요인설계 분석(DOE)

공장에서 생산하는 제품의 강도를 높이려면 온도부터 조절해야 할까요? 압력을 올리면 어떤 변화가 생길까요? 온도와 압력을 함께 높였을 때는 각각 바꿨을 때보다 효과가 더 클 수도 있을까요?

이처럼 여러 실험 조건을 체계적으로 조합하고, 각 조건의 효과와 서로의 영향을 분석하는 방법이 요인설계 분석(Factorial Design)입니다. 실험계획법(Design of Experiments, DOE)에서 널리 사용하는 대표적인 설계 방식입니다.

일원분산분석이 하나의 요인에 따른 평균 차이를 살펴본다면, 요인설계는 두 개 이상의 요인을 동시에 다룹니다. 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 달라지는 상호작용을 파악할 수 있다는 점이 특히 중요합니다.

제조 공정, 식품 개발, 농업 실험, 서비스 운영 등 여러 조건을 조정해야 하는 연구에 활용됩니다. 이번 글에서는 요인설계의 기본 원리부터 주효과와 상호작용, 실험 배치와 결과표, 분산분석 해석, 다른 분석과의 차이 및 주의사항까지 하나의 사례로 살펴보겠습니다.

요인설계 분석은 여러 실험요인(factor)의 수준을 체계적으로 조합해 각 요인의 주효과와 요인 사이의 상호작용을 추정하는 실험 설계·분석 방법입니다. 모든 조합을 실시하는 완전요인설계(full factorial design)와 일부 조합만 선택하는 부분요인설계(fractional factorial design)가 있습니다.

온도만 바꾸고 압력과 처리시간은 고정하는 방식으로 실험하면 그 조건에서의 온도 효과만 알 수 있습니다. 그러나 높은 압력에서 온도를 높였을 때 효과가 더 커진다면, 이런 차이는 온도 × 압력 상호작용입니다.

요인설계는 여러 조건의 조합을 관찰하기 때문에 각 요인의 평균 효과뿐 아니라 특정 조합에서 성능이 좋아지거나 나빠지는 현상을 분석할 수 있습니다. 다만 조합 수가 늘어날수록 실험 비용이 급격히 증가합니다.

① 요인과 수준을 정합니다

이번 예제는 온도(160/180°C), 압력(20/30 bar), 처리시간(20/30분) 세 요인에 각각 두 수준을 설정합니다.

② 모든 조합을 배치합니다

2수준 요인이 세 개이므로 2³ = 8개 실험 조건이 생깁니다. 각 조합에서 독립적인 생산 배치를 3회 반복하면 24회 실험합니다.

③ 실행 순서를 무작위화합니다

실험 순서가 장비 열화, 작업자, 일자와 섞이지 않도록 무작위화하고, 필요한 경우 블록(일자·장비 등)을 별도로 기록합니다.

④ 주효과와 상호작용을 추정합니다

요인별 평균 차이, 2요인 상호작용 및 3요인 상호작용을 모형으로 평가합니다.

가상의 제조 공장에서 공정 조건에 따른 제품의 인장강도(MPa)를 평가했습니다. 독립적인 배치 24개를 8개 조건에 무작위 배정했고, 각 조건에서 세 번 측정했다고 가정합니다. 다음 값은 학습 목적으로 구성한 데이터입니다.

예제는 요인 간 효과를 설명하기 위해 정해진 규칙으로 생성했습니다. 실제 공정에서의 검증이나 인과효과를 입증하는 자료는 아닙니다.

다른 요인의 수준을 모두 합쳐 평균을 계산하면, 온도가 160°C일 때 평균 강도는 55 MPa, 180°C일 때는 65 MPa입니다. 따라서 온도의 주효과는 +10 MPa입니다.

여기서 주효과는 분석에 포함한 수준과 다른 요인들의 배치에 의존하는 평균 차이입니다. 유의성은 반복 측정에서 생긴 오차를 이용해 따로 검정해야 합니다.

