이 지출하고 매출도 높다고 해서 그 매출 차이가 모두 광고비 때문이라고 볼 수는 없습니다. 고정효과 모형은 각 기업의 시간불변 특성을 통제하여 이 문제를 완화합니다.

고정효과 모형을 적용하면 기업별로 변하지 않는 특성 때문에 발생하는 교란을 줄일 수 있습니다. 그러나 광고비와 매출에 동시에 영향을 미치는 시간가변 요인이 있다면 여전히 추정에 편향이 발생할 수 있습니다.

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

가령 기업마다 브랜드 인지도가 다르지만 4년의 관찰 기간 동안 그 수준이 변하지 않는다고 가정해 보겠습니다. 기업 고정효과는 이러한 시간불변 특성을 통제합니다. 따라서 광고비의 회귀계수는 각 기업 내부에서 광고비가 변할 때 매출이 어떻게 달라지는지를 바탕으로 추정됩니다.

여기서 α_i는 모든 기업에 동일한 하나의 절편을 적용하는 것이 아니라 각 기업에 고유한 절편을 허용한다는 의미입니다.

각 기업의 관측값에서 해당 기업의 평균을 빼는 방식입니다. 예를 들어 기업 A의 광고비가 4년 동안 2억 원, 3억 원, 4억 원, 5억 원이었다면 평균 광고비는 3.5억 원입니다. 각 연도의 광고비에서 평균을 빼면 다음과 같습니다.

매출에도 같은 변환을 적용할 수 있습니다. 기업별 고정효과는 관찰 기간 동안 일정하므로 해당 기업의 평균을 빼면 사라집니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

이 과정에서 기업 고정효과 α_i가 제거됩니다. 따라서 기업별로 일정하게 유지되는 관찰되지 않은 특성이 회귀계수에 미치는 영향을 제거할 수 있습니다. 이 방식은 일반적인 선형 고정효과 모형에서 사용하는 대표적인 추정 방법입니다.

전체 기업이 매년 관찰되었다면 총 400개의 기업-연도 관측값이 존재합니다. 연구자는 광고비가 기업 매출과 어떤 관계를 가지는지 알아보고자 합니다.

분석 데이터

연구 질문은 다음과 같습니다.

이를 분석하기 위해 기업 고정효과와 연도 고정효과를 모두 포함한 모형을 적용했다고 가정하겠습니다. 광고비 외에도 종업원 수와 설비투자를 설명변수로 포함했습니다.

고정효과 회귀분석 결과

기업 및 연도 고정효과 포함. 표준오차는 기업 단위 군집화 방식을 가정했으며, 표시된 수치는 반올림했습니다.

광고비의 회귀계수는 2.40으로 나타났습니다. 이는 같은 기업에서 종업원 수와 설비투자, 연도별 공통 효과를 통제한 상태에서 광고비가 1억 원 높아진 시기에 매출은 평균적으로 2.4억 원 높은 방향의 관계를 보였다는 의미입니다.

종업원 수의 회귀계수는 1.20으로, 종업원 수가 10명 많아진 시기에 매출이 평균적으로 1.2억 원 높은 방향의 관계가 나타났습니다. 설비투자의 회귀계수는 0.85로, 설비투자가 1억 원 높아진 시기에 매출은 평균적으로 0.85억 원 높게 나타났습니다.

이 결과는 기업별 시간불변 특성과 연도별 공통 변화를 고려한 조건부 상관관계를 보여줍니다.

하지만 모든 기업에 공통으로 영향을 주는 경제 환경도 존재합니다. 예를 들어 경기침체나 물가 상승, 금리 변화, 산업 전반의 수요 증가 등이 특정 연도에 발생할 수 있습니다. 이러한 변화는 기업의 매출과 광고비에 동시에 영향을 줄 수 있습니다.

따라서 기업 고정효과뿐 아니라 연도 고정효과를 추가할 수 있습니다. 이를 이원 고정효과 모형(Two-Way Fixed Effects Model)이라고 합니다.

여기서 λ_t는 각 연도에 공통으로 나타나는 시간효과입니다. 예를 들어 2023년에 전체 제조업의 수요가 감소했다면 연도 고정효과가 해당 연도의 공통적인 변화를 반영할 수 있습니다.

따라서 이원 고정효과 모형에서는 기업마다 변하지 않는 특성과 모든 기업에 공통으로 작용하는 연도별 변화를 함께 통제할 수 있습니다. 다만 산업마다 다르게 나타나는 경기 변화처럼 기업별로 영향이 다른 시간가변 요인은 연도 고정효과만으로 충분히 통제되지 않을 수 있습니다.

예를 들어 분석 기간 동안 기업의 소재지가 변하지 않았다고 가정해 보겠습니다. 기업 고정효과를 포함하면 소재지의 효과는 기업별 고정효과와 완전히 겹치게 됩니다. 따라서 소재지에 대한 별도의 회귀계수를 추정할 수 없습니다.

이것이 해당 변수가 중요하지 않다는 뜻은 아닙니다. 기업 고정효과가 시간에 따라 변하지 않는 특성을 함께 반영하기 때문에 해당 변수의 개별적인 효과를 분리할 수 없다는 의미입니다. 다만 시간불변 변수와 시간가변 변수의 상호작용처럼 실제로 시간에 따라 변화하는 항은 적절한 조건에서 추정할 수 있습니다.

