교차분석과 카이제곱 검정

남성과 여성은 선호하는 제품이 다를까요? 연령대에 따라 주로 이용하는 쇼핑 채널에 차이가 있을까요? 교육 수준과 취업 여부 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

이처럼 두 범주형 변수가 서로 어떤 관련이 있는지 확인할 때 사용하는 대표적인 방법이 교차분석(Crosstabulation)과 카이제곱 검정(Chi-Squared Test)입니다.

교차분석은 두 변수의 조합별 응답 수와 비율을 표로 정리하는 방법입니다. 카이제곱 검정은 이렇게 나타난 차이가 통계적으로 유의한지 판단하는 방법입니다. 두 방법은 서로 다른 역할을 하지만 실제 설문조사와 통계분석에서는 함께 사용하는 경우가 많습니다.

특히 성별, 연령대, 직업, 제품 선호도, 구매 경험 여부처럼 범주로 구분되는 데이터를 분석할 때 유용합니다. 이번 글에서는 교차분석과 카이제곱 검정의 기본 개념부터 실제 분석 사례, 결과표를 해석하는 방법, 효과크기, 분석 전에 확인해야 할 사항까지 살펴보겠습니다.

분석 결과는 일반적으로 교차표(Crosstab 또는 Contingency Table)라는 형태로 나타냅니다. 예를 들어 고객 200명을 대상으로 성별과 온라인 쇼핑 선호 여부를 조사했다고 가정해 보겠습니다.

성별은 남성과 여성으로 구분하고, 온라인 쇼핑 선호 여부는 '선호한다'와 '선호하지 않는다'로 구분합니다. 수집한 데이터를 교차표로 정리하면 다음과 같습니다.

이 표를 보면 남성 100명 중 60명이 온라인 쇼핑을 선호했고, 여성 100명 중에서는 40명이 온라인 쇼핑을 선호했습니다. 즉, 남성의 온라인 쇼핑 선호 비율은 60%, 여성은 40%로 나타났습니다. 교차분석을 통해 두 집단의 응답 분포가 다르다는 사실을 확인할 수 있습니다.

하지만 여기서 중요한 질문이 남아 있습니다.

이러한 질문에 답하기 위해 카이제곱 검정을 사용할 수 있습니다.

빈도분석은 하나의 변수에서 각 항목이 얼마나 자주 나타나는지 확인합니다. 반면 교차분석은 두 개 이상의 변수를 조합하여 범주별 분포를 비교합니다. 예를 들어 고객 200명을 대상으로 선호하는 쇼핑 채널을 조사했다고 가정해 보겠습니다.

빈도분석

빈도분석을 통해 전체 고객의 절반이 온라인 쇼핑을 선호한다는 사실을 확인할 수 있습니다. 하지만 어떤 고객들이 온라인 쇼핑을 선호하는지는 알 수 없습니다.

교차분석

교차분석을 이용하면 성별에 따라 쇼핑 채널 선호 비율이 어떻게 다른지 확인할 수 있습니다. 즉, 빈도분석이 하나의 변수에 나타난 분포를 보여준다면, 교차분석은 여러 변수의 조합에 따른 분포를 보여줍니다.

두 분석 모두 데이터를 요약하고 이해하기 위한 기술통계적 방법으로 활용할 수 있습니다.

같은 교차표라도 행 백분율과 열 백분율 중 무엇을 사용하느냐에 따라 설명하는 내용이 달라집니다. 대표적으로 행 백분율, 열 백분율, 전체 백분율을 확인할 수 있습니다.

행 백분율(Row Percentage)

행 백분율은 각 행의 합계를 기준으로 계산합니다. 앞선 사례에서 성별을 행으로 설정했다면 다음과 같습니다.

이 표는 각 성별 집단 내부에서 온라인 쇼핑을 선호하는 비율을 보여줍니다. 따라서 '남성과 여성의 쇼핑 채널 선호도가 어떻게 다른가?'라는 질문에 적합합니다.

열 백분율(Column Percentage)

열 백분율은 각 열의 합계를 기준으로 계산합니다.

이 예시에서는 각 열의 합계도 100명이라 숫자가 동일하게 나타납니다. 하지만 의미는 다릅니다. 온라인 쇼핑 선호자 중 남성이 60%, 여성이 40%라는 뜻입니다.

일반적으로 열 백분율은 특정 응답을 선택한 사람들의 구성을 확인할 때 사용합니다.

전체 백분율(Total Percentage)

전체 백분율은 전체 표본 수를 기준으로 계산합니다. 예를 들어 전체 200명 중 온라인 쇼핑을 선호하는 남성이 60명이라면 전체 백분율은 30%입니다. 어떤 백분율이 더 적절한지는 분석 질문에 따라 달라집니다.

