지수평활법(ETS)

수족관 운영자가 다음 분기의 입장객 수를 예측하려고 한다고 가정해 보겠습니다. 여름방학에는 방문객이 늘고 겨울에는 감소하는 경향이 있지만, 해마다 전체 방문객 수도 조금씩 증가합니다. 지난달 방문객 수만 다음 달에 그대로 적용하면 계절적 변화를 놓치고, 과거 전체 평균만 사용하면 최근 성장세를 반영하기 어렵습니다.

이때 활용할 수 있는 대표적인 시계열 예측 방법이 지수평활법(Exponential Smoothing)입니다. 최근 관측값과 과거에 축적된 정보를 점진적으로 반영하며, 자료에 따라 수준(Level), 추세(Trend), 계절성(Seasonality)을 모델링합니다. 특히 ETS(Error, Trend, Seasonality) 프레임워크는 오차 형태까지 포함해 여러 지수평활모형을 체계적으로 비교할 수 있게 해줍니다.

이 글에서는 단순지수평활부터 Holt와 Holt–Winters 방법, ETS 표기, 평활계수의 의미, 예측 계산, 모델 선택과 예측 검증까지 수족관 방문객 수를 예제로 살펴보겠습니다.

오래된 관측값의 영향은 시간이 지날수록 지수적으로 감소하므로 지수평활이라는 이름이 붙었습니다. 다만 최근 값만 사용하는 방법은 아닙니다. 과거 관측값의 정보도 갱신된 수준이나 추세 상태에 누적되어 남습니다.

예를 들어 수족관의 월간 방문객 수가 완전히 일정하다면 수준만 추정하는 간단한 모형으로도 충분할 수 있습니다. 하지만 장기적으로 방문객이 증가한다면 추세를, 여름 성수기가 매년 반복된다면 계절성을 추가해야 예측값이 실제 운영 상황을 더 잘 반영합니다.

이 수족관은 매년 여름방학 기간에 관람객이 몰리고, 그 외 기간에는 비교적 낮은 방문객 수를 보입니다. 운영자는 인력 배치와 시설 운영비를 계획하기 위해 2026년 1월부터 3월까지의 방문객 수를 예측하려고 합니다.

다음은 최근 몇 달의 관측값을 단순화한 예시입니다.

여름과 늦가을의 차이가 크므로 단순한 전체 평균보다 연중 반복되는 패턴을 반영하는 모형이 유리할 가능성이 있습니다. 그렇다고 계절성 모형을 바로 확정하기보다는 시계열 그래프와 계절별 변동을 먼저 살펴봐야 합니다.

현재의 수준 추정값을 새로운 관측값과 이전 수준 추정값의 가중평균으로 갱신합니다.

여기서 y_t는 t시점 관측값, ℓ_t는 갱신된 수준, α는 일반적으로 0과 1 사이의 평활계수입니다. 예를 들어 지난달 수준 추정값이 15,000명이고 이번 달 실제 방문객이 16,000명이며 α = 0.30이라면 다음과 같습니다.

따라서 새로운 수준 추정값은 15,300명입니다. 단순지수평활에서는 향후 여러 기간의 점예측이 이 수준값으로 일정하게 유지됩니다. 수족관처럼 계절성이 강한 자료에는 SES만으로 충분하지 않을 수 있습니다.

단순지수평활에서 예측값이 일정하게 유지되는 한계를 보완하여 방문객 수가 지속해서 증가하거나 감소하는 흐름을 모델링합니다. 가법추세의 대표적인 형태는 다음과 같습니다.

여기서 b_t는 시점 t에서 추정한 추세의 기울기이고, h는 예측하는 미래 기간 수입니다. 예를 들어 추정 수준이 18,000명이고 월별 추세가 +200명이라면 다음 달 점예측은 18,200명, 두 달 뒤는 18,400명입니다.

그러나 월별 입장객이 매년 여름에 반복적으로 증가한다면 Holt 방법의 선형추세만으로는 이러한 움직임을 표현하기 어렵습니다. 계절성이 관찰되면 계절 성분을 포함하는 방법을 검토해야 합니다.