두 방법의 핵심적인 차이는 관찰되지 않은 대상별 특성과 설명변수 사이의 관계를 어떻게 가정하는지에 있습니다.

예를 들어 기업의 브랜드 인지도가 광고비와 관련되어 있다면 확률효과 모형의 기본 가정이 적절하지 않을 수 있습니다. 고정효과 모형은 이러한 기업별 시간불변 특성과 광고비 사이의 상관을 허용할 수 있습니다. 하지만 그렇다고 모든 상황에서 고정효과 모형이 더 좋은 것은 아닙니다.

분석 목적과 데이터 구조, 설명변수의 특성, 모형 가정 등을 고려하여 적절한 방법을 선택해야 합니다. 두 방법을 비교하는 대표적인 통계적 절차로 하우스만 검정(Hausman Test)이 있습니다.

예를 들어 특정 기업의 매출에 예상하지 못한 문제가 발생했다면 그 영향이 다음 연도까지 이어질 수도 있습니다. 이처럼 같은 기업 내부에서 오차가 서로 관련되어 있다면 일반적인 OLS 표준오차를 그대로 사용할 경우 통계적 유의성 판단이 왜곡될 수 있습니다.

따라서 패널데이터 분석에서는 기업 단위 군집강건 표준오차(Cluster-Robust Standard Errors)를 자주 사용합니다. 이는 같은 기업 안에서 오차의 이분산성과 시점 간 상관을 허용하는 방식입니다. 하지만 기업 단위 군집화만으로 모든 문제가 해결되는 것은 아닙니다.

예를 들어 같은 연도에 여러 기업의 오차가 서로 관련되는 경우에는 횡단면 의존성도 고려해야 할 수 있습니다. 또한 군집 수가 적은 경우에는 일반적인 군집강건 표준오차의 근사가 부정확할 수 있으므로 별도의 소표본 보정이나 추론 방법을 검토해야 합니다.

따라서 고정효과 회귀 결과를 보고할 때는 회귀계수뿐 아니라 어떤 방식으로 표준오차를 계산했는지도 함께 명시하는 것이 좋습니다.

시간에 따라 변하는 교란요인

기업별 브랜드 인지도가 관찰 기간 내내 일정하다면 기업 고정효과로 통제할 수 있습니다. 하지만 브랜드 인지도가 광고 캠페인이나 시장 변화에 따라 달라진다면 시간가변 교란요인이 될 수 있습니다. 이러한 변화가 광고비와 매출에 동시에 영향을 준다면 회귀계수에 편향이 발생할 수 있습니다.

역인과관계

광고비 증가가 매출 증가와 관련될 수도 있지만, 매출이 증가했기 때문에 기업이 광고비를 늘렸을 가능성도 있습니다. 고정효과 모형만으로는 이러한 역인과관계가 자동으로 해결되지 않습니다.

엄격한 외생성 가정

일반적인 정적 고정효과 추정에서 인과적인 계수 해석을 위해서는 설명변수가 개체의 모든 시점에 걸친 오차항과 적절한 조건부 독립 관계를 가져야 한다는 엄격한 외생성 가정이 중요합니다. 예를 들어 올해의 예상하지 못한 매출 충격이 내년 광고비 결정에 영향을 준다면 해당 가정이 위반될 수 있습니다.

개체 내부의 변동 부족

어떤 기업의 광고비가 관찰 기간 내내 동일하다면 그 기업은 광고비 계수를 식별하는 데 필요한 개체 내 변동을 제공하지 못합니다. 따라서 고정효과 분석에서는 대상의 수뿐 아니라 각 대상 내부에서 설명변수가 충분히 변화하는지도 중요합니다.

동적 관계

과거 매출이 현재 매출에 영향을 주는 상황에서 종속변수의 시차항을 포함하면 일반적인 고정효과 추정에는 동적 패널 편향이 발생할 수 있습니다. 특히 관찰 시점 수가 적은 경우에는 별도의 동적 패널 분석 방법을 고려해야 합니다.

앞서 살펴본 제조기업의 광고비와 매출 사례를 이용하면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

실제 보고서에서는 개체 수와 관측값 수뿐 아니라 고정효과의 유형, 표준오차 방식, 표본 내 설명변수의 변동, 모형의 적합도 지표 등을 함께 제시할 수 있습니다.

특히 고정효과 모형에서는 개체 내 설명력을 보여주는 Within R²를 보고하기도 합니다. 다만 R²의 계산 방식은 소프트웨어에 따라 다를 수 있으므로 그 정의를 확인해야 합니다.

이 방법은 기업마다 다른 브랜드 인지도나 경영 방식처럼 관찰 기간 동안 일정하게 유지되는 특성이 설명변수와 관련되어 있더라도 그 영향을 제거할 수 있습니다. 따라서 고정효과 모형의 회귀계수는 주로 같은 대상 내부에서 설명변수가 변화할 때 결과변수가 어떻게 달라지는지를 바탕으로 추정됩니다.

또한 연도 고정효과를 포함하면 모든 대상에 공통으로 작용하는 시기별 변화까지 통제할 수 있습니다. 하지만 시간이 지나면서 변하는 교란요인이나 역인과관계까지 자동으로 해결되는 것은 아닙니다. 따라서 고정효과 모형을 사용했다는 사실만으로 인과관계가 입증되는 것은 아닙니다.