성별에 따른 선호도 차이를 비교하려면 일반적으로 성별 집단 내부의 비율을 확인하는 것이 이해하기 쉽습니다.

교차분석과 함께 사용할 때는 주로 카이제곱 독립성 검정(Chi-Squared Test of Independence)을 의미합니다. 카이제곱 독립성 검정은 두 범주형 변수가 서로 독립적인지, 즉 통계적으로 관련되어 있는지 확인합니다.

예를 들어 성별과 쇼핑 채널 선호 여부가 서로 독립적이라면 성별에 따라 쇼핑 채널의 선호 비율이 체계적으로 달라지지 않을 것으로 예상할 수 있습니다. 반대로 두 변수 사이에 관련성이 있다면 실제 관찰된 빈도는 독립성을 가정했을 때 예상되는 빈도와 차이가 나타날 수 있습니다.

이러한 차이를 통계적으로 평가하는 것이 카이제곱 독립성 검정입니다.

카이제곱 검정의 가설

일반적으로 다음과 같은 가설을 설정합니다.

카이제곱 검정에서는 관찰빈도와 기대빈도의 차이를 바탕으로 검정통계량을 계산합니다. 카이제곱 통계량은 다음과 같이 표현합니다. χ² = Σ (O - E)² / E

여기서 O는 관찰빈도(Observed Frequency), E는 기대빈도(Expected Frequency)를 의미합니다. 관찰빈도와 기대빈도의 차이가 클수록 일반적으로 카이제곱 통계량도 커집니다. 다만 통계적 유의성은 카이제곱 통계량과 자유도에 따라 계산한 p값을 이용해 판단합니다.

관찰빈도(Observed Frequency)는 실제 데이터에서 확인된 빈도입니다. 기대빈도(Expected Frequency)는 두 변수가 서로 독립적이라는 가정 아래 예상되는 빈도입니다.

앞서 살펴본 성별과 온라인 쇼핑 선호도 사례를 다시 사용하겠습니다.

실제 관찰빈도

전체 남성은 100명, 여성도 100명입니다. 또한 온라인 쇼핑 선호자는 100명이고 선호하지 않는 사람도 100명입니다. 두 변수가 독립적이라면 전체 분포를 기준으로 각 성별에서 온라인 쇼핑을 선호하는 비율이 동일할 것으로 기대할 수 있습니다.

기대빈도는 다음과 같이 계산합니다.

같은 방법으로 모든 셀의 기대빈도를 계산하면 다음과 같습니다.

독립성 가정 아래의 기대빈도

관찰빈도에서는 60명과 40명의 차이가 있었지만 기대빈도에서는 모든 셀이 50명으로 나타났습니다. 카이제곱 검정은 이러한 차이가 우연한 표본 변동으로 설명될 수 있는지를 평가합니다.

연구 질문은 다음과 같습니다.

교차분석 결과

괄호 안의 값은 각 성별 집단을 기준으로 계산한 행 백분율입니다.

카이제곱 검정 결과

연속성 보정은 적용하지 않았습니다.

결과는 어떻게 해석할까요?

남성 응답자의 60%가 온라인 쇼핑을 선호한 반면, 여성 응답자에서는 40%가 온라인 쇼핑을 선호했습니다. 두 집단 사이에는 20%포인트의 차이가 나타났습니다. 카이제곱 검정 결과는 χ²(1) = 8.00, p = .0047로 나타났습니다.

p값이 일반적인 유의수준 0.05보다 작으므로 성별과 온라인 쇼핑 선호 여부가 서로 독립적이라는 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 따라서 성별과 온라인 쇼핑 선호 여부 사이에 통계적으로 유의한 관련성이 있다고 해석할 수 있습니다.

일반적으로 유의수준을 0.05로 설정했다면 다음과 같이 판단합니다.

예를 들어 p = .003이라면 두 변수가 독립적이라는 가정 아래 관찰된 정도 이상의 차이가 나타날 확률이 약 0.3%라는 의미입니다. 하지만 p값이 작다고 해서 두 변수 사이의 관계가 강하다는 뜻은 아닙니다. 표본 수가 매우 많으면 작은 관련성도 통계적으로 유의하게 나타날 수 있습니다.

반대로 표본 수가 적으면 비교적 큰 비율 차이가 나타나더라도 통계적으로 유의하지 않을 수 있습니다. 따라서 카이제곱 검정에서는 p값만 확인하는 것이 아니라 실제 교차표의 비율과 효과크기를 함께 살펴보는 것이 중요합니다.

이를 위해 Phi 계수와 Cramér's V 같은 효과크기 지표를 사용할 수 있습니다.

