동적 패널 분석(GMM)

기업의 생산성은 매년 새롭게 결정되는 것이 아닙니다. 지난해 생산성이 높았던 기업은 올해도 높은 생산성을 유지할 가능성이 있습니다. 생산설비와 기술력, 숙련된 인력 등이 단기간에 완전히 바뀌지 않기 때문입니다.

그렇다면 기업의 연구개발(R&D) 투자가 생산성에 어떤 영향을 미치는지 분석할 때는 이러한 과거 생산성도 고려해야 하지 않을까요? 예를 들어 올해 생산성을 종속변수로 설정하고 지난해 생산성을 설명변수에 포함할 수 있습니다.

하지만 여기에는 문제가 있습니다. 동일한 기업을 여러 해 관찰한 패널데이터에서 과거 종속변수를 일반적인 고정효과 모형에 포함하면 추정값에 편향이 발생할 수 있습니다.

또한 기업이 연구개발에 투자하는 금액은 생산성의 영향을 받을 수도 있습니다. 생산성이 높은 기업은 더 많은 연구개발 예산을 확보할 수 있고, 미래 생산성 향상을 예상한 기업이 연구개발 투자를 늘릴 수도 있기 때문입니다.

이처럼 과거의 영향과 설명변수의 내생성을 함께 고려할 필요가 있을 때 사용하는 방법이 동적 패널 분석(Dynamic Panel Data Analysis)입니다.

동적 패널 분석에서는 일반화 적률법(Generalized Method of Moments, GMM)을 활용한 추정 방법이 널리 사용됩니다.

이번 글에서는 동적 패널모형의 기본 원리와 내생성 문제, Difference GMM과 System GMM의 차이, 실제 분석 예제, 진단검정과 결과 해석까지 살펴보겠습니다.

일반적인 패널 회귀분석에서는 광고비나 연구개발 투자, 고용 규모 등의 변수가 매출 또는 생산성과 어떤 관계를 가지는지 분석합니다. 동적 패널모형에서는 여기에 과거 종속변수를 추가합니다. 예를 들어 올해 생산성에 지난해 생산성을 설명변수로 포함할 수 있습니다.

이러한 모형은 현재 생산성이 과거 생산성에 얼마나 의존하는지, 다른 변수의 변화가 현재와 이후의 결과에 어떤 영향을 미치는지 분석할 때 유용합니다. 동적 패널모형은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이 모형에서 중요한 것은 ρ입니다. 이 값이 양수라면 다른 조건이 같을 때 과거 생산성이 높은 기업일수록 현재 생산성도 높은 경향이 있음을 의미합니다. 다만 시차 종속변수를 포함했다고 해서 내생성 문제가 자동으로 해결되는 것은 아닙니다. 오히려 추정 과정에서 새로운 편향 문제가 발생할 수 있습니다.

예를 들어 기업의 경영 문화나 오랫동안 유지된 기술력처럼 관찰 기간 동안 일정한 특성을 제거하는 데 유용합니다. 하지만 이전 시점의 종속변수를 설명변수에 포함하면 상황이 달라집니다. 고정효과 모형에서는 기업별 평균을 빼는 방식으로 시간불변 특성을 제거할 수 있습니다.

그런데 이러한 변환 이후에도 과거 종속변수와 변환된 오차항 사이에 상관관계가 남을 수 있습니다. 특히 관찰하는 기업 수가 많고 각 기업의 관찰 기간이 짧은 경우에는 일반적인 고정효과 추정량에 편향이 발생합니다. 이를 Nickell 편향(Nickell Bias)이라고 합니다.

예를 들어 기업 500곳을 관찰하더라도 각 기업의 데이터가 4~5년밖에 없다면 시차 종속변수를 포함한 고정효과 모형의 추정 결과가 왜곡될 수 있습니다. 동적 패널 GMM은 이러한 문제를 다루기 위해 과거 변수의 값을 도구변수로 활용합니다.