월별 자료의 계절 주기가 12개월이라면 각 월의 계절적 특성이 순환하도록 설정합니다. 가법 계절성(Additive Seasonality)은 계절에 따른 증가·감소 폭이 대체로 일정할 때 적합합니다. 예를 들어 여름에는 다른 달보다 약 8,000명이 더 방문하는 현상이 전체 방문객 규모가 달라져도 비슷하게 유지되는 상황입니다.

승법 계절성(Multiplicative Seasonality)은 계절별 차이가 수준에 비례해서 커지거나 작아질 때 유용합니다. 예를 들어 여름 방문객 수가 평상시의 1.5배 수준으로 유지된다면 승법 계절성이 자연스러울 수 있습니다.

가법과 승법 중 어느 쪽이 더 적합한지는 시계열의 실제 변동과 모델 진단 결과를 보고 판단해야 합니다. 특히 방문객 수가 0이 될 수 있는 자료에서 승법 구조를 사용할 때는 정의와 추정 가능성을 주의해서 살펴봐야 합니다.

세 구성 요소의 형태를 명시해 여러 지수평활모형을 구분하는 상태공간모형 프레임워크입니다.

예를 들어 ETS(A,N,N)은 가법 오차를 가지며 추세와 계절성이 없는 모형입니다. ETS(A,A,A)는 가법 오차·가법 추세·가법 계절성을 사용하고, ETS(M,Ad,M)은 승법 오차·감쇠 가법추세·승법 계절성을 사용합니다.

중요한 점은 Holt–Winters라는 전통적인 예측 방법과 ETS의 오차 기반 상태공간모형 표기가 관련되어 있지만 완전히 동일한 명칭 체계는 아니라는 것입니다. ETS는 오차 분포 구조까지 명시하므로 우도 기반 모형 비교와 예측구간 산출에 활용할 수 있습니다.

이 값들은 새 관측값의 정보를 상태 추정에 얼마나 빠르게 반영할지 결정합니다. 일반적으로 α가 크면 최근 관측값에 더 민감하게 반응하고, 작으면 과거에 추정한 수준을 비교적 안정적으로 유지합니다. 추세와 계절성의 평활계수도 비슷하게 갱신 속도를 조절하지만, 정확한 수식과 허용 범위는 사용하는 ETS 모형에 따라 달라집니다.

실제 분석에서는 평활계수를 임의로 고정하기보다 선택한 모형의 우도나 예측오차 등을 기준으로 자료에서 추정하는 경우가 많습니다. 초기 수준과 초기 계절효과 또한 예측에 영향을 주므로 함께 추정하거나 적절한 초기화 방법을 사용해야 합니다.

그다음 가법·승법 계절성, 추세 포함 여부, 감쇠추세의 필요성을 비교할 수 있습니다. 다음은 여러 후보를 같은 학습자료에 적합시켰을 때 얻은 정보기준 비교입니다.

이 예제에서는 ETS(A,Ad,A)의 AICc가 가장 낮았습니다. AICc는 표본 크기에 따른 보정을 포함하는 정보기준이며, 같은 자료에 적합시킨 우도 기반 후보모형의 상대적인 적합도와 복잡도를 비교할 때 사용할 수 있습니다.

다만 AICc 최솟값이 곧 미래 예측 성능 1위라는 뜻은 아닙니다. 실제 사용 목적이 예측이라면 시간 순서를 보존한 검증에서도 오차가 안정적인지 확인해야 합니다. 여러 모형의 오차가 비슷하면 해석 가능성과 예측의 안정성도 함께 고려할 수 있습니다.

다음 표의 점예측은 이전 48개월에서 추정한 수준·추세·계절성 상태를 앞으로 연장한 결과입니다.

1월의 예상 방문객 수는 15,800명으로, 2월에는 16,500명, 3월에는 19,100명으로 추정되었습니다. 봄으로 갈수록 수요가 증가하는 계절 패턴과 완만한 추세가 함께 반영된 결과라고 해석할 수 있습니다.

점예측은 가장 대표적인 예상값이지만 실제 관측값이 정확히 그 숫자가 된다는 뜻은 아닙니다. 95% 예측구간은 모형의 오차·상태 추정 및 미래 불확실성을 반영해 산출한 범위이며, 모형 가정하에서 장기적인 구간 포착률을 해석해야 합니다. 개별 예측에 대해 실제 방문객 수가 95% 확률로 반드시 구간 안에 들어간다고 단정해서는 안 됩니다.