Phi 계수(Phi Coefficient)

Phi 계수는 주로 두 변수가 각각 두 범주를 가진 2×2 교차표에서 사용하는 관련성 지표입니다. 앞선 성별과 온라인 쇼핑 선호도 사례에서는 Phi 계수가 0.20으로 나타났습니다. 이는 두 변수 사이의 관련성이 어느 정도인지를 나타냅니다.

다만 값의 크기를 해석할 때는 연구 분야와 분석 목적을 고려해야 합니다.

Cramér's V

Cramér's V는 2×2 교차표뿐 아니라 범주가 더 많은 교차표에서도 사용할 수 있는 효과크기 지표입니다. 예를 들어 연령대를 20대, 30대, 40대, 50대로 나누고 선호 브랜드를 A, B, C로 구분하면 4×3 교차표가 만들어집니다.

이러한 경우에도 Cramér's V를 이용해 두 변수 사이의 관련성 크기를 확인할 수 있습니다.

Cramér's V가 0에 가까우면 관련성이 약하고, 1에 가까울수록 강한 관련성을 나타냅니다. 다만 두 변수의 범주 수와 표본 수, 연구 맥락에 따라 해석 기준이 달라질 수 있으므로 획일적인 기준을 적용하는 것은 피하는 것이 좋습니다.

하지만 범주가 많은 교차표에서는 구체적으로 어떤 셀에서 기대보다 많은 응답이나 적은 응답이 나타났는지 파악하기 어려울 수 있습니다. 예를 들어 네 개의 연령대와 세 개의 브랜드를 비교했다고 가정해 보겠습니다.

카이제곱 검정 결과가 유의하더라도 어느 연령대가 어떤 브랜드를 상대적으로 많이 선택했는지 직접적으로 알려주지는 않습니다. 이러한 경우에는 표준화 잔차(Standardized Residual)나 조정 표준화 잔차(Adjusted Standardized Residual)를 확인할 수 있습니다.

잔차 분석은 무엇인가요?

잔차는 실제 관찰된 빈도와 기대빈도 사이의 차이를 나타냅니다.

• 양의 잔차: 기대빈도보다 실제 관찰빈도가 많음
• 음의 잔차: 기대빈도보다 실제 관찰빈도가 적음
• 0에 가까운 잔차: 관찰빈도와 기대빈도가 비슷함

표준화 또는 조정 표준화 잔차를 이용하면 각 셀에서 차이가 얼마나 크게 나타났는지 비교할 수 있습니다. 다만 여러 셀을 동시에 확인한다면 다중비교 문제를 고려해야 하며, 잔차가 크다는 이유만으로 인과적 관계가 있다고 해석해서는 안 됩니다.

대표적으로 적합도 검정, 독립성 검정, 동질성 검정이 있습니다.

카이제곱 적합도 검정

하나의 범주형 변수에서 관찰된 분포가 사전에 설정한 분포와 일치하는지 확인합니다. 예를 들어 네 가지 제품 색상이 동일한 비율로 선택되는지 검정할 수 있습니다.

카이제곱 독립성 검정

두 범주형 변수가 서로 독립적인지 확인합니다. 성별과 브랜드 선호도, 연령대와 서비스 이용 여부 등 두 변수의 관계를 분석할 때 사용합니다.

카이제곱 동질성 검정

서로 다른 집단의 범주형 응답 분포가 동일한지 비교합니다. 예를 들어 서울, 부산, 대구에서 각각 수집한 고객의 브랜드 선호 분포가 동일한지 확인할 수 있습니다. 독립성 검정과 동질성 검정은 교차표에 적용하는 계산 방식이 유사하지만, 연구 질문과 표본추출 설계에서 차이가 있습니다.

이번 글에서 교차분석과 함께 살펴본 카이제곱 검정은 주로 독립성 검정입니다.

데이터가 빈도 자료인지 확인해야 합니다.

카이제곱 독립성 검정은 일반적으로 각 범주 조합에 해당하는 관측 빈도를 사용합니다. 평균이나 백분율만을 그대로 빈도처럼 입력하는 것은 적절하지 않습니다. 분석 자료가 실제 관측값의 빈도를 나타내는지 확인해야 합니다.

관측값의 독립성을 확인해야 합니다.

일반적인 카이제곱 독립성 검정에서는 관측값이 서로 독립적이어야 합니다. 예를 들어 동일한 사람의 서비스 이용 전후 응답을 두 개의 독립적인 관측값처럼 취급하면 문제가 발생할 수 있습니다. 동일 대상자의 전후 이분형 응답을 비교하려면 McNemar 검정 등이 더 적절할 수 있습니다.