다만 GMM도 필요한 도구변수의 외생성 조건이 성립해야 일치성 있는 추정이 가능합니다.

모든 기업이 8년간 관찰되었다면 전체 관측값은 2,400개입니다. 연구자는 연구개발 투자가 기업 생산성에 어떤 영향을 미치는지 분석하면서 이전 연도의 생산성도 함께 고려하려고 합니다.

분석 데이터

여기서는 로그 변환이 가능한 양수 값만 사용한다고 가정하겠습니다. 연구 질문은 다음과 같습니다.

추가로 연구개발 투자가 이후 여러 해의 생산성에 어떤 영향을 남기는지도 살펴볼 수 있습니다. 이 예제에서는 R&D 투자가 생산성 충격과 관련될 가능성이 있는 내생변수이고, 자본집약도 역시 내생적일 수 있다고 가정하겠습니다. 따라서 변수별 내생성 가정을 구분하고 적절한 도구변수를 설정해야 합니다.

적률조건은 적절한 도구변수와 오차항 사이의 기대 곱이 0이어야 한다는 관계 등을 의미합니다. 간단하게 표현하면 다음과 같습니다.

여기서 Z_it는 도구변수입니다. 이 조건은 도구변수가 모형의 오차항과 상관되어 있지 않아야 한다는 의미입니다. 동적 패널 GMM에서는 과거에 관찰한 변수값을 내부 도구변수(Internal Instruments)로 사용하는 경우가 많습니다.

예를 들어 생산성의 충분히 오래된 과거 값이 현재의 오차항과 상관되지 않는다는 가정이 성립한다면 이를 도구변수로 활용할 수 있습니다. GMM은 이러한 조건을 만족하도록 회귀계수를 추정합니다. 다만 과거 값이라는 이유만으로 모든 변수가 적절한 도구변수가 되는 것은 아닙니다.

오차항의 시계열 상관과 설명변수의 외생성, 도구변수의 관련성 등을 함께 고려해야 합니다.

먼저 원래 모형을 차분하여 기업별 시간불변 특성을 제거합니다.

차분을 통해 기업별 고정효과 α_i는 제거됩니다. 하지만 차분된 과거 종속변수 ΔY_i,t−1는 차분된 오차항 Δε_it와 상관될 수 있습니다. 따라서 일반적인 OLS를 그대로 적용해서는 안 됩니다.

Difference GMM은 더 이전 시점의 종속변수 값을 도구변수로 사용합니다. 예를 들어 오차항의 적절한 시계열 무상관 조건이 성립한다면 Y_i,t−2와 그 이전의 값을 차분 방정식의 도구변수로 사용할 수 있습니다.

이러한 방식으로 과거 종속변수와 오차항의 상관 문제를 해결하려고 합니다.

Difference GMM은 차분된 방정식을 이용하지만, System GMM은 차분 방정식과 수준 방정식(Level Equation)을 함께 이용합니다.

특히 생산성처럼 과거 값과 현재 값의 관련성이 높은 변수에서는 Difference GMM의 과거 수준값이 차분변수에 대한 약한 도구변수가 될 수 있습니다. System GMM은 추가적인 적률조건을 활용하여 추정의 효율성과 안정성을 개선하려고 합니다.

System GMM이 항상 Difference GMM보다 우수한 것은 아닙니다. 수준 방정식에 대한 추가적인 도구변수 조건이 성립하지 않으면 오히려 부적절한 추정 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 두 방법의 선택에서는 변수의 지속성뿐 아니라 도구변수의 타당성을 함께 검토해야 합니다.

동적 패널 System GMM 분석 결과

연도 더미변수 포함. 표준오차는 유한표본 보정을 적용한 2단계 GMM 추정 결과를 가정했습니다.