따라서 일반적으로 장기 예측의 예측구간이 단기 예측보다 넓어집니다. 앞선 결과에서도 1월 예측구간 폭은 6,800명이지만 3월에는 9,000명으로 더 넓습니다. 운영계획을 세울 때는 점예측만 이용하기보다 낮은 수요와 높은 수요 상황 모두를 검토하는 것이 좋습니다.

예를 들어 인력 운영은 점예측을 기본으로 잡되, 성수기나 예상치 못한 수요 증가에 대응할 수 있는 추가 인력을 확보하는 방식으로 활용할 수 있습니다. 다만 ETS 예측구간에 포함되는 불확실성은 사용한 모형과 추정 방법에 따라 달라지므로, 새로운 시설 개장이나 요금 정책 변화 같은 구조적 변화를 반드시 포착한다고 볼 수는 없습니다.

자료를 무작위로 나누면 미래 정보를 이용해 과거를 예측하는 데이터 누수 문제가 발생할 수 있기 때문입니다. 이 예제에서는 2022~2024년의 36개월 자료로 모형을 학습하고 2025년 12개월을 검증 구간으로 사용할 수 있습니다. 또는 학습 구간을 점차 늘리면서 매 시점에서 다음 1개월이나 3개월을 예측하는 롤링 오리진 평가(Rolling-Origin Evaluation)를 수행할 수 있습니다.

예를 들어 ETS(A,Ad,A)의 검증 MAE가 1,650명이고 계절 단순예측(전년 같은 달 값을 예측)의 MAE가 2,250명이라면 ETS가 해당 검증 구간에서 더 작은 평균 절대오차를 보인 것입니다. 그러나 이것만으로 모든 미래 기간에서 더 우수하다고 보장할 수는 없습니다.

시간에 따라 잔차가 한쪽으로 치우치거나 특정 간격으로 반복된다면 추세나 계절성을 충분히 반영하지 못했을 수 있습니다. 잔차 시계열 그래프와 자기상관함수(ACF)를 확인하고, 필요에 따라 Ljung–Box 검정으로 여러 시차의 자기상관이 동시에 0인지 평가할 수 있습니다.

다만 검정은 표본 크기와 자유도 보정, 모델 적합 과정의 영향을 받으므로 p값 하나만으로 예측 품질을 판단하지 않아야 합니다.

ETS는 과거 패턴을 연장하는 방법이므로 갑작스러운 휴관, 신규 경쟁시설, 입장료 인상과 같은 외부 사건을 별도 입력 없이 정확하게 예측하기 어렵습니다. 이러한 변수가 예측에 중요하다면 회귀 기반 시계열모형 등 대안을 검토해야 합니다.

ETS는 수준·추세·계절성을 상태로 갱신하는 관점이고, ARIMA는 과거 관측값과 오차의 시차 관계 및 차분을 중심으로 시계열 의존성을 설명합니다.

둘 중 하나가 모든 자료에 더 우수한 것은 아닙니다. ETS는 해석하기 쉬운 계절 패턴을 가진 자료에 강점을 보일 수 있고, ARIMA는 잔차의 자기상관 구조를 정교하게 모델링하는 데 유용할 수 있습니다. 실제 예측에서는 같은 검증 기간에 두 모형을 비교하는 것이 가장 실용적입니다.

실제 연구에서는 시간 순서를 보존한 검증 결과와 잔차 진단도 함께 보고해야 합니다.

단순지수평활은 비교적 일정한 수준을, Holt 방법은 추세를, Holt–Winters는 계절성을 추가로 고려합니다. ETS는 이러한 구조에 오차 형태까지 포함해 후보모형을 체계적으로 비교할 수 있게 합니다.

그러나 복잡한 모형이 언제나 좋은 예측을 만드는 것은 아닙니다. 계절성이 실제로 존재하는지, 가법·승법 중 어떤 구조가 적절한지, 감쇠추세가 필요한지 확인하고 시간 순서를 보존한 검증을 통해 예측 성능을 평가해야 합니다.