기대빈도가 지나치게 작지 않은지 확인해야 합니다.

카이제곱 검정은 표본 수와 기대빈도에 따라 카이제곱 분포를 이용한 근사가 부정확해질 수 있습니다. 전통적으로 기대빈도가 5 이상인지 확인하는 기준이 자주 사용되지만, 실제 적절성은 표의 크기와 작은 기대빈도의 비중 등에 따라 달라집니다.

따라서 모든 셀의 기대빈도가 반드시 5 이상이어야 한다는 단순한 규칙으로만 판단해서는 안 됩니다. 기대빈도가 작은 경우에는 Fisher의 정확검정(Fisher's Exact Test)이나 다른 정확·시뮬레이션 기반 방법을 고려할 수 있습니다.

범주의 구분이 적절한지 확인해야 합니다.

예를 들어 연령대를 지나치게 세분화하면 각 셀에 포함되는 관측값이 매우 적어질 수 있습니다. 반대로 서로 다른 의미를 가진 범주들을 무리하게 합치면 중요한 차이가 사라질 수도 있습니다. 따라서 범주를 나누는 기준은 연구 목적과 자료의 특성에 따라 결정해야 합니다.

결측값을 확인해야 합니다.

설문조사에서 응답이 누락된 경우 교차분석에 사용되는 표본 수가 달라질 수 있습니다. 분석 전에 결측값을 제외할지, 별도 범주로 취급할지 결정해야 합니다. 다만 결측값을 하나의 응답 범주로 취급하는 것이 항상 적절한 것은 아닙니다. 결측이 발생한 이유와 연구 목적을 고려해야 합니다.

예를 들어 성별과 브랜드 선호도 사이의 관계를 분석한다면 교차분석과 카이제곱 검정을 고려할 수 있습니다. 반면 공부 시간과 시험 점수 사이의 선형관계를 확인하려면 피어슨 상관분석을 고려할 수 있습니다.

물론 범주형 변수 사이에도 Phi 계수처럼 부호를 가질 수 있는 관련성 지표가 있으며, 자료의 측정 수준에 따라 다른 연관성 분석 방법을 사용할 수도 있습니다. 따라서 분석을 선택할 때는 변수의 측정 수준과 연구 질문을 함께 고려해야 합니다.

앞서 살펴본 성별과 온라인 쇼핑 선호도 사례를 이용하면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

이처럼 결과를 보고하면 독자는 집단별 응답 분포뿐 아니라 통계적으로 유의한 관련성이 있는지, 그 관련성이 어느 정도인지를 함께 확인할 수 있습니다. 실제 연구에서는 집단별 표본 수와 백분율의 계산 기준, 결측값 처리 방식 등도 필요에 따라 명시하는 것이 좋습니다.

마케팅 및 경영

연령대별 브랜드 선호도, 성별에 따른 구매 경험 여부, 고객 유형별 서비스 이용 여부 등을 분석할 수 있습니다.

설문조사 및 사회과학 연구

성별, 직업, 교육 수준 등 응답자 특성에 따른 태도나 선택 항목의 분포 차이를 살펴볼 수 있습니다.

교육 연구

학년별 선호 학습 방식, 교육 프로그램 참여 여부와 수료 여부, 학생 특성에 따른 학습 유형 등을 분석할 수 있습니다.

보건 및 의료 연구

생활 습관과 특정 건강 상태의 관련성, 집단별 증상 발생 여부, 치료 집단에 따른 범주형 결과 등을 비교할 수 있습니다.

인사 및 조직 연구

부서별 이직 의향, 직급별 교육 참여 여부, 근무 형태와 복지제도 선호도 사이의 관계를 분석할 수 있습니다.

시장조사

소비자 집단에 따른 제품 선택, 광고 인지도, 구매 경험, 브랜드 선호도의 차이를 확인할 수 있습니다. 특히 설문조사에서 응답자 특성에 따라 선택 비율이 달라지는지 확인할 때 기본적으로 활용되는 분석 방법입니다.

카이제곱 독립성 검정은 이러한 범주형 변수 사이에 통계적으로 유의한 관련성이 있는지 판단하는 방법입니다. 두 방법을 함께 사용하면 어느 집단에서 어떤 응답이 많이 나타났는지뿐 아니라, 관찰된 분포 차이가 통계적으로 얼마나 뚜렷한지도 확인할 수 있습니다.

다만 카이제곱 검정 결과가 유의하다고 해서 두 변수 사이의 인과관계가 입증되는 것은 아닙니다. 또한 p값만 확인하기보다 실제 빈도와 백분율, Phi 계수나 Cramér's V 등의 효과크기를 함께 살펴보는 것이 중요합니다.