전년도 노동생산성의 계수는 0.62로 나타났습니다. 이는 다른 조건이 같을 때 전년도 생산성이 1% 높은 기업의 올해 생산성은 약 0.62% 높은 방향의 관계를 보였다는 의미입니다. R&D 투자의 계수는 0.12로 나타났습니다.

이 모형은 종속변수와 R&D 투자액이 모두 로그로 변환되어 있으므로, R&D 투자가 1% 높을 때 현재 노동생산성이 약 0.12% 높은 방향의 관계를 나타낸다고 해석할 수 있습니다.

자본집약도의 회귀계수는 0.18로, 자본집약도가 1% 높을 때 현재 노동생산성이 약 0.18% 높은 방향의 관계를 보였습니다.

앞선 예제에서 R&D 투자의 계수는 0.12, 전년도 노동생산성의 계수는 0.62였습니다. R&D 투자가 일정한 수준으로 영구적으로 증가하고 모형의 다른 조건이 유지된다면, 안정적인 동적 모형에서 장기승수(Long-Run Multiplier)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

따라서 단기 탄력성은 약 0.12, 장기승수는 약 0.316입니다. 이는 다른 조건과 모형 구조가 일정하게 유지되는 상황에서 R&D 투자의 지속적인 1% 증가에 대응하는 노동생산성의 장기적 변화가 약 0.316%로 추정된다는 의미입니다.

다만 이러한 장기효과 계산은 |ρ| < 1인 안정적인 모형과 지속적인 설명변수 변화 등을 전제로 합니다. 또한 장기승수의 신뢰구간은 단순히 두 계수의 신뢰구간을 나누어 구할 수 없습니다. 두 추정계수의 불확실성과 공분산을 함께 고려해야 합니다.

하지만 도구변수의 개수가 지나치게 많아질 수 있다는 문제가 있습니다. 예를 들어 관찰 기간이 늘어나면 사용할 수 있는 과거 변수의 시차도 많아집니다.

이러한 시차를 모두 도구변수로 사용하면 도구변수 수가 빠르게 증가할 수 있습니다. 이를 도구변수 증식(Instrument Proliferation)이라고 합니다.

도구변수가 지나치게 많으면 내생변수를 과도하게 설명하거나, 과잉식별 검정의 검정력이 약화되어 부적절한 도구변수를 제대로 탐지하지 못할 수 있습니다. 따라서 실제 분석에서는 도구변수의 시차 범위를 제한하거나 도구변수 행렬을 축약(Collapse)하는 방법을 고려합니다.

예를 들어 모든 가능한 시차를 사용하는 대신 2~3시차의 값을 사용하는 방식입니다. 다만 적절한 시차 범위는 변수의 외생성 가정과 오차항의 특성에 따라 달라집니다. 따라서 도구변수를 무조건 적게 사용하거나 많이 사용하는 것보다 필요한 조건을 충족하는 도구변수를 선택하는 것이 중요합니다.

대표적으로 Arellano–Bond 자기상관 검정을 사용합니다. 이 검정에서는 차분된 오차항의 1차 자기상관과 2차 자기상관을 확인합니다.

자기상관 검정 결과 예시

Difference GMM에서는 원래 오차항에 자기상관이 없더라도 차분 과정 때문에 1차 자기상관이 나타날 수 있습니다. 따라서 AR(1) 검정이 유의한 것은 일반적으로 예상할 수 있는 결과입니다.

반면 차분된 오차항에서 유의한 2차 자기상관이 나타나면 특정 시차의 수준값을 도구변수로 사용하는 조건에 문제가 있을 수 있습니다. 따라서 AR(2) 검정 결과를 중요하게 확인합니다. 다만 AR(2) 검정이 유의하지 않다고 해서 모든 도구변수가 타당하다는 의미는 아닙니다.

Hansen 검정은 과잉식별 제약이 데이터와 양립 가능한지를 평가하는 검정입니다. 예를 들어 다음과 같은 결과가 나타났다고 가정하겠습니다.