20 bar에서 온도를 160°C에서 180°C로 높이면 강도가 54.5 MPa에서 59.5 MPa로 5 MPa 증가하지만, 30 bar에서는 55.5 MPa에서 70.5 MPa로 15 MPa 증가합니다.

상호작용이 크거나 통계적으로 중요하다면 주효과 숫자 하나로 공정 선택을 설명하지 말고, 조건별 단순효과를 확인하는 것이 좋습니다.

균형 잡힌 2³ 완전요인설계에서는 주효과 A·B·C, 2요인 상호작용 AB·AC·BC, 3요인 상호작용 ABC를 추정할 수 있습니다. 24개의 독립 실험 중 모형 효과의 자유도는 7, 잔차 자유도는 16입니다.

예제에서는 데이터 패턴을 설계해 효과를 이해하는 데 집중합니다. 실제 유의성 해석은 모형 선택, 잔차 가정 및 실험의 독립성을 검토한 뒤 수행해야 합니다.

실험 설계는 결과를 얻은 뒤 바꾸는 절차가 아닙니다. 변수와 수준, 반복 횟수, 무작위화 방법을 실험 전에 정해야 합니다.

① 잔차와 분산을 점검합니다

잔차의 정규성, 등분산성, 이상치와 공정 드리프트를 검토합니다. 필요하다면 변환 또는 다른 모형을 고려합니다.

② 독립 실험 단위를 구분합니다

같은 배치에서 여러 번 측정한 값은 독립 배치를 여러 번 생산한 것과 다릅니다. 의사반복을 피해야 합니다.

③ 상호작용을 무시하지 않습니다

상호작용이 중요한데 주효과만 보고 최적 조건을 결정하면 잘못된 공정 결정을 내릴 수 있습니다.

④ 최적 조건을 추가 검증합니다

요인설계의 최댓값은 이번에 설정한 요인 수준 안에서의 결과입니다. 추천 조건을 별도 확인 실험으로 검증하고, 실험 범위 밖으로 성급하게 일반화하지 않습니다.

요인설계의 효과 검정에는 분산분석 또는 선형회귀가 사용될 수 있습니다. 실험계획법은 설계의 틀이고, ANOVA는 그 자료를 분석하는 도구 중 하나입니다.

논문이나 기술 보고서에는 요인의 종류와 수준, 완전·부분요인설계 여부, 반복 횟수와 독립 실험 단위, 무작위화·블록 설정, 반응변수를 먼저 제시합니다. 이어 주효과·상호작용 추정치, 신뢰구간, F검정 및 p값을 적절히 보고합니다.

실제 보고에서는 추정치의 표준오차와 신뢰구간, 적절한 검정 통계량, 모형 진단 및 확인 실험 결과를 추가합니다.

반응변수가 연속형이 아니면 이항·포아송 등 적합한 일반화선형모형을 사용해 요인과 상호작용을 추정할 수 있습니다. 실험 설계의 원리는 같더라도 분석 모형은 결과 자료의 특성에 맞춰 선택합니다.

제조 공정 예제에서는 온도·압력·처리시간을 각각 두 수준으로 설정하고 여덟 조건을 모두 비교했습니다. 온도의 평균 주효과가 가장 크게 나타났지만, 온도를 높여 얻는 강도 증가는 압력이 높을 때와 낮을 때 달랐습니다. 따라서 단일 요인의 평균 효과만으로 최적 조건을 결정하는 데는 한계가 있습니다.

실제 연구에서는 실험의 반복과 무작위화가 충분했는지, 잔차와 분산의 가정이 적절한지 확인해야 합니다. 주효과와 상호작용을 함께 보고 해석하되, 실험에서 가장 좋은 결과를 보인 조건이라도 별도의 확인 실험 없이 공정 전체의 최적값이라고 단정해서는 안 됩니다.