Hansen 검정의 p값이 .284라면 유의수준 0.05에서 과잉식별 제약을 기각할 충분한 근거가 확인되지 않았다는 의미입니다. 하지만 도구변수 전체가 반드시 타당하다고 입증된 것은 아닙니다. 특히 도구변수가 지나치게 많으면 Hansen 검정이 부적절한 도구변수를 탐지하는 능력이 약화될 수 있습니다.

따라서 Hansen 검정의 p값만 확인하지 않고 도구변수 수와 기업 수, 도구변수 구성 방식 등을 함께 살펴보는 것이 좋습니다. System GMM에서는 추가적으로 도입한 수준 방정식의 적률조건을 검토하기 위해 Difference-in-Hansen 검정 등을 활용할 수도 있습니다.

다만 이러한 검정 역시 모형 설정과 충분한 식별 조건에 의존합니다.

Difference GMM과 System GMM은 일반적으로 개체 수가 많고 관찰 시점이 비교적 짧은 패널자료에서 활용됩니다. 기업 수가 매우 적거나 관찰 기간이 지나치게 길다면 다른 추정 방법을 고려해야 할 수 있습니다.

도구변수 수를 관리해야 합니다.

도구변수가 지나치게 많으면 추정 결과와 Hansen 검정의 신뢰성이 떨어질 수 있습니다. 따라서 도구변수 수와 구성 방식을 반드시 보고해야 합니다.

변수별 내생성 가정을 구분해야 합니다.

모든 설명변수가 동일한 내생성 문제를 갖는 것은 아닙니다. 엄격한 외생변수, 미리 결정된 변수(Predetermined Variable), 내생변수 등을 구분해 적절한 도구변수를 설정해야 합니다.

진단검정을 함께 확인해야 합니다.

AR(1), AR(2), Hansen J 검정 등의 결과를 확인하고, System GMM에서는 추가 적률조건의 타당성도 검토해야 합니다.

계수의 유의성만으로 인과효과를 판단하지 않아야 합니다.

GMM은 적절한 도구변수 조건하에서 내생성을 다룰 수 있지만, 잘못된 도구변수나 모형 설정은 편향된 결과를 만들 수 있습니다.

연구 목적에 맞는 동적 구조를 설정해야 합니다.

생산성이 전년도 값뿐 아니라 2년 전 생산성에도 영향을 받거나, R&D 투자의 효과가 여러 해에 걸쳐 직접 나타날 수 있다면 모형의 동적 구조를 추가로 검토해야 합니다.

특히 Difference GMM인지 System GMM인지, 1단계 또는 2단계 GMM 추정인지 명확하게 밝혀야 합니다.

분석 결과 요약

실제 연구에서는 추정에 사용한 유효 관측값 수와 도구변수의 시차 범위, 도구변수 축약 여부, 유한표본 보정 방식 등을 함께 제시해야 합니다. 또한 장기승수를 보고하는 경우에는 계산에 사용한 계수와 모형의 안정성 조건을 명확히 밝혀야 합니다.

예를 들어 기업의 노동생산성은 전년도 생산성의 영향을 받을 수 있으므로 과거 종속변수를 설명변수에 포함할 수 있습니다. 하지만 관찰 기간이 짧은 패널데이터에서 일반적인 고정효과 추정법을 사용하면 시차 종속변수와 오차항 사이의 상관 때문에 편향이 발생할 수 있습니다.

동적 패널 GMM은 과거 변수의 값을 도구변수로 활용하여 이러한 문제를 다루려는 방법입니다. 대표적으로 Difference GMM과 System GMM이 있으며, 두 방법은 사용하는 방정식과 도구변수 조건에서 차이가 있습니다.

다만 GMM을 사용한다고 해서 내생성이 자동으로 해결되는 것은 아닙니다. 도구변수의 외생성과 관련성, 오차항의 자기상관, 도구변수 수 등을 함께 검토해야 합니다.